郭璇
中考中的平行四邊形問題
郭璇
平行四邊形知識是中考的重點內容,縱觀近幾年的中考題,平行四邊形以其獨特的魅力占據了一席之地.該部分試題形式豐富,考查面廣,下面根據本章的知識點,列舉一些典型的中考題,與同學們分享.
例1(2016·江蘇無錫)如圖1,已知平行四邊形OABC的頂點A、C分別在直線x=1和x=4上,O是坐標原點,則對角線OB長的最小值為.
圖1
【分析】如圖2,當點B在x軸上時,對角線OB最短.由題意得∠ADO=∠CEB=90°,OD=1,OE=4,由平行四邊形的性質得出OA∥BC,OA= BC,∠AOD=∠CBE,由“AAS”可證明△AOD≌△CBE,得出OD=BE=1,繼而得出結果.
圖2
解:當點B在x軸上時,對角線OB最短,如圖2所示:直線x=1與x軸交于點D,直線x=4與x軸交于點E.根據題意得:∠ADO=∠CEB=90°,OD=1,OE=4.
∵四邊形ABCO是平行四邊形,
∴OA∥BC,OA=BC,
∴∠AOD=∠CBE,
∴△AOD≌△CBE(AAS),
∴OD=BE=1,
∴OB=OE+BE=5.
【規律方法】平行四邊形的性質及應用:
1.平行四邊形是中心對稱圖形,兩條對角線的交點是它的對稱中心.
2.平行四邊形的每條對角線,把平行四邊形分成兩個全等的三角形,兩條對角線把平行四邊形分成四組全等的三角形.
3.解決平行四邊形中的線段和角相等的問題時,常利用其性質證明三角形全等.
例2(2016·浙江舟山)如圖3,已知點E、F、G、H分別是四邊形ABCD各邊AB、BC、CD、DA的中點,根據以下思路可以證明四邊形EF?GH是平行四邊形:
圖3
圖4
圖5
(1)如圖4,將圖3中的點C移動至與點E重合的位置,F、G、H仍是BC、CD、DA的中點,求證:四邊形CFGH是平行四邊形;
(2)如圖5,在邊長為1的小正方形組成的5×5網格中,點A、C、B都在格點上,在格點上畫出點D,使點C與BC、CD、DA的中點F、G、H組成正方形CFGH;
(3)在(2)的條件下求出正方形CFGH的邊長.
【分析】(1)連接BD,根據三角形的中位線的性質得到CH∥BD,CH=BD,同理FG∥BD,FG=BD,由平行四邊形的判定定理即可得到結論;
(2)根據三角形的中位線的性質和正方形的性質即可得到結果;
(3)根據勾股定理得到BD,由三角形的中位線的性質得到FG,于是得到結論.
【解答】(1)證明:如圖6,連接BD,
圖6
∵C、H是AB、DA的中點,
∴CH是△ABD的中位線,
∴CH∥FG,CH=FG,
∴四邊形CFGH是平行四邊形;(2)如圖7所示.
圖7
(3)解:如圖7,∵BD=5,
【規律方法】平行四邊形的判定思路:
1.若已知一組對邊平行,可以證明這組對邊相等,或另一組對邊平行.
2.若已知一組對邊相等,可以證明這組對邊平行或另一組對邊相等.
3.若已知條件與對角線有關,可以證明對角線互相平分.
例3(2016·江蘇宿遷)如圖8,把正方形紙片ABCD沿對邊中點所在的直線對折后展開,折痕為MN,再過點B折疊紙片,使點A落在MN上的點F處,折痕為BE.若AB的長為2,則FM的長為().
A.2B.3C.2D.1由題意可知,△ABC為等邊三角形,過C作CH⊥AB,則CH=AB=4,AH=BH=4.利用勾股定理計算出CD=7,再根據折疊的性質得點A′在以P點為圓心、PA長為半徑的弧上,利用點和圓的位置關系得到當點A′在PC上時,CA′的值最小,然后證明CQ=CP即可.
【解答】解:如圖10,過C作CH⊥AB.
【分析】根據翻折不變性,可得AB=FB=2,BM=1,在Rt△BFM中,可利用勾股定理求出FM的長.
【解答】∵四邊形ABCD為正方形,AB=2,過點B折疊紙片,使點A落在MN上的點F處,
∴FB=AB=2,BM=1,
則在Rt△BMF中,
故選B.
例4(2016·湖北鄂州)如圖9,菱形ABCD的邊AB=8,∠B=60°,P是AB上一點,BP=3,Q是CD邊上一動點,將梯形APQD沿直線PQ折疊,A的對應點為A′,當CA′的長度最小時,CQ的長為().
圖9
∵ABCD是菱形,∠B=60°,
【分析】本題考查了菱形的性質、軸對稱(折疊)、等邊三角形的判定和性質、最值問題.
∵BP=3,∴HP=1.
∵梯形APQD沿直線PQ折疊,A的對應點為A′,∴點A′在以P點為圓心、PA為半徑的弧上,∴當點A′在PC上時CA′的值最小.
∴∠APQ=∠CPQ,
∵CD∥AB,
∴∠APQ=∠CQP,∴∠CQP=∠CPQ,
∴CQ=CP=7.
故正確答案為B.
【規律方法】本題作為選擇題,通過作圖得出答案是比較便捷的方法.弄清在什么情況下CA′的長度最?。ㄏ喈斢谄揭茖ΨQ軸)是解決本題的關鍵.折疊問題的本質:軸對稱(全等性、對稱性).解題關鍵:根據折疊實現等量轉化,可用勾股定理列式解決,或找折疊中的特殊位置來解決特殊值問題.
(作者單位:江蘇省揚州市田家炳實驗中學)