仿生建筑中薄殼結構的力學建模及分析

鄧澤宇

摘 要：仿生是人類學習自然、探索自然的重要方法。在建筑學的研究和發展中，研究者借鑒了自然界中的蛋殼、龜殼等殼類結構來幫助人們實現建筑物的輕質高強的設計目標。本文分析了在均勻壓力加載下，薄殼結構和板結構的內力以及變形信息，并通過具體的算例對比了這兩種結構在工程應用中的優劣。本文研究發現在相同外載荷下，如果薄殼代替板，結構產生的最大內力和最大位移會大幅度降低。同時，本文進一步探索了薄殼結構力學承載優勢產生的原因。

關鍵詞：仿生建筑；薄殼結構；外界壓強；板結構；受力分析

中圖分類號：TU33 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2017）14-0083-02

1 概述

經過萬億年的進化，自然界的生物具有高度優化的結構、形態和功能，因此生物界有太多值得人類學習和借鑒的地方。作為人類最古老的學科之一的建筑學，仿生方法對其研究和發展產生了重要的影響，大量新式的建筑也因此應運而生：比如美國芝加哥的人稱“玉米大廈”的“瑪麗娜城”大廈，荷蘭鹿特丹的“城市仙人掌”以及諸多仿草莖結構的超高層建筑等等[1]。輕質高強一直是人類建筑設計所追求的目標。生物界的蛋殼、貝殼、烏龜殼、海螺殼等各種薄殼類結構不僅具有彎曲優雅的外形，更輕質高強。從力學的角度，這些生物薄殼雖然用材極少，但非常耐壓。這是由于當薄殼結構承受壓力時，結構內的每一處材料都會較為均勻地承受外力，相當于將材料的利用效率最大化。人們受到生物薄殼啟發，在建筑工程中廣泛應用殼體結構，從而實現了輕質高強的設計目標。比如受啟發于貝殼的外形，法國修建了國家工業與技術中心（CNIT）大廈，這棟建筑具有當時世界上最大水泥蒼穹，其薄殼棚頂下覆蓋的面積幾乎可以罩住巴黎協和廣場；此外，美國肯尼迪機場候機大樓、人民大會堂、北京火車站以及其他很多著名建筑的屋頂都采用了薄殼結構[2]。

本文從力學的角度探討薄殼結構在承受外界壓縮時結構內部的受力特征。進一步地，通過對比薄殼結構和板結構在受到相同外力時的不同表現，我們發現了在承受相同外力條件下，選用殼類結構替代板類結構承壓，能夠大大降低結構產生的內力和變形，從而提高結構的安全性。以上討論說明了在使用相同材料的情況下，使用薄殼設計是更加科學的選擇。

2 薄殼結構的力學建模

殼和板是人們常用的兩種承力的結構，其最大的差別是，殼具有一定的弧度，而板是一塊平整的材料。初始弧度的差別就導致了板和殼在承受均勻外界壓力情況下的力學表現完全不同。如圖1所示，我們將針對板和殼在均勻外壓下結構內部材料的受力狀態進行分析，并根據板和殼的具體表現來判斷哪種結構更適合承受載荷。

設板和殼都具有相同的厚度h，跨度D，承受的壓強大小為p。在p作用下，我們選擇結構的最大內應力σ和最大變形位移w作為評價結構力學性能的標準。其中σ代表單位面積上沿結構軸向的拉力的大小，其具有壓強的量綱。顯然，σ和p之間存在一定聯系，即。換言之，，即受控于h和D的函數關系。由于是無量綱的，函數f的計算結果也必須是無量綱的，這就要求函數f的自變量也是無量綱的。于是我們可以得到

