高程系統定義分析與高精度GNSS代替水準算法

章傳銀，蔣 濤，柯寶貴，王 偉

中國測繪科學研究院，北京 100830

高程系統定義分析與高精度GNSS代替水準算法

章傳銀，蔣 濤，柯寶貴，王 偉

中國測繪科學研究院，北京 100830

從高程系統定義出發，探討高程基準面的重力等位性質，測試分析不同類型高程系統地面點高程之間的差異，考察GNSS代替水準與實際水準測量成果的一致性，進而提出新的GNSS代替水準算法。主要結論包括：①當精度要求達到厘米級水平時，正常高的基準面也應是大地水準面。中國國家1985高程基準采用正常高系統，其高程基準面是過青島零點的大地水準面。②近地空間中等解析正高面與大地水準面平行，GNSS代替水準能直接測定地面點的解析正高，但正常高系統更有利于描述地勢和地形起伏。③本文給出的GNSS代替水準測定近地點正常高算法，大地高誤差對正常高結果的影響比大地水準面誤差大，前者影響約為后者的1.5倍。

GNSS代替水準；高程系統；高程基準面

1 若干定義

1.1 正(常)高的力學定義

地面點的正高h定義為

(1)

(2)

式中，g0為地面點的實測重力；G為萬有引力常數；ρ為地殼密度；?γ/?h為正常重力梯度。

在式(1)中，將流動點重力g用流動點正常重力γ替換，得到正常高h*定義如下[1，2，7]

(3)

1.2 解析正高與Molodensky正常高

1.2.1 解析正高

若直接由地球外部重力場數據，按解析延拓法計算地面點到大地水準面間的流動點重力g，則平均重力可按式(4)確定

(4)

(5)

與Helmert正高相比，解析正高可適用于近地空間的非地面點，利用解析正高公式，易于建立不同類型高程之間的重力學關系。

1.2.2Molodensky正常高

設U0=W0，由Molodensky基本條件U0-UQ=W0-W得

(6)

式中，U0、UQ分別為地球橢球面和Q點的正常重力位；W為A點的重力位。

式(6)中，通過引入Molodensky基本條件，只是將計算重力位數c的積分變量由難以測定的實際重力g變換為可解析計算正常重力γ，但仍然有c=W0-W。

由式(5)和式(6)可得

(7)

式中，H為A點的大地高；ζ為A點的高程異常；N為A點處的大地水準面高。

(8)

本文測試不同類型高程系統地面點高程之間的差異，分析GNSS代替水準與實際水準測量成果的一致性，研究高精度GNSS代替水準算法。

2 高程基準面的重力等位性質

傳統的高程基準由水準原點(高程基準零點)和高程控制網實現，水準點正(常)高的起算面稱為高程基準面或零高程面。為保證GNSS代替水準測定的正(常)高與水準測量成果一致，要求GNSS代替水準中采用的高程基準面與水準點正(常)高的起算面完全一致。

2.1 由高程系統定義分析高程基準面的等位性質

在區域高程基準中，水準點的重力位數cR等于高程基準零點重力位WR與該點重力位W之差，水準點高程的起算重力位等于高程基準零點重力位WR，水準點零高程面的重力位唯一，處處都等于WR，因此，區域高程的零高程面(高程起算面)是過高程基準零點的重力等位面。

對于任一地面點，不論是用正高、正常高還是力高來表示其海拔高程，該點的重力位數c或cR都是唯一的，高程基準面的重力位處處都等于高程基準零點重力位，高程基準面的這種重力等位性質與采用的高程系統類型無關。

總之，不論是正高系統、正常高系統、力高系統，還是重力位數系統，高程基準面是唯一不變的，都是過高程基準零點的大地水準面。

2.2 非地面點的高程異常及其正常高起算面

由式(3)或式(6)可知，正常高定義適合非地面點，而由重力方法確定的似大地水準面是相對計算者選定、用于表示地面的特定數字高程模型而言。設在似大地水準面模型計算時用2′×2′數字高程模型代表地面，若某地面點A的正常高為h，由2′×2′數字高程模型內插得到該點在數字高程模型面上的正常高為h0，由對應的2′×2′似大地水準面模型內插得到該點在數字高程模型面上的高程異常為ζ0，則A點的實際高程異常ζ為[1]

(9)

式中，T、δg、γ分別為地面點到對應數字高程模型面間流動點的擾動位、擾動重力和正常重力。

中國大陸2′×2′數字高程模型的高程最大值一般只有6 km，而珠峰地區的實際地面高程超過8 km。若令δg=-100 mGal，γ≈10 m/s2，Δh=2000 m，則Δζ=100×10-5/10×2000 m=20 cm。即在珠峰地區，若將2′×2′重力似大地水準面直接作為正常高的基準面，則由GNSS代替水準測定的正常高要比實際正常高大20 cm。

