插值端切向的內心細分方法

孟慧寧，鄧重陽，史非凡

(杭州電子科技大學理學院，浙江 杭州 310018)

插值端切向的內心細分方法

孟慧寧，鄧重陽，史非凡

(杭州電子科技大學理學院，浙江 杭州 310018)

內心細分法的極限曲線插值給定點列，但一般不插值給定點處的切向.通過改變內心細分方法第一步中與端點相鄰新點及其切向量的計算規則，使其極限曲線插值給定的端切向.理論分析和數值算例都表明該方法是有效的.

內心細分方法；插值端切向；計算規則

0 引 言

在計算機輔助幾何設計與圖形學中，細分方法具有算法簡單、易于實現和高效性等特點，是近年來幾何造型領域的研究熱點之一.按照細分規則可把細分法分為線性細分法和非線性細分法.在曲線造型中，具有代表性的線性細分方法有Chaikin割角法[1]、Dyn四點法[2]、非均勻四點法[3]等.這些方法規則簡單，收斂性和光滑性易于分析，但極限曲線的形狀較難控制.非線性細分法相對于前者具有較復雜的計算，但能更好地控制極限曲線的形狀.例如非線性四點插值細分算法的極限曲線具有保凸性[4]，自由曲線的非線性細分造型方法通過引入自由參數和曲率，更好地控制了曲線形狀，使生成的極限曲線具有保凸和保尖銳等特征[5].

內心細分方法[6]是基于雙圓弧插值[7]給出的一種具有保形性、保圓性和光順性的非線性細分方法.該方法首先由初始點及初始切向量按內心細分規則求得新點及其臨時切向量，再將各點的臨時切向量作旋轉變換計算新的切向量進行細分，較好地控制了極限曲線的形狀.文獻[8]給出一個調整切向的新方法，使切向計算更簡單、幾何意義更明顯.內心細分方法使生成的極限曲線插值初始控制點，但其切向量在每次細分過程中都需調整，因此不能保證極限曲線插值初始切向量.

本文通過改變內心細分法第一步中與端點相鄰的新點及其切向量的計算規則，提出一種插值端切向的內心細分方法.該方法使極限曲線插值端點處的切向量，保證了內心細分方法原有的特性.

1 內心細分方法

(1)

(2)

2)對臨時切向量作旋轉變換計算新的切向量，依次細分.各點新切向的計算公式為

(3)

2 插值端切向的內心細分方法

(4)

從而有

(5)

(6)

(7)

圖1 與端點相鄰新點的計算規則

定理 插值端切向的內心細分法使生成的極限曲線插值端點處的切向量.

3 實例分析

由插值端切向的內心細分方法，給出幾個具體實例，如圖2所示.每個圖形的極限曲線由初始點(圈點)細分5次得到，畫出端切向(箭頭線)方向及各點的曲率圖(直線段).圖2(a)中，初始點及其端切向分別為(5，2)，(6，5)，(4，6)，(2，3)，(5,0)，(7，2)和(1，1)；圖2(b)中初始點及其端切向分別為(2，5)，(4，7)，(6，3)，(3，2)，(6，0)，(8，1)和(-1，2)；圖2(c)和(d)為初始點(3，6)，(6，8)，(9，8)，(8，5)，(10，2)，(8，0)，(4，2)分別取不同的端切向[0，1]和(1，2),可得到不同的極限曲線.

圖2 插值端切向的極限曲線及曲率圖

由圖2可以看出，給定開曲線的端切向，按照文章方法對內心細分法作局部調整，使極限曲線插值端點處的切向量，同時保證了極限曲線的保形、保圓和連續等特性.給定不同的端切向，其極限曲線也有差異.

4 結束語

文章通過改變內心細分法第一步中與端點相鄰的新點及其切向的計算規則，提出插值端切向的內心細分方法，使極限曲線插值端切向，保證了內心細分方法原有的特性.下一步將研究插值中間切向或插值切向及曲率的內心細分方法.

[1]DYNN,LEVIND,GREGORYJA.A4-pointinterpolatorysubdivisionschemeforcurvedesign[J].ComputerAidedGeometricDesign, 1987,4(4):257-268.

[2]CHAIKINGM.Analgorithmforhigh-speedcurvegeneration[J].ComputerGraphicsandImageProcessing, 1974,3(4):346-349.

[3]金建榮,汪國昭.構造曲線的插值型細分法——非均勻四點法[J].高校應用數學學報(A輯),2000,15(1):97-100.

[4]丁友東.一類非線性保凸插值離散細分格式及其性質[J].復旦學報(自然科學版),2000,39(1):9-14.

[5]許玲玲.自由曲線的非線性細分造型方法[D].長沙:中南大學,2009.

[6]DENGC,WANGG.Incentersubdivisionschemeforcurveinterpolation[J].ComputerAidedGeometricDesign, 2010,27(1):48-59.

[7]MEEKDS,WALTONDJ.ApproximationofdiscretedatabyG1arcsplines[J].Computer-AidedDesign, 1992,24(6):301-306.

[8]李亞娟,鄧重陽.內心細分法的一個變式[J].計算機輔助設計與圖形學學報,2013,24(12):1542-1548.

[9]鄧重陽.CAGD中細分與擬合的造型方法研究[D].杭州:浙江大學,2008.

Interpolating Given End Tangents by Incenter Subdivision Scheme

MENG Huining, DENG Chongyang, SHI Feifan

(SchoolofScience,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

The limit curves of incenter subdivision scheme interpolate given points, but in general do not interpolate tangents at given point. By changing the rules of new points adjacent end points, we can interpolate end tangents using incenter subdivision scheme. Both theoretical analysis and numerical examples show the validity of the method.

incenter subdivision scheme; interpolating given end tangents; the rules of calculating

10.13954/j.cnki.hdu.2017.03.020

2016-07-04

國家自然科學基金面上項目(61370166)

孟慧寧(1990-)，女，河南杞縣人，碩士研究生，細分曲線造型.通信作者：鄧重陽教授，E-mail：dcy@hdu.edu.cn.

O241.3

A

1001-9146(2017)03-0096-03