根據彈性力學和板殼理論的推導結果[3]，我們最終可得：

為了求解結構的最大位移w，我們需要引入材料常數E。與彈簧剛度的概念類似，E代表在單位面積上使單位長度的材料發生一定變形所需的力的大小。這個量也具有壓強的量綱，比如對于鋼材料，人們發現E=210GPa。顯然，我們有如下幾條結論：w隨p增大而增大；E增大但p不變時，變形量w變??；幾何結構跨度D增大時，變形量w也會相應增大?？偨Y上述結論，我們有。整理上式后我們有，。類似于結構內力的分析，函數F的計算結果也必須是無量綱的。根據板殼理論的推導，我們最終有：

3 薄殼結構的力學承載優勢分析

乍看上去，板和殼似乎并無太多差別：兩者之間唯一的不同就是結構是否是彎曲的。實際上，這個形狀的差別將會導致結構的內力以及變形大小完全不同。比如，我們采用公式（2）和公式（3）對以下案例進行分析：假設一個跨度D為20米的屋頂，由厚度h為20cm的鋼板組成。由鋼板的自重產生的壓強p的大小為，其中鋼板的密度為7.8t/m3，g為重力加速度。對于該算例，我們可以得到，=47.2MPa，=0.38MPa，兩者之間的相差倍數為123.6倍；對于結構的最大位移，我們有=64.1mm，=0.013mm，兩者之間相差5028倍！為了進一步說明殼式結構設計相對于板設計的巨大優勢，我們改變跨度D的數值，并令h等其他參數保持不變，得到和隨D的變化關系如圖2所示。

通過圖2我們可以發現，隨著跨度D的增長，結構的最大內力比線性增長，而最大變形比以二次方形式增長。由于對于特定工程結構，如果結構的最大內力達到一定數值，材料可能會發生破壞，從而導致整個結構的失效，即結構中的最大內力越小則結構越安全；同時，由于空間的要求，結構的最大變形量也不能過大。根據圖2的對比，以及人們對工程建筑的設計要求，我們可以發現，在結構均勻承壓情況下，薄殼結構相對于板結構更具優勢。

為什么初始曲率不同就會造成結構力學特性發生如此大的改變呢？我們通過圖3可以進行一個簡要的說明。如圖3所示，由于板是平的，所以在在受壓后，板的下表面承受拉力，而上表面承受壓力，結構的最大內力在板的下表面處產生；與板不同，由于殼是彎曲的，在其內部承壓時，結構的內力沿截面均勻分布。那么，對于板而言，沿剖面方向的內力大小處處不同，甚至有時連方向都不同，即每一處的材料使用的效率不同；而對殼而言，受力分布有較大的改善。根據圖3的分析以及我們的生活常識，在相同受力條件下，一個處處“齊心協力”的結構具有更好的安全性及力學優勢。

圖3中所述的生物啟發的力學原理，在大量的工程結構中得到了應用。比如，中國古代建筑的驕傲——趙州橋：其矗立千年而不倒的最主要原因是因為它的幾何形態為拱形的。這種拱形的結構使得其具有和殼類似的受力特性：橋在受壓時，結構內的各個磚瓦受力相對均勻，物盡其用，從而避免了局部破壞導致整體破壞的悲劇發生。

4 結語

仿生設計是人類科學研究中的重要手段和方法。通過觀察自然界如蛋殼、龜殼等薄殼類結構的力學機理，人們在建筑上廣泛使用了薄殼類設計作為承壓結構。相比于廣泛使用的板結構而言，在承受相同的均勻壓力的條件下，殼類結構具有無與倫比的優勢：比如，結構產生的內力更小，結構產生的變形位移更小。這些優勢產生的主要原因是殼類結構的初始彎曲改變了結構內力的分布形式，從而使得結構內的材料承力均勻，物盡其用。

參考文獻

[1]俞冬良，葉青會，李忠學.高層建筑中的仿生學原理及應用[J].結構工程師，2009（6）：138-143.

[2]葉青會，陶健，俞冬良，等.仿生學原理在空間結構中的應用[J].結構工程師，2010（3）：13-18.

[3]黃克智，等.板殼理論[M].清華大學出版社，1987.