三次多項式的對稱點及其應用
——從廣州一模的一道選擇題談起

華南師范大學數學科學學院(510631) 尹淑芬

三次多項式的對稱點及其應用
——從廣州一模的一道選擇題談起

華南師范大學數學科學學院(510631) 尹淑芬

處理這道題的關鍵一步是要找到這個三次函數所對應的三次多項式的對稱點,接著利用三次多項式對稱點的定義與性質進行計算.其實三次多項式的對稱點在高中解題中有比較大的應用.因此筆者就寫下本文了.筆者將在本文先證明三次多項式ax3+bx2+cx+d(a≠0)的對稱點的存在性,接著給出三次多項式關于對稱點的性質,最后舉例說明這些性質在解題中的應用.

三次多項式的對稱點的概念界定

對于三次多項式ax3+bx2+cx+d(a≠0),如果存在某一實數x0,對任意x都有成立,就稱x0為此三次多項式的對稱點.例如,三次多項式x3?3x2+2x+1,實數1滿足(1?x)3?3(1?x)2+2(1?x)+ (1+x)3?3(1+x)2+2(1+x)=2×13+2×(?3)×12+2×1×1,那么實數1就是三次多項式x3?3x2+2x+1的對稱點.

附注如果實數x0是三次多項式的對稱點,那么有

三次多項式的對稱點的存在性

證明3 不難發現三次函數的對稱中心的橫坐標就是三次函數所對應的三次多項式的對稱點,觀察三次多項式ax3+bx2+cx+d(a≠0)所對應的三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的圖像,可以知道函數圖像在對稱中心左右兩邊的凹凸性是相反的,如果a＞0,函數在對稱中心的左邊是凸函數,隨著自變量x的增大,切線的斜率在減小,三次函數的二階導數小于0,而在對稱中心的右邊是凹函數,隨著自變量的增大,切線的斜率在增大,三次函數的二階導數大于0;如果a＜0,函數在對稱中心的左邊是凹函數,隨著自變量x的增大,切線的斜率在增大,三次函數的二階導數大于0,而在對稱中心的右邊是凸函數,隨著自變量x的增大,切線的斜率在減小,三次函數的二階導數f′′(x)小于0.不難發現,三次函數的二階導數在對稱中心處等于0.因此要求三次多項式ax3+bx2+cx+d(a≠0)的對稱點可以求出三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的二階導數f′′(x)的零點,該零點就是三次多項式的對稱點.

從上述證明過程,可以得知任何三次多項式ax3+bx2+cx+d(a≠0)存在唯一對稱點

三次多項式的對稱點的性質

從上述證明過程,可以獲得三次多項式的對稱點的如下性質:

性質一三次多項式ax3+bx2+cx+d(a≠0)的對稱點是三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)二階導數f′′(x)=6ax+2b的零點.

性質二三次多項式ax3+bx2+cx+d(a≠0)的對稱點是三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)一階導數f′(x)=3ax2+2bx+c的對稱軸

三次多項式的對稱點在解題中的應用

例1(2013年高考全國2卷文科、理科數學第10題)已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c,下列結論錯誤的是( )

A.?x0∈R,f(x0)=0

B.函數y=f(x)的圖像是中心對稱圖形

C.若x0是f(x)的極小值點,則f(x)在區間(?∞,x0)上單調遞減

D.若x0是f(x)的極小值點,則f′(x0)=0

例3(湖北省八校2016屆高三聯考第12題)已知直線x?9y?8=0與曲線C:y=x3?px2+3x相交于點A,B,且曲線C在A,B處的切線平行,則實數p的值為( )

A.4 B. 4或?3 C.?3或?1 D.?3

解析(常規方法)由y=x3?px2+3x,得y′= 3x2?2px+3.設A(x1,y1),B(x2,y2),則曲線C在A,B處的切線的斜率分別為

因為曲線C在A,B處的切線平行,所以

新方法因為曲線C在A,B處的切線平行,所以直線過曲線C的對稱中心所以p=?3或p=?1或p=4.當p=?1,y′=3x2+2x+3＞0,曲線C單調遞增,與直線x?9y?8=0相交于一點,因此p≠1.經檢驗,p=?1與p=4符合題意.

評注顯然,常規方法計算量大,運算繁瑣.然而利用三次多項式的對稱點的性質就能簡單快捷地解答本道題,而且也容易理解.

例4 (2004年高考重慶理科數學卷第20題)設函數f(x)=x(x?1)(x?a),(a＞1)

(1)求f′(x);并證明f(x)有兩不同的極值點x1,x2;

(2)若不等式f(x1)+f(x2)≤0成立,求a的取值范圍.

評注利用三次多項式的對稱點的性質進行解答問題(2),解答過程簡短,思路清晰.也省去了常規方法中的繁瑣的運算.

從上述例題,可以發現三次多項式的對稱點在高考中還是比較常見的,而且利用其性質解題能夠簡化計算,也更加便捷,因此考生應給予必要的重視,將它的性質應用于解題中.