球體在肥皂泡體中的運動

王心華， 金 武， 李博斌， 盛英卓

(蘭州大學 物理科學與技術學院， 蘭州 730000)

球體在肥皂泡體中的運動

王心華， 金 武， 李博斌， 盛英卓

(蘭州大學 物理科學與技術學院， 蘭州 730000)

肥皂泡體作為非線性流體，對于外界的作用有著極其復雜的非線性響應。研究肥皂泡體中運動物體的動力學行為能夠解釋和解決生產和生活中的很多相關問題。通過理論建模、實驗設計和數值模擬對于小而輕且與肥皂泡大小相差不大的球體在與肥皂泡體中的運動過程進行研究。首先從統計力學的系綜角度給出了三維肥皂泡體動力學行為的理論解釋，再從實驗上驗證了在重力場作用下，小球在肥皂泡中的動力學行為關系式，具有普遍性。

重力場； 肥皂泡體； 球體； 統計描述

0 引 言

肥皂泡體類似于普通的流體，但又有普通流體無法相比擬的特性。近年來，肥皂泡體常用于粉體礦物分離、消防器材、工業清潔、交通工具的生產和油井中原油的回收等[1-5]。同時，肥皂泡體作為復雜流體介質的典型例子，普遍受到國內外理論研究領域的關注，尤其是肥皂泡體對其中運動物體的動力學行為的影響[6-10]。然而，肥皂泡體作為非線性流體，其對于外界的作用有著極其復雜的非線性響應，從而導致動力學系統近乎無規律的隨時演化行為，這是肥皂泡體對動力學系統的影響描述的困難所在。對此無序三維肥皂泡體的研究，國內外的研究人員大多并未從理論上進行系統的描述，而是從實驗的角度，采取唯象的研究策略，從而得到描述三維肥皂泡體對動力學的經驗關系[11-13]。本文論述了在重力場作用下球體在肥皂泡體中的運動現象，從統計力學的系綜角度上給出理論的解釋，并從實驗上證明其合理性。

1 理論分析

由于肥皂泡體結構的復雜性，而本文研究的對象是肥皂泡體中和肥皂泡大小差不多的小而輕的球體在重力場中的運動,這導致系統更加復雜。面對如此復雜的過程，我們放棄對于小球在肥皂泡體之中的精確運動描述，轉而從統計的系綜角度描述小球在肥皂泡體之中的運動。

肥皂泡因其內部含水量的不同而呈現完全迥異的形態和完全不同的物理特性。在此引入物理量液相比Φ，定義：

其中：σf是肥皂泡體的傳導性度量；σl是流體中無氣體時的傳導性[14]。

肥皂泡具有獨特的可以發生形變和流動的網狀結構(見圖1)；而肥皂泡體是具有彈性體與流體雙重結構的連續媒質。所以把小球在肥皂泡中的受力分為由泡沫的網狀結構和黏滯作用兩大類因素引起。這也是肥皂泡體對其中運動小球的相互作用的基本分類。

圖1 肥皂泡網狀結構

由肥皂泡體的物理特性分析可直接得到，小球在肥皂泡氛圍之中的受力分為黏滯作用和彈性作用。黏滯作用一般同流體一樣，與小球下落的速度成冪次關系；彈性作用源于肥皂泡的網絡結構形變，與小球下落速度無關，即該作用是單向的。小球的動力學行為不會影響肥皂泡，首先得到量化關系：

(1)

(2)

式中：F為小球所受到肥皂泡體的總作用；F0是肥皂泡體由于網絡結構形變而引起的彈性作用；χ·vn項為小球受到的黏滯作用。由分析可知，χ·vn項中的χ系數必定與小球的半徑R，表面浸潤性A，肥皂泡體中肥皂泡的平均半徑r，液相比Φ等相關。而式(2)表示當小球的重力小于F0時，小球將被肥皂泡體撐住而無法下落。

進一步對彈性作用分析可知，彈性作用由兩部分組成，即由肥皂泡壁的表面張力的凈合力和球接觸的氣泡內的擠壓凈合力組成(見圖2)。

圖2 肥皂泡受力情況

對于二維氣泡壁的凈合力的經驗關系為[15]：

對于研究的三維情況，由于物理情形的相似性,將其直接推廣為：

(3)

而對于氣泡內的凈擠壓合力，選取球坐標積分，面元方向為外法向，得:

(4)

由于球體周圍氣泡內的氣壓分布極其復雜，故由統計系統的角度考慮，小球表面的氣壓分布可用模型替換,

(5)

該模型表明球表面的氣壓分布只與θ方向有關，而與φ向無關，氣壓的變化是余弦型，且在小球下面的氣泡的內壓比球上大出1/n0。其中，P0為肥皂泡體所處大氣壓。由

積分可得

到此，可以得到由式(1)、(2)小球在肥皂泡體的動力學方程：

(6)

此時選取小球的出發點為坐標原點，則初始條件為：

小球在重力場中運動與坐標x以及y方向無關，所以可認為肥皂泡體給小球的作用只在于坐標正z方向，則由式(3)～(5)得：

(7)

