三次樣條插值對人工神經網絡預測軟土固結精確度的影響

王彥之， 王天劍

(1.中南大學地球科學與信息物理學院， 長沙410083；2.貴州財經大學仿真重點實驗室， 貴陽550004)

三次樣條插值對人工神經網絡預測軟土固結精確度的影響

王彥之1， 王天劍2

(1.中南大學地球科學與信息物理學院， 長沙410083；2.貴州財經大學仿真重點實驗室， 貴陽550004)

軟土固結會引起漫長的地基沉降。人工神經網絡(ANN)是預測地基沉降的一種常用工具。為了進行預測，需要使用一定的前期沉降觀測數據訓練ANN。采用兩類訓練方法：一類是直接使用觀測數據訓練網絡，這是普通方法；一類是在觀測數據中借助三次樣條插值(CSI)技術進行等時距插值，然后一并利用觀測數據和插值訓練網絡。三次樣條插值是通過求解三彎矩方程組，在曲線的非連續數據點之間形成填充數據的技術。借助MatLab的函數Spline，可以完成插值計算過程。結果發現，在不同固結階段進行預測，引入CSI插值訓練的網絡預測準確度均高于直接用觀測數據訓練的網絡。這一發現，對于工程實踐具有重要意義。

人工神經網絡；三次樣條插值；固結沉降；精確度；預測

引言

軟土乃孔隙比較大、含水量高、可壓縮性較高、強度和承載力較低、沉降量較大的軟弱土層。按孔隙比，軟土可分為軟粘性土、淤泥質土、淤泥等。按照成因，軟土可分為丘陵谷地相沉積、湖相沉積、三角洲相沉積、瀉湖相沉積、濱海相沉積、溺谷相沉積、河漫灘相沉積等不同類型[1]。軟土對工程的消極影響主要源于沉降。一般認為，存在三種類型沉降(三個階段沉降)：瞬時沉降、固結沉降和次固結沉降。由于沉積形成條件的差異，不同區域、不同空間位置的軟土特性各異，施工后發生的沉降規律差別很大，預測沉降也因此成了一個重要研究課題[2]。

軟土地基沉降預測方法較多，主要包括基于土力學原理的經典方法，基于本構理論的計算方法，以及依托經驗數據的推算方法。其中依托經驗數據的推算方法又包括指數曲線法、雙曲線法、有限元法、多元非線性相關分析法，以及人工神經網絡方法等。

人工神經網絡(簡稱“神經網絡”)是一種在生物神經網絡工作原理啟示下構建的一種計算模型。不少研究表明，它可以成功地用于軟土沉降或相關參數的預測。Li S L[3]利用軟土地基沉降觀測數據，借助MatLab仿真，成功地建立了一個BP神經網絡沉降預測模型。利用類似方法，Jia L G[4]建立了一個露天采礦影響下附近地表沉降的神經網絡預測模型?；谟邢拊治鼋Y果，Azadi M[5]利用人工神經網絡，建立了一個包含多相關變量的方程式，用于預測隧道施工期間附近建筑物沉降。利用三軸試驗結果，Liu Y J[6]通過額外的動量因子、自適應學習速率和貝葉斯正則化性能函數，改進普通神經網絡，發現經過處理的網絡用于軟土地基沉降預測時，計算速度更快，精確度更高，泛化能力更強。Ocak I[7]收集了18種不同參數(含土壓平衡盾構機操作因素、隧道幾何特性，地面特征等)。經過預處理，從中篩選出了最有效的成分，用于表層軟土沉降預測。預測方法有三種：人工神經網絡，支持向量機，以及高斯過程。結果顯示，三種方法均優于當時的其他相關預測技術，能將錯誤率大幅度降低。根據對水泥土樁復合地基的室內試驗結果，Huo T R[8]等利用水泥混合比例、置換率、循環應力比、循環次數等變量，預測復合地基的永久沉降，發現神經網絡模型比多元線性回歸模型具有更好的預測和泛化功能。

