輪-腿復合移動機器人RUPU-RUPR球面并聯腿機構動力學研究

桑董輝 陳 原 高 軍

(山東大學(威海)機電與信息工程學院， 威海 264209)

輪-腿復合移動機器人RUPU-RUPR球面并聯腿機構動力學研究

桑董輝 陳 原 高 軍

(山東大學(威海)機電與信息工程學院， 威海 264209)

提出了一種二自由度球面并聯腿機構，并以該機構為基礎，設計了一種結構簡單且越障性能良好的輪-腿復合移動機器人。闡述了該機構的組成，采用解析幾何法和閉環約束方程構建了RUPU-RUPR球面并聯腿機構的位置逆解、工作空間、速度和加速度模型,并驗證了其準確性。運用牛頓-歐拉法建立了RUPU-RUPR球面并聯腿機構的動力學模型。在給定動平臺的運動規律和外力后，通過動力學方程求解出RUPR驅動支鏈驅動力，RUPU驅動支鏈驅動力矩以及RUPR驅動支鏈約束力矩，并給出動力學模型仿真解。結果表明該機構具有良好的工作性能。

輪-腿復合移動機器人； 球面并聯機構； 動力學模型

引言

從行進機構的拓撲構型角度，可將移動機器人分為輪式、腿式、履帶式和復合式4種類型[1-3]。輪式移動機構應用最為普遍，其結構簡單、移動速度快，但在特殊環境下越障能力差。由仿生學發展而來的腿式移動機構行走時與地面接觸為不連續的離散點，適合于攀爬和跨越簡單障礙，而對于復雜崎嶇的地形也存在局限性。履帶式移動機構支撐面積大、接地比壓小，適合在松軟的路面行走，但履帶式機器人存在行動速度慢、振動大、靈活性不足等缺陷。為了適應復雜的陸地環境，目前很多機器人都采用復合移動機構。其中，輪-腿復合式移動機器人[4-7]兼具輪式機器人的穩定性好和腿式機器人的越障能力強的優點，受到國內外學者的廣泛關注[8-10]。

目前，輪-腿復合式移動機構的構型研究僅局限于串聯機構[11-16]。串聯式輪-腿復合移動機構雖然具有良好的越障性能，但存在驅動關節多、控制難度大、運動姿態單調和剛度差等缺陷。與串聯腿機構相比，并聯腿機構具有控制簡單、姿態調整豐富且剛度高的優點，它可根據機器人移動操縱任務要求產生其他多維方向上的輪子空間姿態調整運動。但現有的多自由度并聯機構自由度過多，且整體安裝模塊大，在結構上很難應用于輪-腿復合式移動機器人的腿部機構。球面并聯機構[17-24]的工作空間大且連續性強，能使安裝于動平臺上的輪子到達球面空間內的任意位置，這樣會大大提高機器人在復雜多變環境下的越障靈活性。但現有的球面并聯機構大多具有3條支鏈以上，且自由度多、控制困難。為了提高復雜環境下移動機器人的越障性能,本文提出RUPU-RUPR二自由度球面并聯腿機構?；谠撉蛎娌⒙摍C構，設計一種可以實現靈活越障功能的輪-腿復合式移動機器人。并對RUPU-RUPR并聯機構進行運動學和動力學建模分析。

1 RUPU-RUPR球面并聯腿機構

1.1 RUPU-RUPR球面并聯腿機構設計

如圖1所示為輪-腿復合式移動機器人的RUPU-RUPR球面并聯腿機構。該機構由動平臺、靜平臺、RUR傳動支鏈和兩條驅動支鏈構成。轉動副6、萬向節5、移動副4和萬向節3構成了RUPU驅動支鏈。轉動副9、萬向節10、移動副11(用螺旋副代替，采用電機驅動)和轉動副1構成了RUPR驅動支鏈。中間RUR傳動支鏈由轉動副7、萬向節8和轉動副2構成。

圖2 RUPU-RUPR球面并聯腿機構的運動姿態Fig.2 Motion gestures of RUPU-RUPR spherical parallel mechanism

圖1 RUPU-RUPR球面并聯腿機構Fig.1 RUPU-RUPR spherical parallel mechanism1、2、6、7、9.轉動副 3、5、8、10.萬向節 4.移動副 11.螺旋副

1.2 RUPU-RUPR球面并聯腿機構運動特性

RUPU驅動支鏈是把驅動電機的扭矩通過轉動副6、萬向節5、移動副4(該移動副截面為四邊形，可以傳遞扭矩)和萬向節3把扭矩傳遞到動平臺，以實現如圖2a所示的動平臺繞Y軸的旋轉。RUPR驅動支鏈把驅動電機的扭矩通過轉動副9、萬向節10傳遞到螺旋副11，實現如圖2b所示的動平臺繞X軸方向的旋轉。2條支鏈同時作用時，機構姿態如圖2c所示。RUR傳動支鏈通過轉動副7、萬向節8和轉動副2把輸出扭矩傳遞到輪子，實現輪子的旋轉運動。通過調整2條驅動支鏈的驅動電機的轉速和轉向，可使動平臺到達以RUR傳動支鏈長度為半徑的球面空間中的任一點，實現輪子的靈活轉向和越障。

