基于圖論聚類的隨機子空間模態參數自動識別

鄭沛娟 林迪南 宗周紅 余道興

(1東南大學土木工程學院,南京 210096)(2福建省建筑科學研究院福建省綠色建筑技術重點實驗室,福州 350025)

基于圖論聚類的隨機子空間模態參數自動識別

鄭沛娟1林迪南2宗周紅1余道興1

(1東南大學土木工程學院,南京 210096)(2福建省建筑科學研究院福建省綠色建筑技術重點實驗室,福州 350025)

為提高隨機子空間法模態參數識別過程中的自動化程度,減少人為干預,提出了基于圖論聚類的橋梁結構模態參數自動識別方法.首先,初步剔除由于數據精度以及噪聲等引起的虛假模態;其次,采用圖論聚類法,對結構模態結果依次根據基于結構頻率和模態保證準則(MAC)指標定義的距離進行聚類,以自動識別出結構的真實模態.隨后基于灌河大橋0.5 h的加速度數據,采用所提方法實現了結構模態參數的自動識別,并通過結構的有限元模型對識別結果進行驗證.最后,將所提出的方法應用到基于灌河大橋健康監測系統采集的一年加速度數據的模態參數識別過程中,表明了該方法在橋梁結構海量加速度數據的結構模態參數自動識別中是可行的.

模態參數識別;圖論聚類;隨機子空間法;穩定圖

橋梁結構健康監測近年來得到了廣泛的應用和發展,但同時也面臨著在線模態參數識別與模型修正、損傷預后及安全預后等難題及挑戰.由于不需要施加人工激勵以及操作方便等特點,環境激勵下結構模態參數識別已經被普遍采用,隨機子空間法(SSI)是一種應用較為廣泛的基于時域的模態識別方法,但基于SSI法的模態識別存在人工參與、運算效率低等不足,不能滿足橋梁結構健康監測系統中實時模態參數識別的需求.

由于缺乏自動模態識別及相應跟蹤程序,導致橋梁健康監測的海量數據難以實時分析和應用,這也成為健康監測技術發展的瓶頸之一.為提高結構模態參數識別的效率,使基于橋梁結構健康監測海量數據的模態參數自動識別成為可能,近年來,人們開始關注環境激勵下的模態參數自動識別技術,如文獻[1-5]將模糊聚類方法應用到模態參數自動識別中.文獻[6]提出了基于子空間跟蹤的時變模態參數快速辨識算法;文獻[7-8]分別采用數據縮減小波和譜系聚類方法對結構模態參數進行快速識別;文獻[9-11]分別以大跨度混凝土拱橋、鐵拱橋和悉尼港大橋為例,基于譜系聚類分析方法進行了橋梁運行模態參數的自動識別并取得成功;文獻[12]基于多層次聚類方法進行了運行模態參數自動分析.雖然在結構模態參數自動識別方面已經取得了一定的研究成果,然而在已有的模態參數自動識別過程中,仍涉及到人為因素的影響,如模糊C均值聚類法中聚類類別數以及目前應用的其他模糊聚類方法與譜系數聚類方法距離閾值需要人為進行設定.另外,現有結構模態參數識別方法在魯棒性、計算量的控制以及參數估計可靠性等方面還有待于進一步改善.

為減少模態參數識別過程中人為因素的影響,本文以協方差驅動的隨機子空間算法為基礎,首先采用模態相似指數(MSI)方法、基于距離的異常點檢測算法來剔除由噪聲等引起的虛假模態,然后基于圖論聚類方法對結構的模態結果依次根據由頻率定義的距離和基于模態保證準則(MAC)指標的距離進行聚類來最終識別出結構的真實模態,從而完成模態參數的自動識別過程.隨后基于采集的灌河大橋0.5 h加速度數據,使用所提方法來識別灌河大橋的結構模態參數,并利用有限元分析結果對識別結果進行驗證.最后利用灌河大橋一年的加速度數據,證明了所提方法在橋梁結構海量加速度數據的模態參數自動識別過程中的可行性.