也有研究者用神經網絡預測壓縮指數和再壓縮指數，因為它們是計算細粒土固結沉降的重要參數，而且通過室內壓縮儀測得這些參數相對耗時。Moayed R Z[9]使用經遺傳算法優化的神經網絡，依據初始空隙率，液限和比重的三個變量，預測壓縮指數和再壓縮指數。根據從伊朗Mazandaran省多個地點收集的300個數據訓練網絡和測試的結果，研究者發現空隙率和液限分別是對壓縮指數和再壓縮指數最具影響的因素，比重變化對兩個指數同時具有顯著影響。Kurnaz T E[10]用神經網絡研究的結果與此稍有分歧，發現初始空隙率、液限和塑性指數等雖對壓縮指數的預測比較成功，但對再壓縮指數的預測不太理想。Oda K[11]利用神經網絡和蒙特卡洛模擬技術，估計了某機場全新世軟土的特性。結果顯示，神經網絡對孔隙比以及固結壓力和空隙比關系的估計精確度，高于其對壓縮指數和先期固結壓力估計的精確度，利用孔隙比和固結壓力對沉降的預測，比利用壓縮指數和先期固結壓力的預測更為準確。

在中國CNKI數據庫，用“固結”、“沉降”、“神經網絡”為線索檢索，可以發現64條記錄(2016年12月3日檢索)。這些研究大都通過實例驗證了神經網絡的應用價值，這里不再贅述。

上述研究中，有些學者側重于探索神經網絡優化技術，有些聚焦于神經網絡與其他平行技術的比較。預測的對象不僅包括軟土固結沉降本身，也包括可用于沉降計算的參數及其關系等。部分研究發現存在一定的分歧，這可能與研究程序、土質特性等因素有關。這些研究從不同方面考查了神經網絡的功能。但是，既往相關文獻很少涉及插值預測技術。為了進行有效預測，一般需要充足的數據訓練神經網絡，而實踐中可能會存在數據不足，或者數據分布不均衡等現象，這就需要用到插值技術彌補。本研究將通過實例，著重考查三次樣條插值技術對優化BP神經網絡的功效。

1人工神經網絡和三次樣條插值的原理

1.1人工神經網絡

人工神經網絡是基于大腦加工信息的啟示，構建的一種計算模型。人工神經網絡有不同類型，如感知器網絡、線性神經網絡、BP神經網絡、反饋神經網絡、徑向基神經網絡、自組織競爭網絡、隨機神經網絡等。不同網絡結構各異，工程領域常用的BP神經網絡模型如圖1所示。

圖1BP人工神經網絡模型簡圖

圖1中X1和X2代表輸入的二維向量(相當于神經刺激)，圓圈代表神經元(相當于細胞核)，Y1和Y2代表輸出的兩個向量(或標量)(相當于神經網絡的反應)。箭頭代表影響，W代表影響權重，b代表偏值(是對輸入的調劑變量，相當于回歸方程中的常數項)。每一個神經元接收到的輸入總量是：

(1)

即輸入總量為各個輸入乘以其權重，然后求和，外加一個偏值。每一個神經元向后層傳遞影響時，其數值將再次通過一個傳遞函數進行。

不同神經網絡采用的傳輸函數可能不同。BP人工神經網絡一般采用Sigmoid或者線性函數作為傳遞函數。Sigmoid又分為Log-Sigmoid(式2)和Tan-Sigmoid(式3)：

(2)

(3)

采用Log-Sigmoid，函數值介于0到1之間，采用Tan-Sigmoid，函數值介于1到-1之間。輸出層向后傳遞輸出時，一般采用線性函數，因為若采用Sigmoid函數，結果輸出會被壓縮在0到1或者1到-1范圍內。

BP人工神經網絡的輸入和輸出可以是1維，也可以是多維；隱含層從1層到多層不等；從輸入、隱含層到輸出層，BP人工神經網絡中前面的信息可以跨層后傳。

1.2三次樣條插值

工程師制圖過程中，會把富有彈性的細木條(“樣條”)用鐵釘固定于樣點之上，在其他地方使其隨意彎曲，此后沿該木條勾畫曲線，即“樣條曲線”。三次樣條插值是借助數學方法(求解三彎矩方程組)，在樣點之間形成填充數據，以獲得平畫曲線的方法。其數學定義是：如果函數S(x)∈C2[a,b]，在區間[a,b]中存在數據節點a=x0

(4)

其中，I=0,1,…n-1。令

di=6f[xi-1,xi,xi + 1]

可得

(5)

矩陣(5)求解，代入式(4)，便可得到每一個亞區間內三次樣條插值的表達式[12-13]。在實際應用中，可利用MATLAB軟件的spline函數，完成上述復雜計算。