當A點不在地面上，如在地面下方或低空高度上，Δζ的絕對值還會進一步增大。因此，將似大地水準面作為正常高的起算面是不嚴密的。

綜上所述，在嚴格意義上所有類型高程系統的基準面都是重力等位面。中國國家1985高程基準采用正常高系統，高程基準面是過青島零點的大地水準面。

3 不同類型高程系統地面點高程之間的差別測試分析

3.1 地面點正常高h*與Molodensky正常高hγ的差別

任意地面點的正常高h*與Molodensky正常高hγ的差異可表示為

(10)

式中，?γ/?h=0.308 6×10-5s-2為正常重力梯度。

在一定海拔高度的大陸地區，ζ<0，因此似地形面在地面上方，由式(10)可得：hγ>h*。

令ζ=-50 m，h*=6000 m，則h*-hγ=-0.308 6×10-6×50×6000 m≈-0.09 m。Molodensky正常高hγ與正常高h*的差異在中國大陸東部地區約為0～3 cm，中部2～5 cm，西部4～10 cm。

在中國《國家一、二等水準測量規范》中，用于計算兩水準點i、i+1間水準高差正常水準面不平行改正ε的平均正常重力公式為[8]

(11)

3.2 解析正高h′與H-N的差別測試分析

由圖3可知，在整個中國大陸地區，GNSS直接代替水準測定的正高h=H-N與解析正高h′相差不到2mm。忽略由地球重力場模型計算其對應大地水準面上重力位W0的計算誤差，則有：h′=H-N?？梢?，等解析正高面與大地水準面平行，GNSS代替水準能直接測定地面點的解析正高。

采用同樣方法，可以測試驗證：hγ=H-ζ。

3.3Molodensky正常高hγ與H-N的差別測試分析

顧及地面點解析正高h′=H-N，則h=H-N與Molodensky正常高hγ的差異可表示為

(12)

由圖4可知，h-hγ隨高度增大而增大，在大地水準面附近接近零，在中國西部北方超過0.5m；在中國東部地區，h-hγ一般小于0.15m。

實際上，由式(7)可得

h-hγ=ζ-N

(13)

4 不同類型高程的水準面不平行性

4.1GNSS代替水準中水準面不平行改正的通用形式

設GNSS定位測得地面點大地高為H，地面點到大地水準面的大地高差為h=H-N，由地球重力場知識可知，該點的重力位W=T+U=ζγ+U，其中，T、ζ、U分別為地面點的擾動位、高程異常和正常重力位，顧及通用高程定義hG=c/G，得

(14)

令

(15)

類比水準測量中正常高的水準面不平行改正，這里仍將∈作為GNSS代替水準中通用高程的水準面不平行改正。

由于不能測量地球內部重力，Helmert正高hH的水準面不平行改正也難以準確計算。

若用GNSS代替水準傳遞高差，也需對高差增加水準面不平行改正Δ∈。即

ΔhG=ΔH-ΔN+Δ∈

(16)

4.2 地面點正高與正常高力學性質的差異

由圖2可知，等解析正高面相互之間平行，且都與大地水準面平行；但由圖3可以看出，等正常高面相互之間不平行，等正常高面與大地水準面也不平行。利用等高程面上的重力位差大小和空間分布情況可以評價高程系統的力學性質。圖5是用Eigen6C4重力場模型計算的3000 m等正高面的重力位(圖5(a))和3000 m等正常高面的重力位(圖5(b))。

由圖5可知，等正高面的重力位(已扣除了平均值)隨空間變化復雜，等正常高面沿卯酉圈方向具有等位性質?？疾烀先ι险８叩扔?000 m的兩點A、B，其重力位差ΔWAB≈0.308 6×10-5ΔNABh*≈9.2×10-3ΔNABm2/s2(ΔNAB為兩點處大地水準面高之差)，是小量。圖5(b)中各卯酉圈方向的重力位標準差均小于0.03 m2/s2?？梢?，正常高系統更有利于描述地勢和地形起伏。

5 GNSS代替水準測定正常高的新算法

5.1 GNSS代替水準測定近地點正常高的統一算法

當忽略大陸水負荷、非潮汐海平面和非潮汐大氣負荷等變化引起的大地水準面形變(GRACE監測結果顯示，非潮汐大地水準面形變達到厘米量級)時，大地水準面高不隨時間變化，是穩態的。本文只討論穩態大地水準面情況下GNSS代替水準測定正常高算法。

圖1 Molodensky正常高的幾何意義Fig.1 Geometric interpretation for Molodensky normal height

圖2 地面點Molodensky正常高hγ與正常高h*之差Fig.2 Differences between Molodensky normal height hγ and normal height h* at ground points

圖3 GNSS直接代替水準測定的正高h與解析正高h′的差別Fig.3 Differences between orthometric height h determined by GNSS replacing leveling and actual orthometric height h′