1 協方差驅動的隨機子空間識別算法

協方差驅動(COV-driven)的隨機子空間識別算法(SSI-COV)的基礎是系統的狀態空間模型[13].該算法通過分解Toeplitz矩陣獲得的可觀矩陣Oi來識別結構模態.基于可觀矩陣Oi,系統狀態矩陣A可表示為[13]

(1)

(2)

可以證明式(1)和式(2)具有相同的系統特征值[8],因此2種方法計算得到的物理模態將是完全一致的,故當式(1)與式(2)計算出來的某個模態不一致時,那么該模態一定是虛假模態.考慮到模態振型也能反映模態之間的相似性,定義改進后的模態相似指數如下[8]:

(3)

式中,Wf，Wξ，WMAC分別為頻率、阻尼比、模態保證準則在計算2個模態相似系數中的權重，故三者之和為1;fm,ξm,ψm分別為通過式(1)得到的第m個模態的頻率、阻尼比和振型;fn,ξn,ψn分別為通過式(2)得到的第n個模態的頻率、阻尼比和振型;df,dξ,dMAC分別為頻率、阻尼比、模態保證準則的容差.其中,模態保證準則是用來判斷2個振型之間相關性的指標:

(4)

式中,MAC∈[0,1].MAC越趨于1,兩者相關性越好.若頻率、阻尼比、振型的差異性均大于容差,可認為2種模態完全不同,故可設定rm閾值為1.

此外,考慮到穩定圖結構中虛假模態產生的穩定點較為離散,故采用基于距離的算法來實現異常點檢測.

2 圖論聚類方法

2.1 圖論聚類方法及其流程

圖論聚類方法的前提是要把聚類的數據映射為一個帶權的無向圖,該圖是由一些節點以及連接節點之間的邊所構成的幾何圖形[14-15].在圖中,2點之間不帶箭頭的連線構成無向邊ei,由點和無向邊構成的圖即為無向圖,記作G=(P,E),其中,P為無向圖G的點集合,E為圖G的邊集合.本文所涉及到的圖均為無向圖.本文借鑒改進的Gabire圖建立數據的無向圖G,其在頂點對(p,q)上的作用域定義為[14]

B(q,ad(p,q))

(5)

邊集E的定義為

(p,q)∈E,當且僅當Γp,q∩P=?

(6)

本文采用權值來定義2個節點之間的相似度.將無向圖G中的每條邊ei賦以權值w(ei),那么最小生成樹(MST)是滿足下列條件的生成樹[16-17]:

(7)

將穩定圖映射為無向圖,則穩定圖中的各個穩定點{v1,v2,…,vn}映射為無向圖中的頂點;而穩定點之間的聯系就可以映射為無向圖中的邊,其中每條邊權值根據穩定點之間模態的差異程度確定.圖論聚類方法流程如下[17]:

① 利用普里姆算法[17]在無向圖G=(P,E)上構造最小生成樹MST={(U,T)U=P,T={e1,e2,…,ek-1}.

③ 獲得森林F中的所有樹{(Pi,Ti)i=1,2,…,q}.

④ 每棵樹作為一個聚類,完成分割.

圖論聚類方法是以樣本數據的局域特征作為聚類的指標, 其主要優點是可將局部具有相似特征的數據進行較好地聚類.

在圖論聚類方法的應用過程中,建立最小生成樹后,針對2個模態之間的距離dmn所定義的閾值d對聚類結果具有至關重要的作用.2個模態之間的距離dmn類似于譜系聚類方法中2個模態之間的距離dmn.譜系聚類方法中針對2個模態之間的距離有幾種不同的定義形式[8-10],這幾種形式雖然大多綜合考慮了頻率、阻尼比、MAC以及模態能量等參數,但僅將這些參數進行簡單的線性加權求和,因此它們并不能準確地反映穩定點之間真實的位置關系.另外,這些形式也不易實現合理的距離閾值的自動設定.