因為與F0相關的參數在特定環境下不變,與小球的速度等均無關?？梢奆0在特定的實驗環境之下是一個不變的矢量。而對于小球的動力學方程(6),其有級數形式的解析解。但是這種解的證偽過程將給實驗帶來諸多困難。但是仔細分析式(6)中的各項，可知其演化的解的形式必定為一個穩定解。在物理過程上表現為，當小球下落時間足夠長時，小球在肥皂泡體中勻速下降，此時方程(6)的加速項為零，簡化為代數方程，可直接解出小球在肥皂泡體之中下落的最終速度vmax滿足：

(8)

2 實驗驗證

為了驗證以上理論分析的正確性，實驗上只需驗證理論分析的最終結論式(8)所描述的關系。實際小球在運動時，式(6)所描述的加速階段的持續時間是非常短的。所以實驗上觀察到的現象多為小球穩定之后的狀態，即式(8)所描述的情況。

根據式(8)，由分析知F0只與小球的半徑有關，控制球的半徑和材質以及肥皂泡的特性不變。改變球的質量，測量球的終速。由于最終球將勻速下落，由z=vt可得，測量小球運動等間距z時所用的時間t，從而測定vmax。

2.1 器 材

研究器材有泡沫塑料小球(參數見表1)、標準計時器、大口徑量筒(內徑5.5 cm )、米尺、起泡劑(甘油，蒸餾水，液態洗滌劑)、蒸餾水。

表1 小球的參數

2.2 實驗方案

使用流量為50 mL/min氮氣由口徑1 mm的通氣孔充入以體積比V甘油∶V蒸餾水∶V洗滌劑≈ 14∶72∶14的盛入量筒的起泡劑中。小球從液面以v= 0自由下落,在量筒A、B、C、D、E處安置光電門(見圖3)，用來多次重復測量小球等間距的經過AB、BC、CD、DE的時間值，然后對大量的數據進行平均。當D內徑≈ 5.5 cm > 2d球時，小球在肥皂泡中的行為受到邊界的影響微乎其微，可不予考慮[16]。

圖3 實驗裝置

2.3 結論分析

表2中，tAB、tBC、tCD、tDE分別為對各小球下落過程進行了20次實驗后，對小球經過AB、BC、CD、DE的時間進行統計平均的數據，其中，涂以顏色的表格是小球勻速運動的區域。vmax代表小球達到勻速運動后獲得的最大速度。

表2 統計平均之后所得到的實驗值

將實驗數據依據式(8)在Matlab中使用非線性最小二乘法進行擬合，得到如圖4的關系。從圖中可以看出，若將實際的測量誤差按照保守估計，則0.462

圖4 vmax-m實驗數據與擬合圖

為了進一步驗證理論關系的正確性，n分別取0.462、0.47、0.50、0.60、0.70進行擬合，得到如圖5所示的結果。從圖中可以看出，擬合方程形式的最大范圍為0.462

圖5 不同n值時vmax-m實驗數據與擬合圖

表3給出了n取不同值時，式(8)中系數F0/g和χ/g的取值。

從圖4、5可以看出，當改變擬合理論關系中的未知參量n時，得到幾乎重合的擬合方程。表4為n取不同數值時，實驗參數和擬合曲線的均方誤差。從表4可見，當n位于區間0.465～1之間時，實驗數據與擬合方程之間的差距非常小，而且各n值對應的均方誤差同樣非常接近。這說明在給定的實驗條件之下的肥皂泡體與球體的黏滯阻力關系呈現指數小于1的非線性關系。但對于具體的n值，可能像臨界雷諾數一樣是一個范圍而非一個固定的值。

表3 不同n下F0和 χ的取值

表4 不同n值時，實驗參數和擬合曲線的均方誤差

將實際測量的誤差放到最大，則依據擬合方程(8)可以推導出當n= 1時,F0n

3 結 語

綜上所述，通過理論建模、實驗驗證及數據模擬3種方式對小球在肥皂泡中的運動研究，得出了重力場作用下，小球在肥皂泡中運動的理論關系式，該式在0.462 1的情況研沒有得出很好的結論，對n> 1的情況下，小球在肥皂泡的運動規律的研究同樣具有不可估量的價值。

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·名人名言·

科學實驗是科學理論的源泉，是自然科學的根本，也是工程技術的基礎。

——張文裕

A Study on the Movement of the Sphere in Soap Bubbles

WANGXinhua,JINWu,LIBobin,SHENGYingzhuo

(School of Physical Science and Technology, Lanzhou University, Lanzhou 730000, China)

The soap bubble, as a nonlinear fluid, has a very complex non-linear response to external actions. This paper attempts to give a theoretical explanation to this process by a small and light sphere which has similar size of soap bubble and travels in suds, from the view point of statistics. The experiments show that the original description thought is reasonable.

gravity field; soap bubbles; spheres; statistical description

2016-09-12

中央高?；究蒲袠I務費專項資金項目(lzujbky-2016-117)

王心華(1979-)男，青海海東人， 實驗師，從事大學物理實驗教學及磁性納米材料研究。

Tel.:18919999598; E-mail:xhwang@lzu.edu.cn

O 351.2

A

1006-7167(2017)05-0028-04