含裂紋的直角域中凸起與襯砌的動態性能分析

齊輝，張希萌，陳洪英，丁曉浩

(哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院， 黑龍江 哈爾濱 150001)

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含裂紋的直角域中凸起與襯砌的動態性能分析

齊輝，張希萌，陳洪英，丁曉浩

(哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院， 黑龍江 哈爾濱 150001)

為了研究直角域中裂紋附近缺陷對SH波的散射，采用復變函數法、鏡像法和裂紋切割法研究直角域中裂紋附近凸起和襯砌的動應力集中問題，給出了圓形襯砌周邊的動應力集中系數與裂紋尖端動應力強度因子的解析表達式，并給出了它們隨入射波頻率、材料的物理常數和結構幾何參數變化的計算結果圖。結果表明：入射頻率、裂紋長度對動應力集中系數影響顯著，高頻入射時動應力集中系數最大值比低頻入射時提高20%，增加襯砌厚度并不一定能使動應力集中系數減小，入射頻率對地表位移影響較大。對含缺陷的直角域進行動力學分析非常必要。

直角域；半圓凸起；圓形襯砌；直線裂紋；SH波；動應力集中系數(DSCF)；動應力強度因子(DSIF)

生命線工程對維護城市功能系統和國計民生具有重要意義，眾多地下復雜結構均含有缺陷，缺陷使生命線工程的動應力集中問題更加復雜。彈性波動理論是研究含有凸起、裂紋等缺陷的復雜地下結構的彈性動力學問題的重要方法，被廣泛應用于地下襯砌結構這一生命線工程的抗震與抗爆設計中，如供水、排水、石油輸送管道以及地下隧道工程等，而復雜地形中坡度較緩的山丘，可以簡化為半圓凸起。眾多學者對裂紋缺陷與凸起問題進行研究并取得大量成果[1-12]。齊輝等對直角域或半空間中圓形凸起與裂紋的動力問題進行了分析[1-8]。南景富等對脫膠襯砌與裂紋的動力響應問題給出了數值解[9]。梁建文等研究了襯砌和地下球形結構的動應力集中問題[10-11]。楊在林等研究了非均勻介質的動力學問題[12-14]。

本文采用“分區”思想，將含半圓凸起的直角域進行分區，分成圓形凸起和含半圓凹陷的兩個區域。利用 “鏡像法”，構造出滿足水平、垂直邊界應力自由的波函數。通過襯砌與凸起周邊連續性條件建立方程組，利用裂紋切割法和坐標轉換法得到了襯砌周邊動應力集中系數和裂紋尖端動應力因子的解析表達式。文章最后給出具體算例和數值結果，討論了入射角度、入射波數、裂紋長度、裂紋角度、圓形襯砌位置、圓形襯砌厚度比等對動應力集中系數、動應力強度因子與地表位移的影響。

1 直角域中凸起和襯砌模型的描述

天然介質中有很多復雜的地形，這些地形在地震波作用下會出現動應力集中問題。本文模型是直角域地形結構中地下襯砌與坡度緩和的山丘凸起在SH波作用下動應力響應問題的簡化。如圖1，介質Ⅰ為含圓形襯砌和直線裂紋的直角域，其水平、垂直邊界分別為ΓH、ΓV；介質Ⅱ為圓形襯砌，其質量密度與剪切模量分別為ρ2、μ2，中心位置與垂直邊界ΓV距離為d，與水平邊界ΓH距離為h，內、外半徑分別為b、a，其內邊界、外邊界分別為ΓB、ΓA；介質Ⅲ為圓形凸起，其半徑為c，邊界為ΓC，中心位置與垂直邊界ΓV距離為d2。介質Ⅰ與介質Ⅲ質量密度與剪切模量分別為ρ1、μ1。裂紋長度為2C，角度為β，裂紋尖端與垂直邊界ΓV距離為d1，與襯砌圓點o垂直距離為h1，坐標系x1oy1中x1方向與裂紋方向平行，裂紋尖端與y1的垂直距離為c0。本文采用坐標變換法，建立坐標系xoy、x1oy1與x′o′y′，所對應的復坐標系分別為：η=x+yi=reiθ、η1=x1+y1i=r1eiθ1與η′=x′+y′i=r′eiθ′，各坐標系關系為