2.2 基于圖論聚類的二次聚類法

為了克服目前譜系聚類法中2個模態之間距離定義的缺陷,本文以隨機子空間模態參數識別方法為基礎,提出基于圖論聚類的二次聚類法對穩定圖中的穩定點進行聚類來識別結構的真實模態.首次聚類時,基于圖論聚類法將穩定圖中頻率相近的穩定點自動分類,第2次聚類時,將第1次聚類結果中每一類中振型相似的穩定點自動進行再次分類.其中第1次聚類過程中針對頻率指標進行聚類所定義2個模態之間的距離為

(8)

為實現對頻率指標的距離閾值d的自動設定,本文基于距離矩陣,以各個穩定點之間的距離作為樣本,進行概率密度函數曲線擬合.由于各個穩定軸附近會有大量距離接近的點,這些點在概率密度函數曲線上會形成多個波峰和波谷.根據該特點,本文先自動選取概率密度函數曲線上第1個波谷所對應的橫坐標值,然后將此值的一半作為距離dmn的閾值.

對第1次聚類結果進行再次聚類時定義2個模態之間的MAC值的距離為

dmn-2=1-MACm,n

(9)

式中,MACm,n為第i和j個模態振型的相似度.若2個模態間的MAC值較大,表明此2個模態較為接近,此時dmn-2較小.根據實際工程經驗,可以選取MAC的閾值為0.1.

經過二次聚類后,穩定圖的穩定點已經根據各個穩定點之間的相似性,形成了各種規模大小不一的類.由于聚類結果中元素過少的類表示真實模態對應的穩定點所形成的類的可能性較小,故本文認為聚類結果中少于3個元素的類即為虛假模態所引起的穩定點構成的類,即各類中的元素個數的最小值Nm=3.

3 基于圖論聚類的SSI模態參數自動識別

基于圖論聚類的隨機子空間模態參數自動識別的步驟如下:

① 采用協方差驅動的隨機子空間法識別結構的模態參數,并作出穩定圖.

② 采用模態相似指數方法、基于距離的異常點檢測算法來剔除穩定圖中由噪聲等引起的虛假模態.

③ 基于圖論聚類法,針對剔除虛假模態后的穩定圖建立最小生成樹,并根據式(8)獲得第1次聚類時針對頻率所定義 2個模態之間的距離.以各個穩定點之間的距離作為樣本,進行概率密度函數曲線擬合,自動設定概率密度函數曲線上第1個波谷所對應的頻率值的1/2為距離dmn的閾值d,進而完成基于圖論聚類法的第1次聚類.

④ 根據MAC值所定義的距離作為第2個聚類指標,采用圖論聚類法對第1次聚類結果進行進一步聚類.

⑤ 將聚類結果中聚類數目少于3的類進行剔除,完成模態參數自動識別.

4 實例驗證

灌河大橋主橋為雙塔雙索面半漂浮5跨連續組合梁斜拉橋(見圖1),跨徑組成為(32.9+115.4+340+115.4+32.9) m.灌河大橋于2006年11月竣工通車,2013年安裝了健康監測系統[18].

圖1 江蘇沿海高速灌河大橋

灌河大橋主橋含有11×3個加速度測點(三向),采樣頻率為50 Hz.本文首先采用灌河大橋0.5 h的加速度數據來識別灌河大橋的結 構 模 態參數,并采用有限元分析結果進行驗證.隨后基于灌河大橋一年的加速度數據,表明了所提出的方法在橋梁結構海量加速度數據的模態參數自動識別過程中的可行性.

4.1 基于有限元的灌河大橋模態分析結果

基于三階響應面方法對灌河大橋的初始有限元模型(見圖2)進行修正后,得到的各階模態參數識別結果以及與環境振動試驗相應的各階模態結果如表1所示,修正后的有限元模型計算振型如圖3所示.由表1可知,豎向頻率最大相對誤差不超過2%,MAC值均在90%以上.這表明修正后的有限元模型較為可靠,可為灌河大橋模態參數識別結果的驗證提供參考.