2實例分析

2.1數據資料與分析目的

表1是某工程沉降過程原始數據[14-15]。本研究將利用神經網絡，依據測量時間預測對應的沉降量。為了檢驗三次樣條插值的功效，將在不同預測條件下，同時對比插值處理數據訓練的網絡，與非插值處理數據訓練的網絡，在預測中的準確度和錯誤率。

表1不同時間觀測到的沉降量

注：固結度 = (特定時間的沉降量 / 最終沉降量)× 100%，其中最終沉降為244 mm。

2.2分析程序

(1)構建神經網絡模型程序。本研究采用newff函數創建神經網絡模型。因輸入和輸出均為一維向量，采用包含一個隱含層的網絡即可滿足需要。具體程序如下：

x=[…]; %用于網絡訓練的觀測時間

y=[…]; %用于網絡訓練的沉降數據

xp=[…]; %用于仿真預測的時間

rand('seed',2); %網絡運算初始隨機數種子

net=newff(x,y,[n]); %網絡模型

net=train(net,x,y); %網絡訓練指令

yp=sim(net,xp);%沉降仿真預測指令

(2)選擇和處理網絡訓練數據。本研究將分別利用固結達到36%、82%和91%對應的數據進行網絡訓練。在每一種條件下，分別采用原始數據和經過三次樣條插值處理過的數據進行網絡訓練。插值的頻率為每隔10天插入一個數據。例如：

若利用原始數據訓練時采用的是：

x = [0 29 64…]

y = [0 14 18…]

則利用三次樣條插值處理后的數據訓練時采用的將是(插值借助MatLab自帶函數工具計算)：

x=[0 10 20 29 30 40 50 60 64…]

y=[0 7.4917 11.9036 14 14.1539 15.1610 15.8430 17.1182 18…]

(3)訓練網絡并進行仿真預測檢驗。

2.3分析結果

2.3.1利用36%固結度之前的數據預測

(1)網絡模型

根據表1，第154天觀測沉降為88 mm，固結度達到36%。此前共6組數據。預測時采用的網絡模型含有一個輸入(x向量)，一個隱含層(1個神經元)，一個輸出層，以及一個輸出向量(y)。

(2)預測結果

圖2是預測結果，橫軸為時間，縱軸為沉降量(垂線之前為訓練數據曲線，垂線之后為預測數據曲線)。帶“o”曲線對應于實際沉降，帶“*”曲線對應于6組原始數據訓練網絡后預測的沉降，帶“Δ”曲線對應于6組原始數據加上三次樣條插值訓練網絡后預測的沉降。

圖2原始數據預測、插值處理數據預測與實測(36%固結之后的沉降)

根據圖2可知，利用36%固結度之前的純原始數據訓練網絡，結果沒有意義。第154天的沉降量是88 mm，向后預測出的沉降值(mm)依次是：72.6900，72.7366，72.7403，72.7409，72.7410，72.7410…。出現這種現象的原因是原始數據較少，對曲線走向沒有約束力。曲線震蕩較大，走向沒有規律。從88 mm跌落到72.6900 mm之后，雖然有回

升趨勢，但幅度極其微小，粗略看就是一條直線(討論部分有更多介紹)。利用經過插值處理的數據訓練網絡，誤差雖然較大，但比前者幾乎減半，且沒有出現明顯的跌宕，收斂過程基本合理。

2.3.2利用82%固結度之前的數據預測

(1)網絡模型

根據表1，第244天觀測沉降為199 mm，固結度達到82%。此前共8組數據。預測時采用的網絡模型與“3.3.1”相同。

(2)預測結果

結果如圖3所示(垂線之前為訓練數據曲線，垂線之后為預測曲線)。原始數據和經過插值處理的數據訓練的網絡，預測結果都很接近觀測值。

圖3原始數據預測、插值處理數據預測與 實測(82%固結)

為了考查細微差別，將原始數據訓練的網絡與經過插值處理數據訓練的網絡預測的數值，與實測數據進行對比，并計算各自平均誤差和錯誤率。結果見表2。

表2實測、原始數據預測與插值處理數據預測結果(82%固結)

注：錯誤率=平均誤差/實測均值×100%

根據表2，原始數據訓練的網絡平均誤差12.9 mm，錯誤率5.5%。經過插值處理的數據訓練的網絡，平均誤差9.3 mm，錯誤率3.9%?？梢姴逯堤幚韺P網絡具有優化作用。