(1)

圖1 直角域中半圓形凸起和圓形襯砌模型Fig.1 The model of a semi-circular salient and a circular lining near the linear crack in a quarter space

2 直角域中位移場的基本控制方程

如圖2所示，本節采用Green函數法對含圓形襯砌和半圓凸起的直角域進行分析，研究直角域介質Ⅰ在線源荷載δ(η-η0)作用下的動應力響應問題。其中η0=d-d3+(h-h3)i，表示位于介質Ⅰ內部的點。

圖2 受線源荷載作用的直角域模型Fig.2 The right-angle plane model impacted by a line source force

(2)

(3)

本節研究的直角域的邊界條件可以表示為

(4)

由線源荷載δ(η-η0)產生的擾動，可視為已知的入射波Gi與反射波Gr，應滿足直角域水平邊界ΓH和垂直邊界ΓV上應力自由，本文利用“鏡像法”， 構造其表達式：

(5)

(6)

對于介質Ⅲ圓形凸起形成的散射波Gs1和介質Ⅱ圓形襯砌所形成的散射波Gs2，均滿足直角域中直線邊界應力自由,利用“鏡像法”，構造出其表示式：

(8)

式中：η=x+yi，η2=η-2hi，η3=η2-2d，η4=η-2d

對于介質Ⅱ中的駐波Gst1，滿足邊界ΓC上半圓上應力自由條件，按文獻[6]中思路，利用坐標系x′o′y′，構造其表達式如下

(9)

其中：

(10)

由推導可知：

(11)

根據邊界條件(4)列方程，并將方程中等式兩邊同時乘以exp(-inθ)或exp(-inθ1)，(n=0,±1,±2,±3…)，在相應的區間(-π,π)或(0,π)上進行積分，截取有限項得到方程組：

(12)

式中：

其中，

式中：θ為坐標系xoy內輻角，θ1為坐標系x1oy1內輻角。

3 直角域中SH波形成的位移場

入射波w(i,e)、反射波w(r,e)、散射波w(s1,e)、w(s2,e)均滿足直角域中水平邊界ΓH和垂直邊界ΓV上應力自由條件，利用“鏡像法”構造其表達：

(13)

(14)

式中：β0=π-α0，α0為SH波入射角度，在SH波作用下產生的波場與上節中Green 函數作用下產生的波場具有相同的形式：

(15)

式中：w(s1,e)、w(s2,e)分別表示SH波作用下由凸起和襯砌形成散射波位移，w(st1,e)、w(st12,e)分別表示SH波作用下凸起和襯砌中的駐波位移，未知量Pm、Qm、Rm、Sm、Tm根據邊界條件(4)確定，所列方程組中已知系數與求解 Green 函數所列方程組中已知系數相同，求解方法與求解Green 函數中未知量的方法一致。

wⅠ=w(i,e)+w(r,e)+w(s1,e)+w(s2,e)-

(16)

式中

為格林函數。

利用坐標系x1oy1，在SH波作用下夾雜或圓孔周邊的環向剪切應力可以表示為

(17)

(18)

裂紋尖端對應的值即為動應力強度因子。在計算中,通常定義一個無量綱的動應力強度因子

(19)

4 直角域中凸起和襯砌對SH波散射的計算

令μ2=0，b=0，本文模型退化為含圓孔的直角域，取與文獻[15]中相同參數，得到圓孔周邊動應力系數如圖3所示，與文獻[15]中結果吻合較好，證明了本文方法精確可行。

圖3 本文方法的驗證Fig.3 The vertifying of the method in this paper

圖4 SH波低頻入射時襯砌周邊DSCF隨k*與μ*的分布Fig.4 Distribution of DSCF around circular lining edge vs. k* and μ* by low frequency SH-wave