圖2 灌河大橋有限元模型

階次修正后計算值環境振動測試SSI法實測值誤差/%MAC/%10．380．380．290．5220．510．501．190．6930．780．770．995．3840．880．880．290．1250．950．950．095．0161．021．030．9791．01

(a) 1階

(b) 2階

(c) 3階

(d) 4階

(e) 5階

(f) 6階

4.2 灌河大橋模態參數自動識別

本文首先基于灌河大橋健康監測系統于2014-03-27h10:46至11:16這0.5 h所采集的加速度響應數據,采用協方差驅動的隨機子空間法來識別灌河大橋的結構模態參數,獲得的穩定圖如圖4所示.針對相鄰的結構模態,頻率偏差臨界值取2%,阻尼比偏差臨界值取30%,模態振型偏差臨界值取2%.

由于阻尼比的離散性較大,故在采用模態相似指數(MSI)剔除結構虛假模態的過程中,為了保留結構真實模態,將參數取值適當放大,具體取值如下:

Wf=0.5,Wξ=0.2,WMAC=0.3
df=0.15,dξ=0.2,dMAC=0.2

基于MSI剔除部分虛假模態后的穩定圖如圖5所示.對比圖4和圖5可知,部分離散虛假模態相對應的穩定點已被剔除.

采用基于距離的異常點檢測算法來進一步剔除部分可能對識別結構真實模態產生干擾的穩定點,穩定圖如圖6所示.

圖4 采用隨機子空間法獲得的穩定圖

圖5 基于MSI剔除部分虛假模態后的穩定圖

圖6 利用基于距離的異常點檢測算法剔除部分 虛假模態后的穩定圖

然后,以圖6為基礎,采用圖論聚類法對穩定圖中的穩定點進行聚類.具體過程如下:

① 采用普里姆算法,根據圖6建立如圖7所示的最小生成樹,圖中各穩定點表示無向圖的頂點,虛線的連接表示頂點之間的邊.

② 根據式(8)所定義的距離可獲得圖7中各階模態間的距離,并對所得距離進行概率密度函數曲線擬合(見圖8).自動選取概率密度函數曲線上第1個波谷所對應的頻率橫坐標的1/2作為距離dmn的閾值.采用此閾值對圖7中的最小生成樹進行分割,獲得的第1次聚類結果如圖9(a)所示,共分為10類.

圖7 基于穩定圖所建立的最小生成樹

圖8 擬合的概率密度函數曲線

③ 采用式(12) 定義的基于模態保證準則的距離對圖9(a)的聚類結果進行進一步聚類,結果如圖9(b)所示.對比圖9(a)和(b)可知,2次聚類結果相同,這說明第1次聚類結果中,每個類中各個模態之間的振型十分接近.由于圖9(b)的聚類結果未出現穩定點少于3個的情況,故不做剔除.

通過對比灌河大橋修正后的有限元模型獲得的結構模態參數(見表1)和基于圖論聚類的隨機子空間模態參數自動識別的聚類結果(見圖9)可知,圖9中標號2,3,5,7,8,9的聚類結果分別對應灌河大橋豎向1～6階的模態.這表明本文所提出的基于圖論聚類的隨機子空間模態參數自動識別方法的結果較為可靠.

最后采用上述模態參數自動識別過程,針對灌河大橋2013-10—2014-09期間采集的加速度數據來識別結構豎向前6階模態參數.在識別過程中,基于每0.5 h所保存的數據集,進行一次結構模態參數識別,最終獲得的各階頻率變化曲線如圖10所示.其中,由于各個月份數據缺失情況不同,故每個月份時間跨度并不一致.另外,由于豎向4階振型和縱向振型耦合,該階模態不易被激勵出,故識別結果所呈現的頻率變化曲線連續性較差.由于灌河大橋扭轉2階和豎向3階頻率比較接近,存在干擾,故豎向3階的識別結果較豎向1,2,5,6階的識別效果稍差.

(a) 第1次聚類結果

(b) 第2次聚類結果

(a) 豎向1階

(b) 豎向2階

(c) 豎向3階

(d) 豎向4階

(e) 豎向5階

(f) 豎向6階

由圖10可知,灌河大橋一年的豎向振動頻率變化基本上呈正弦曲線,其中冬季的頻率偏高,夏季的頻率偏低,這是由于熱脹冷縮的原因,與結構真實的頻率響應規律相符.圖10表明本文方法在針對橋梁結構海量加速度數據的模態參數自動識別中是有效的和可行的.