圖4 Molodensky正常高hγ與(H-N)的差別Fig.4 Differences between Molodensky normal height hγ and (H-N)

設GNSS測定近地點A(可以是地面點，也可以是非地面點)的大地高為H，忽略厘米量級的地心運動影響，則GNSS代替水準測定正常高h*(或hγ)的公式可統一寫為如下形式

(17)

實際作業中，可不額外計算水準面不平行改正∈，直接由正常高定義導出GNSS代替水準測定A點正常高hα的統一算法公式為

(18)

式中，W0為大地水準面重力位；γ、U分別為A點正常重力與正常重力位；ζ為A點高程異常，能由大地水準面模型按Possion公式精確計算。GNSS大地高H以ζ、γ、U自變量的形式代入。

不難發現，式(18)也適合于GNSS代替水準測定力高hd的高精度計算。

5.2 高精度GNSS代替水準測定正常高的誤差分析

(19)

對于誤差分析目的，不失一般性，可采用如下線性近似

(20)

(21)

(22)

(23)

式(23)中，GNSS代替水準測定正常高(h*或hγ)的誤差δhα由兩項構成：大地高誤差δH和大地水準面誤差δN，誤差影響因子分別為τH≈1.5(<1.5)和τN≈1(<1)。這表明，1倍大地高誤差會導致近1.5倍的正常高誤差，1倍大地水準面誤差會導致近1倍的正常高誤差。

δhd=δH-δN

(24)

6 小 結

本文從高程系統定義出發，探討高程基準面的重力等位性質，測試分析不同類型高程系統地面點高程之間的差異，考察GNSS代替水準與實際水準測量成果的一致性，進而提出新的GNSS代替水準算法。主要結論包括：

(1) 當精度要求達到厘米級水平時，正常高的基準面也應是大地水準面。中國國家1985高程基準采用正常高系統，其高程基準面是過青島零點的大地水準面。

(2) 近地空間中等解析正高面與大地水準面平行，GNSS代替水準能直接測定地面點的解析正高，但正常高系統更有利于描述地勢和地形起伏。

(3) 本文給出的GNSS代替水準測定近地點正常高算法，大地高誤差對正常高結果的影響比大地水準面誤差大，前者影響約為后者的1.5倍。

致謝：本文是在許厚澤院士、寧津生院士、晁定波教授、魏子卿院士、楊元喜院士、李建成院士、吳曉平教授、黃謨濤高工、李斐教授、翟國君高工、張傳定教授、申文斌教授、羅志才教授與幾位審稿專家的許多建設性意見基礎上逐步完善的，在此特別致謝。

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(責任編輯：陳品馨)

The Analysis of Height System Definition and the High Precision GNSS Replacing Leveling Method

ZHANG Chuanyin,JIANG Tao,KE Baogui,WANG Wei

Chinese Academy of Surveying and Mapping, Beijing 100830, China

Based on the definition of height system, the gravitational equipotential property of height datum surface is discussed in this paper, differences of the heights at ground points that defined in different height systems are tested and analyzed as well. A new method for replacing leveling using GNSS is proposed to ensure the consistency between GNSS replacing leveling and spirit leveling at mm accuracy level. The main conclusions include:①For determining normal height at centimeter accuracy level, the datum surface of normal height should be the geoid. The 1985 national height datum of China adopts normal height system, its datum surface is the geoid passing the Qingdao zero point.②The surface of equi-orthometric height in the near earth space is parallel to the geoid. The combination of GNSS precise positioning and geoid model can be directly used for orthometric height determination. However, the normal height system is more advantageous for describing the terrain and relief.③Based on the proposed method of GNSS replacing leveling, the errors in geodetic height affect more on normal height result than the errors of geoid model, the former is about 1.5 times of the latter.

GNSS replacing leveling; height system; height datum surface

The National Natural Science Foundation of China (Nos. 41374081；41674024)

ZHANG Chuanyin(1968—)，male, PhD,researcher, majors in geodesy.

JIANG Tao

章傳銀，蔣濤，柯寶貴，等.高程系統定義分析與高精度GNSS代替水準算法[J].測繪學報，2017,46(8)：945-951.

10.11947/j.AGCS.2017.20170058. ZHANG Chuanyin,JIANG Tao,KE Baogui,et al.The Analysis of Height System Definition and the High Precision GNSS Replacing Leveling Method[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2017,46(8):945-951. DOI:10.11947/j.AGCS.2017.20170058.

P228.4

A

1001-1595(2017)08-0945-07

國家自然科學基金(41374081；41674024)

2017-02-10

章傳銀(1968—)，男，博士，研究員，研究方向為大地測量學。

E-mail： zhangchy@casm.ac.cn

蔣濤

E-mail： jiangtao@casm.ac.cn

修回日期： 2017-07-21