由以上可知，當SH波高頻入射時襯砌相對于基體越軟危害越大。

圖5 SH波高頻入射時襯砌周邊DSCF隨k*與μ*的分布Fig.5 Distribution of DSCF around circular lining edge vs. k* and μ* by high frequency SH-wave

圖6 襯砌周邊DSCF隨ka的分布Fig.6 Distribution of DSCF around circular lining edge vs. ka

圖7 SH波高頻入射時襯砌周邊DSCF隨λ的分布Fig.7 Distribution of DSCF around circular lining edge vs. λ by high frequency SH-wave

圖8 SH波高頻入射時襯砌周邊DSCF隨C*的分布Fig.8 Distribution of DSCF around circular lining edge vs. C* by high frequency SH-wave

圖9 SH波高頻入射時襯砌周邊DSCF隨β的分布Fig.9 Distribution of DSCF around circular lining edge vs. β by high frequency SH-wave

圖10 SH波低頻入射時隨k*與μ*的分布Fig.10 Distribution of vs. k*andμ*by low frequency SH-wave

圖11 SH波高頻入射時隨k*與μ*的分布Fig.11 Distribution of vs. k* and μ* by high frequency SH-wave

圖13給出了裂紋尖端動應力因子DSIF隨ka變化圖。在ka=1時k3達到最大值3.75。

圖12 地表位移隨ka的分布Fig.12 s. ka

圖13 DSIF隨ka變化圖Fig.13 Variation of DSIF vs. ka

圖14 SH波低頻入射時DSIF隨h*的變化Fig.14 Variation of DSIF vs. h* by low frequency SH-wave

圖15 SH波高頻入射時DSIF隨h*變化Fig.15 Variation of DSIF vs. h* by high frequency SH-wave

圖16 SH波低頻入射時DSIF隨變化Fig.16 Variation of DSIF vs. by low frequency SH-wave

圖17 SH波高頻入射時DSIF隨變化Fig.17 Variation of DSIF vs. by high frequency SH-wave

5 結論

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本文引用格式：

齊輝，張希萌，陳洪英，等. 含裂紋的直角域中凸起與襯砌的動態性能分析[J]. 哈爾濱工程大學學報， 2017， 38(6)： 843-851.

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Dynamic performance analysis of a salient and a lining in a quarter space with a crack

QI Hui, ZHANG Ximeng, CHEN Hongying, DING Xiaohao

(College of Aerospace and Civil Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

To investigate the scattering of SH-wave caused by defects near a crack in a quarter space, the concentration of dynamic stress at the salient and lining near a crack in a quarter space was researched using the complex function method, mirror method, and crack incision method. The analytical expressions of dynamic stress concentration factor (DSCF) around the circular lining edge and dynamic stress intensity factor (DSIF) at the crack tip were obtained. Several calculations were plotted as examples to show the influences of the frequencies of incident wave, the physical constant of medium, and the geometry of structures on DSCF and DSIF. The calculations indicate that the influences of the frequencies of incident wave and length of crack on DSCF were obvious. When high frequency wave is incident, the maximum of DSCF will increase by 20% as compared with the case of low frequency wave. The increase in thickness of lining may not be able to decrease DSCF, and the frequency of incident wave exerts a great influence on surface displacement. Dynamic analysis of the quarter space with defects is critical.

quarter space; semi-circular salient; circular lining; linear crack; SH wave; dynamic stress concentration factor (DSCF)；dynamic stress intensity factor (DSIF)

2016-04-01. 網絡出版日期：2017-04-05.

黑龍江省自然科學基金項目(A201404).

齊輝(1963-)，男，教授，博士生導師； 張希萌(1989-)，男，博士研究生.

張希萌，E-mail:zhangximeng2012@163.com.

10.11990/jheu.201604002

http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20170405.1558.006.html

O343.1; O347.3

A

1006-7043(2017)06-0843-09