5 結論

1) 本文提出的基于圖論聚類的隨機子空間模態參數自動識別方法減少了人為因素的影響,可實現2個模態之間距離閾值的自動設定,并且聚類結果中分類較為清晰.

2) 利用采集的灌河大橋0.5 h加速度信號數據,基于所提方法可識別灌河大橋結構模態參數.識別結果與有限元分析結果對比表明,該方法的模態識別結果較為可靠.

3) 基于灌河大橋健康監測系統采集的一年加速數據,運用所提方法進行模態參數識別,結果表明該方法在針對橋梁海量加速度數據的模態參數分析過程中的可行性.

References)

[1]姜金輝, 陳國平, 張方，等. 模糊聚類法在試驗模態參數識別分析中的應用[J].南京航空航天大學學報,2009,41(3):344-347. DOI:10.3969/j.issn.1005-2615.2009.03.012. Jiang Jinhui, Chen Guoping, Zhang Fang, et al. Application of fuzzy clustering theory in experimental modal parameter identification analysis[J].JournalofNanjingUniversityofAeronautics&Astronautics, 2009, 41(3): 344-347.DOI:10.3969/j.issn.1005-2615.2009.03.012.(in Chinese)

[2]孫國富. 基于模糊聚類的模態參數自動識別[J]. 振動與沖擊, 2010, 29(9): 86-88. DOI:10.3969/j.issn.1000-3835.2010.09.020. Sun Guofu. Automatic modal parameters identification based on fuzzy clustering[J].JournalofVibrationandShock, 2010, 29(9): 86-88. DOI:10.3969/j.issn.1000-3835.2010.09.020.(in Chinese)

[3]Reynders E, Houbrechts J, de Roeck G. Fully automated (operational) modal analysis[J].MechanicalSystemsandSignalProcessing, 2012, 29: 228-250. DOI:10.1016/j.ymssp.2012.01.007.

[4]吳春利, 劉寒冰, 王靜. 模糊聚類算法穩定圖應用于橋梁結構參數識別[J]. 振動與沖擊, 2013, 32(4): 121-126. DOI:10.3969/j.issn.1000-3835.2013.04.024. Wu Chunli, Liu Hanbing, Wang Jing. Parameter identification of a bridge structure based on a stabilization diagram with fuzzy clustering method[J].JournalofVibrationandShock, 2013, 32(4): 121-126. DOI:10.3969/j.issn.1000-3835.2013.04.024.(in Chinese)

[5]周思達,周小陳,劉莉,等. 基于模糊聚類的模態參數全因素自動驗證方法[J].北京航空航天大學學報, 2015, 41(5):811-816. Zhou Sida, Zhou Xiaochen, Liu Li, et al. Fuzzy-clustering-based all-factor automatous validation approach of modal parameters of structures[J].JournalofBeijingUniversityofAeronauticsandAstronautics, 2015, 41(5): 811-816. (in Chinese)

[6]楊凱, 于開平, 劉榮賀，等. 兩種新的基于子空間跟蹤的時變模態參數快速辨識算法[J]. 工程力學,2012,29(10):294-300. Yang Kai, Yu Kaiping, Liu Ronghe, et al. Two new fast identification algorithms of time-varying modal parameters based on subspace tracking[J].EngineeringMechanics, 2012, 29(10):294-300. (in Chinese)

[7]章國穩.環境激勵下結構模態參數自動識別與算法優化[D]. 重慶: 重慶大學機械工程學院, 2012.

[8]湯寶平,章國穩,陳卓. 基于譜系聚類的隨機子空間模態參數自動識別[J].振動與沖擊,2012,31(10): 92-96.DOI:10.3969/j.issn.1000-3835.2012.10.020. Tang Baoping, Zhang Guowen, Chen Zhuo. Automatic stochastic subspace identification of modal parameters based on hierarchical clustering method[J].JournalofVibrationandShock, 2012, 31(10): 92-96. DOI:10.3969/j.issn.1000-3835.2012.10.020.(in Chinese)

[9]Magal?es F, Cunha, Caetano E. Online automatic identification of the modal parameters of a long span arch bridge[J].MechanicalSystemsandSignalProcessing, 2009, 23(2):316-329.DOI:10.1016/j.ymssp.2008.05.003.