2 輪-腿復合式移動機器人及其越障性能

以RUPU-RUPR球面并聯機構作為移動機器人的腿機構，構建了如圖3a所示的輪-腿復合式機器人。該機器人結構簡單，驅動電機全部布置在軀干內。機器人兩側對稱分布4個RUPU-RUPR球面并聯機構，機構的動平臺連接輪子。為了保證機器人在各種姿態下的平穩運行，防止輪子出現打滑和卡死現象，在對稱分布的兩個球面并聯機構的主軸中間安裝有如圖3b所示的差速器。

圖3 輪-腿復合式移動機器人Fig.3 Wheel-legged mobile robots

圖4 輪-腿復合式移動機器人的越障姿態Fig.4 Obstacle crossing motion gestures of wheel-legged mobile robots

當RUPU-RUPR球面并聯機構在其工作空間內進行姿態調整時，可以實現輪-腿復合式機器人的轉向以及如圖4所示的小半徑轉向、越障以及轉向越障等各種越障姿態。RUPU-RUPR球面并聯機構的輪子可以到達其球面工作空間上的任意一點，輪子的角度可以任意調控，從而使輪子具有非常靈活的越障性能。

3 RUPU-RUPR球面并聯機構的運動學建模

RUPU-RUPR球面并聯機構的運動學建模是在動平臺姿態角已知的情況下，求兩條驅動支鏈的伸縮位移、伸縮速度、旋轉角速度、伸縮加速度以及動平臺的角速度。在進行運動學建模之前，首先建立如圖5a所示的坐標系，在靜平臺上建立固定坐標系{A}(OXYZ)，其坐標原點建立在靜平臺中心O處，X軸垂直于A1A2，Y軸沿A1A2方向，Z軸符合右手定則；同理，在動平臺上建立動坐標系{P}(PXPYPZP)。在支鏈上建立支鏈坐標系{A1}(A1X1Y1Z1)，該坐標原點在A1處，Z1軸從A1指向B1，Y1軸平行于YZ平面，X1軸符合右手定則。

圖5 坐標系及坐標變換Fig.5 Coordinate frame and transformation

3.1 坐標變換與位置逆解

(1)

式中ATP——動坐標系到定坐標系的旋轉矩陣

當動平臺姿態角為α和β，RUR傳動支鏈OP長度為h時，動坐標系{P}的原點在固定坐標系下的位置向量U為

(2)

其中

式中u——{P}的原點在固定坐標系中位置向量

同理，根據RUPR驅動支鏈的姿態角θ和φ(θ為支鏈繞X軸旋轉的角度，φ為支鏈繞Y軸旋轉的角度)，可以得到RUPR驅動支鏈相對于定平臺的旋轉矩陣為

如圖5b所示，為了方便計算假設lOB1=lOA1=R。當動平臺繞X軸轉過α角度時，RUPR驅動支鏈轉過角度為φ，其中，α為以R為半徑的圓的圓心角，φ為以R為半徑的圓的圓周角，可得φ=0.5α。

在固定坐標系下，RUPR驅動支鏈、靜平臺、動平臺和RUR傳動軸構成如圖5a所示的四邊形結構，用向量表示為lOA1+lA1B1=lOP+lPB1，因此，機構的閉環約束方程可以表示為

A1+l1AS1=b1

(3)

其中

式中A1——A1點在固定坐標系中的位置向量l1——向量lA1B1的模AS1——向量lA1B1在固定坐標系下單位向量

b1——B1點在固定坐標系下的位置向量

求解方程(3)得

(4)

式中h1——OB1的長度

向量lA1B1的單位向量在支鏈坐標系{A1}下表示為

A1S1=[0 0 1]T

在固定坐標系{A}下可表示為

RUPU驅動支鏈可以把扭矩從電動機直接傳遞到動平臺，所以RUPU驅動支鏈上轉動副6轉過的角度γ與動平臺繞Y軸轉過的角度β一致，即γ=β。聯立方程(4)得到RUPU-RUPR球面并聯機構的運動學位置逆解為

(5)

當RUPR驅動支鏈的螺旋副為驅動副(視為移動副計算)時，RUPU驅動支鏈的移動副起到被動約束作用。由于兩條驅動支鏈的移動副都由缸體和活塞兩部分組成，這里假設兩條支鏈的缸體與活塞長度一樣，在固定坐標系下缸體和活塞的質心位置向量可表示為