2.3.3利用91%固結度之前的數據預測

(1)網絡模型

根據表1，第313天觀測的沉降量221 mm，對應于91%固結度。此前共10組數據。由于數據增多，隱含層一個神經元的模型已經明顯不適應，需要改為隱含層6個神經元的模型。其原因是，數據越多，需要擬合的關系越復雜，用到的調劑變量越多。每一個神經元相當于一個調劑變量，用于調整模型與數據的關系。

(2)預測結果

結果如圖4所示(垂線之前為訓練數據曲線，垂線之后為預測曲線)。原始數據和經過插值處理的數據訓練的網絡，預測曲線與觀測曲線基本吻合，即預測結果和觀測值基本一致。

圖4原始數據預測、插值處理數據預測與 實測(91%固結)

為了考查細微差別，將原始數據訓練的網絡與經過插值處理數據訓練的網絡預測的數值，與實測數據進行對比，并計算各自平均誤差和錯誤率。結果見表3。

表3實測、原始數據預測與插值處理數據

根據表3，原始數據訓練的網絡平均誤差9.1 mm，錯誤率3.9%。經過插值處理的數據訓練的網絡，平均誤差3.1 mm，錯誤率1.3%。插值處理數據訓練的網絡優于原始數據訓練的網絡。

3討論

本研究考查了神經網絡對軟土地基沉降的預測效果。分別以36%、82%和91%固結度對應時間之前的數據為依托，對比了采取原始數據預測和插值處理數據預測的異同。結果表明，插值處理數據訓練的網絡在各種條件下都優于原始數據訓練的網絡。這可以通過圖5予以解釋。

圖5神經網絡擬合曲線在訓練數據點間的波動

圖5中的橫軸代表預測條件，縱軸代表預測目標。神經網絡在擬合曲線時，并不是按平滑走向進行的，數據點之間可能存在種種波動。訓練網絡時，盡管可以讓曲線覆蓋所有訓練數據，但數據點越少，點與點之間波動的可能性越大，訓練出來的網絡在預測應用時，出錯的可能性越大。這就是所謂的“局部適配”，泛化不足現象。通過三次樣條插值，插入的數據是按平滑走向分布的。這些數據點，對擬合曲線會產生“約束”作用，減少其波動機會。因此插值訓練的網絡，擬合出的曲線走向更有規律性，更能預測如地基沉降之類的規律性變化。

4結論

本研究介紹了神經網絡的基本結構，通過實例，在不同條件下檢驗了三次樣條插值的預測功效，結論如下：

(1)神經網絡模型用于預測軟土地基固結沉降時，訓練的數據越多，網絡預測越準確。

(2)訓練網絡的數據覆蓋完成82%固結度對應時間區間時，網絡預測可以達到較高準確度。

(3)經三次樣條插值處理的數據訓練的網絡，比未經處理的數據訓練的網絡預測精確度更高。

(4)隨著訓練數據規模的增加，網絡隱含層神經元數目可能需要進行一定的調整。

本研究對工程實踐具有重要意義，因為它可以使有限的預測條件，發揮更大的預測價值。由于數據有限，本研究所得結論有待更大樣本檢驗。

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The Effect of Cubic Spline Interpolation on the Prediction ofSoft Soil Settlement with Artificial Neural Network

WANGYanzhi,WANGTianjian

(1.School of Geosciences and Info-Physics, Central South University, Changsha 410083, China；2.GuizhouKey Laboratory of Economics Simulation, Guizhou University of Finance and Economics, Guiyang 550004, China)

The consolidation of soft soil may cause a long-term settlement. BP artificial neural network (BP-ANN) is a general technique for the prediction of settlement. Teaching the BP-ANN with a certain amount of settlement data is indispensible for the purpose of prediction. Two types of network teaching methods are employed: one involving the use of pure measurement records, and the other involving the use of both the measurement records as well as data produced by cubic spline interpolation(CSI). CSI is a technique for producing data between recorded data interval on a curve by means of solving tridiagonal linear equation. The results show that the prediction by the latter is consistently better than the prediction with the former. The finding is of great practical significance in engineering.

settlement; prediction; artificial neural network; cubic spline interpolation

2017-04-13

國家自然科學基金項目(F030203)

王彥之(1993-)，男，河南南陽人，碩士生，主要從事地質工程方面的研究，(E-mail)821240185@qq.com； 王天劍(1968-)，男，貴州貴陽人，教授，博士，碩士生導師，主要從事網絡仿真方面的研究，(E-mail)daka777@qq.com

1673-1549(2017)03-0067-06

10.11863/j.suse.2017.03.14

TU 433

A