[10]Ubertini F, Gentile C, Materazzi A L. Automated modal identification in operational conditions and its application to bridges[J].EngineeringStructures, 2013, 46: 264-278.DOI:10.1016/j.engstruct.2012.07.031.

[11]Diez A, Khoa N L D,Makki Alamdari M, et al. A clustering approach for structural health monitoring on bridges[J].JournalofCivilStructuralHealthMonitoring,2016,6(3): 429-445. DOI:10.1007/s13349-016-0160-0.

[12]Neu E, Janser F, Khatibi A A, et al. Fully automated operational modal analysis using multi-stage clustering[J].MechanicalSystemsandSignalProcessing, 2017, 84:308-323.DOI:10.1016/j.ymssp.2016.07.031.

[13]辛峻峰.基于隨機子空間法的海洋平臺模態參數識別技術研究[D].青島:中國海洋大學工程學院,2013.

[14]錢云濤, 趙榮椿,謝維信.魯棒聚類——基于圖論和目標函數的方法[J].電子學報,1998, 26(2): 91-94. DOI:10.3321/j.issn:0372-2112.1998.02.021.

[15]殷劍宏,吳開亞. 圖論及其算法[M].合肥:中國科學技術大學出版社, 2003: 1-4.

[16]Rosen K H. 離散數學及其應用[M]. 6版. 袁崇義,等譯.北京:機械工業出版社,2011: 344.

[17]劉鎖蘭,王江濤,王建國，等. 一種新的基于圖論聚類的分割算法[J].計算機科學,2008, 35(9): 245-247. DOI:10.3969/j.issn.1002-137X.2008.09.066. Liu Suolan, Wang Jiangtao, Wang Jianguo, et al. New segmentation technique based on clustering of graph theory[J].ComputerScience, 2008, 35(9): 245-247. DOI:10.3969/j.issn.1002-137X.2008.09.066.(in Chinese)

[18]樊星辰. 基于健康監測的結合梁斜拉橋安全預警方法研究[D].南京:東南大學土木工程學院,2014.

Automatic stochastic subspace identification of modal parameters based on graph clustering

Zheng Peijuan1Lin Dinan2Zong Zhouhong1Yu Daoxing1

(1School of Civil Engineering, Southeast University, Nanjing 210096, China) (2Fujian Key Laboratory of Green Building Technology, Fujian Academy of Building Research, Fuzhou 350025, China)

In order to improve the degree of automation in the process of modal parameter identification for bridge structures based on the stochastic subspace identification method, and reduce human intervention, an automatic modal parameter identification method based on graph clustering for bridge structure is proposed. First, some methods are adopted to initially weed out the false modes caused by the data accuracy, noise and so on. Secondly, the graph clustering theory is used to identify the structural modal parameters according to the distances defined by structural frequency and modal assurance criterion (MAC) index, respectively, so as to finish the automatic modal parameters identification. The automation modal parameters identification of the structure is realized by the proposed method based on 0.5 h acceleration data of Guanhe bridge, and the identification results are verified by the corresponding finite element model. Then, the proposed method is used to identify the modal parameters of Guanhe bridge based on one-year acceleration data from its structural health monitoring system, which indicates that the method is feasible for the modal parameter automatic identification of the bridge structure with massive acceleration data.

modal parameter identification; graph-based cluster; stochastic subspace identification method; stabilization diagram

10.3969/j.issn.1001-0505.2017.04.014

2017-01-16. 作者簡介: 鄭沛娟(1987—)，女，博士生；宗周紅(聯系人)，男，博士，教授，博士生導師，zongzh@seu.edu.cn.

國家自然科學基金資助項目(51378112)、江蘇高校優勢學科建設工程資助項目.

鄭沛娟，林迪南,宗周紅,等.基于圖論聚類的隨機子空間模態參數自動識別[J].東南大學學報(自然科學版),2017,47(4):710-716.

10.3969/j.issn.1001-0505.2017.04.014.

TB122,U441.3

A

1001-0505(2017)04-0710-07