(6)

式中Ar1——缸體質心位置Ar2——活塞質心位置e1——缸體長度e2——活塞長度

3.2 速度與加速度模型構建

根據RUPR驅動支鏈的運動姿態角θ和φ，以及支鏈旋轉矩陣ATA1，可以求得支鏈的角速度矢量為

同理，根據動平臺的運動姿態角α、β以及動平臺相對于固定平臺的旋轉矩陣ATP，求得動平臺的角速度矢量為

式(3)右側對時間求導，得到固定坐標系下RUPR驅動支鏈上B1點的速度矢量為

AVB1=Aωb1

(7)

(8)

將式(3)左側對時間求導，并通過坐標變換也可得支鏈坐標系下B1點的速度矢量為

(9)

式中A1ω1——支鏈坐標系下RUPR驅動支鏈繞A1點轉動的角速度矢量

將式(8)代入式(9)并用向量A1S1對式(9)兩邊作點積可得

(10)

式中A1VB1z——B1點的速度矢量AiVB1在Z方向的分量，即支鏈的伸縮速度，用支鏈坐標系下Z方向的移動速度表示

式(6)對時間求導，并通過坐標變換可得到支鏈坐標系下缸體和活塞的質心速度

(11)

式(7)對時間求導可得固定坐標系下B1點的加速度矢量

(12)

(13)

式(13)兩邊用向量A1S1作點積，可得RUPR驅動支鏈的伸縮加速度

(14)

式(11)對時間求導，并通過坐標變換得到缸體和活塞的質心加速度矢量

(15)

4 RUPR-RUPU并聯機構動力學建模

如圖6所示為RUPR-RUPU球面并聯機構的受力簡圖，該機構為二自由度球面并聯機構。RUPR驅動支鏈的驅動電機通過螺旋副把輸出的扭矩轉化為直線推力，使動平臺繞X軸轉動。RUPU支鏈的驅動電機把輸出扭矩通過如圖1所示的轉動副6、萬向節5、移動副4和萬向節3傳遞到動平臺，使動平臺繞Y軸轉動。RUPU驅動支鏈中的移動副起被動約束作用。轉動副1限制了動平臺的繞Z軸的轉動自由度。

圖6 RUPU-RUPR球面并聯機構的受力簡圖Fig.6 Mechanism force diagram of RUPU-RUPR spherical parallel

4.1 支鏈動力學方程

設fb=[0fpyfpz]T為支鏈坐標系下RUPR驅動支鏈作用于動平臺的三維力向量，g=[0 0 -g]T為固定坐標系下的重力加速度向量，M為RUPU驅動支鏈的驅動力矩，Mp為RUPU支鏈傳遞到動平臺U副上的扭矩，Mbx為RUPR支鏈所受的扭矩。假設RUPU支鏈的扭矩傳遞效率為100%，通過受力分析可以得到RUPR支鏈的牛頓方程

(16)

式中Fp——動平臺所受合外力F——RUPR支鏈直線驅動力m2——支鏈活塞質量

RUPR支鏈在支鏈坐標系下相對于坐標原點A1的合外力矩向量為

A1MA1=l1A1S1(-fp)+

[m1e1+m2(l1-e2)](A1S1×A1g)+Mb

(17)

其中

A1g=ATA1Tg

式中A1g——支鏈坐標系下的重力加速度Mb——支鏈坐標系下動平臺作用于RUPR驅動支鏈的扭矩

m1——支鏈缸體質量

通過坐標轉換得到RUPR支鏈所受的扭矩Mb

Mb=Rx(θ)Rx(α)Mp

(18)

其中

Rx(α)和Rx(θ)分別為固定坐標系和動坐標系繞Y軸的旋轉矩陣。

RUPR驅動支鏈在其支鏈坐標系下坐標原點相對A1的合慣性力矩向量為

A1NA1=-m1e1(A1S1iV1)-m2(l1-e2)(A1S1A1V2)-

(19)

式中A1I1、A1I2——缸體和活塞在RUPR支鏈坐標系下關于質心的慣性矩陣

由歐拉方程得到力矩平衡方程為

A1NA1=A1MA1

(20)

聯立式(16)和式(20)得到支鏈的動力學方程，對其求解可得RUPR驅動支鏈使動平臺繞X軸轉動的驅動力

4.2 動平臺動力學方程

動平臺只具有X、Y方向的旋轉運動，因此以固定坐標系原點O為質心建立歐拉方程為

ANp+b1Afp+AMp+Anp=0

(21)

Afp=AiTpfp

(22)

式中Anp——固定坐標系下動平臺關于質心的慣性力矩向量

ANp——固定坐標系下動平臺所受載荷力矩矢量

Afp——固定坐標系下RUPR驅動支鏈對動平臺的作用力

AMp——固定坐標系下RUPU驅動支鏈作用于動平臺的扭矩

AIp——固定坐標系下動平臺關于質心的慣性矩陣

求解方程(21)可得fpz和Mp,將其代入式(16)可求得到驅動力F，聯立式(16)、(20)和(22)，可得RUPU-RUPR球面并聯機構的動力學模型

圖7 運動學數值仿真結果Fig.7 Numerical simulation results of kinematics

5 RUPU-RUPR球面并聯腿機構的算例仿真

經Matlab編程計算，可得動平臺和B1點運動軌跡、動平臺角速度、B1點線速度、支鏈伸縮速度、支鏈伸縮加速度等運動學模型數據。這些運動學數值仿真軌跡曲線如圖7所示。另外，通過數值模擬得到如圖8所示的動平臺工作空間三維圖，從圖8中可看出該機構工作空間為球面空間的子集。

假設動平臺以2 rad/s的速度繞固定坐標系的X軸和Y軸轉動。機構質心重力加速度為g=[0 0 -10]T，動平臺所受外力為fp=[0 0 0]T，動平臺所受載荷力矩矢量為Np=[0 0 0]T。假設2條支鏈的缸體和活塞質量相同m1=m2=1 kg，動平臺質量m設為1 kg。2條支鏈的轉動慣量設為

動平臺轉動慣量為

圖8 工作空間Fig.8 Workplace

經Matlab編程計算，可得RUPR驅動支鏈的驅動力，RUPU驅動支鏈的驅動力矩以及RUPR驅動支鏈的約束力矩，其仿真曲線如圖9所示。從圖中可以看出RUPU驅動支鏈所需的驅動力矩和RUPR

驅動支鏈所需的約束力矩較小，RUPR驅動支鏈所需的驅動力較大。為了減少振動和防止過載，根據螺旋副受力

N=F′d/(nπ)

式中N——螺旋副扭矩F′——軸向力n——螺旋副正效率d——導程

選擇大導程螺旋副以減少驅動扭矩。這些動力學模型的數值仿真結果可為后續電動機選型和機器人越障性能的分析提供理論指導。

圖9 動力學數值仿真結果Fig.9 Numerical simulation results of dynamics

6 結論

(1)提出了一種二自由度球面并聯腿機構，該機構結構緊湊，控制靈活，并具有球面工作空間?；谠撉蛎娌⒙摍C構設計了一種能夠實現靈活越障的輪-腿復合移動機器人。

(2)采用解析幾何法和閉環約束方程建立了機構的運動學模型，并通過數值模擬驗證了位置逆解、速度解、加速度解的正確性，并仿真出機構的工作空間。

(3)基于牛頓-歐拉方程構建了機構的動力學模型，并通過數值仿真計算得出機構的驅動力矩、驅動力和約束力矩，為后續的控制，步態規劃以及越障性能分析奠定基礎。

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Dynamics Investigation of RUPU-RUPR Spherical Parallel Mechanism for Wheel-Legged Mobile Robot

SANG Donghui CHEN Yuan GAO Jun

(SchoolofMechanical,Electrical&InformationEngineering,ShandongUniversity，Weihai264209，China)

A kind of 2-DOF spherical parallel mechanism was presented. Based on the mechanism, a type of wheel-legged mobile robot was developed, which had a simple structure and a good obstacle climbing ability. According to the design theory for parallel mechanisms based on position and orientation characteristic equation and the principle for the coupling degree reducing, a novel 2-DOF spherical parallel mechanism was proposed. The inverse kinematics, workspace, velocity and acceleration model of RUPU-RUPR spherical parallel mechanism were modeled by using analytic geometry method and closed loop constraint equation. The workspace, velocity and acceleration solutions were verified by numerical methods. The dynamic equations of RUPU-RUPR spherical parallel mechanism was also established by Newton-Euler formulation. Given the platform moving rules and external forces, the driving torque of the RUPU joint and the constraints torque of the RUPR joint were calculated. A simulation solution of the dynamic model was given. The results illustrated that the spherical parallel mechanism had a simple mechanical structure and large workspace. The research provided a theoretical base for its kinematics and dynamics and workplaces of this spherical parallel mechanism.

wheel-legged mobile robots; spherical parallel mechanism; dynamic model

10.6041/j.issn.1000-1298.2017.08.045

2017-04-18

2017-06-14

國家自然科學基金項目(51375264)和山東省科技重大專項(2015JMRH0218)

桑董輝(1989—)，男，博士生，主要從事機器人機構學研究，E-mail： sdwhsdh@163.com

陳原(1976—)，男，副教授，主要從事機器人機構學研究，E-mail： cyzghysy@sdu.edu.cn

TP242; TH113

A

1000-1298(2017)08-0376-08