曲面插值細分規則的構造與應用

姜濤

（遼東學院師范學院，遼寧丹東118001）

【基礎科學理論與應用】

曲面插值細分規則的構造與應用

姜濤

（遼東學院師范學院，遼寧丹東118001）

為解決飛行模擬器及一些三維全息投影模擬器中對三維地形地貌的模擬要求，文中構建了一種曲面插值細分規則，并將該細分規則應用于地形地貌的仿真。通過調整插值多項式的參數生成理想的地形形狀。實驗表明，該方法為簡單、快速模擬自然地形地貌仿真提供了一種有效手段。

細分法；細分規則；插值細分法；地形地貌模擬

地形地貌的模擬是計算機圖形學的一項重要內容，它對地理信息的采集模擬有著重要意義。同時，在飛行器的仿真等虛擬實現、三維游戲的地形虛擬實現、3D全息投影中也有著重要應用。

在地形地貌模擬問題的傳統解決過程中，通常是先采集數據點，然后應用數據點構造多項式函數，最后對函數求新的插值點及對應值，再通過計算機模擬出來。當顯示結果不理想時，需要重新構造函數或重新求插值點及對應值，也就是曲面造型上的離散——連續——離散的傳統模式［1］。顯然，這種構造圖形的方法不符合計算機對圖形模擬顯示的特點，也過于繁瑣和復雜，這對于有些復雜問題的解決是不利的，有時是無法實現的。為符合計算機對圖形模擬顯示的特征——離散性特征，顯然，在圖形顯示過程中，不通過構造空間曲面函數，再求曲面上的點，而是在圖形顯示過程中，直接應用已有的控制頂點生成離散點，再在圖形顯示時只通過離散點顯示的細分法更符合這種圖形模擬顯示特征。

細分法（subdivision）是一種離散化的曲面的造型方法，它的構造思想是：從一個特征網格開始，先按照適當選取的細分規則，在給定初始特征網格中插入新頂點，再連接這些新頂點得到新特征網格，所得新特征網格是初始特征網格的加細［2-3］。不斷重復上述過程，隨著細分的不斷進行，特征網格就被逐漸細化，其極限狀態就是一張曲面，稱為遞歸細分曲面。細分方法用不斷細分的多邊形網格在允許的誤差范圍內來代替曲面［4］。

現在提出的細分規則很多，也有針對細節處理的。文中提出的細分規則，是針對一般的曲面模擬情況提出的細分規則。文獻［5］是從總體上對兩種細分思路所得到的細分曲線、曲面的特征區別討論，解決了兩大類細分方法在使用時的選擇依據。依據文獻［5］對插值細分法與割角細分法的特點比較可知，地形地貌的模擬問題中，主要對整體形狀的控制。因此，插值細分法所得細分曲面在曲面造型中符合地形地貌模擬的特征要求。

Dyn的四點插值細分法是1987年Dyn和Levin在提出的四點插值法。Dyn和Levin在提出的四點插值法在插值細分法中是一個經典的插值細分法，是采用邊分裂的方法加入新頂點的插值方法。本文首先，構造一個比較簡單的面點細分規則，再應用Dyn四點插值細分法對曲面的邊點進行細分。這樣構建的細分規則算法簡單，并且具有良好的收斂性。并采用在本文中提出的插值細分規則對地形地貌進行模擬。通過matlab軟件對其模擬效果進行仿真實驗，實驗證明該方法是一種簡單、快速、有效且便于控制的地形地貌模擬方法。

1 插值細分規則

1.1 面點細分規則

對于面點的細分采用四邊形網格細分，即由不在同一等高線上的相鄰四點構成四邊形網格。在此四邊形基礎上，將風格細分，每次細分都生成新的四邊形網格。在細分過程中使四邊形面積逐漸減小。

其細分規則如下：

1.2 邊點細分規則

對于邊點的細分采用Dyn的四點插值細分法，該插值細分法將保留原有的頂點，在保留上層細分舊點的同時插入新點。Dyn的四點插值法是采用邊分裂的方法加入新頂點的插值方法。

其細分迭代規則如下：

其中j=0，1，…，2kn-2，μ為參數，且時會具有很好的光滑性［4］。

2 細分規則的幾何解釋

2.1 面點細分規則的幾何解釋

面點的細分可用圖1所示的幾何關系進行解釋。

圖1 面點細分規則的幾何解釋

由圖1所示，在面點的分裂過程中，采用對特征多面體的原有四個相鄰控制頂點進行均分方式生成新控制頂點，進而通過插值生成新控制頂點。

顯然，P12，P23，P34，P41，滿足下面等式關系：

進而可得

2.2 邊點細分規則的幾何解釋

Dyn的四點插值細分法可用如圖2所示的幾何關系進行解釋。

圖2 Dyn四點細分規則的幾何解釋

由圖2所示，Dyn的四點插值細分法是在邊上分裂、堆徹的方式進行插值，使邊上相鄰點間的距離變小，進而使得曲線變得相對光滑。Dyn的四點插值細分法的從往的應用中多用于曲線的細分中，而在此則應用在邊點的細分建立上。

3 細分規則的細分效果討論

2.1 面點細分規則的細分效果討論

取空間曲面的控制頂點｛P1，P2，P3，…，P19｝，由這些控制頂點生成初始特征空間曲面，及應用本細分規則經一次細分所得細分曲面分別如圖3、圖4所示。

圖3 初始特征空間曲面

圖4一次細分曲面

圖5 、圖6分別為經二次、三次細分所得細分曲面。

圖5 二次細分曲面

圖6 三次細分曲面

由圖2至圖6可見該細分方法所得的細分曲面具有很好的光滑性，而且細分曲面的收斂速度是比較快的，換句話說，該細分方法具有很好的細分效果。

2.2 邊點細分規則的細分效果討論

特征多面體的邊點可構成空間曲線，下面以空間特征多邊形為例應用該細分規則分別演示特征多邊形開放與特征多邊形封閉兩種情形所得的細分曲線效果。

(1)特征多邊形為開放多邊形情形

取特征多邊形的控制頂點集｛P1，P2，P3，P4｝,由這些這控制頂點所得的開放形控制多邊形，如圖7所示。對此控制多邊形應用邊點細分規則取μ=進行一次細分得新的控制多邊形，如圖8所示。

圖7 開放的初始控制多邊形

圖8 開放的一次細分曲線

經四次細分后將得到較光滑的細分曲線，如圖9所示。其最終細分曲線與初始控制多邊形比較效果，如圖10所示。

圖9 開放的四次細分曲線

圖10 開放的最終細分曲線與初始控制多邊形比較

從圖10的比較可見，邊點的細分效果較好。

(2)特征多邊形為封閉多邊形情形

仍取特征多邊形的控制頂點集｛P1，P2，P3，P｝4,由這些這控制頂點所得的封閉形控制多邊形，如圖11所示。對此控制多邊形應用邊點細分規則取進行一次細分得新的控制多邊形，如圖12所示。

圖11 封閉的初始控制多邊形

圖12 封閉的一次細分曲線

經四次細分后將得到較光滑的細分曲線，如圖13所示。其最終細分曲線與初始控制多邊形比較效果，如圖14所示。

圖13 封閉的四次細分曲線

圖14 封閉的最終細分曲線與初始控制多邊形比較

由此可見，Dyn的四點插值細分法應用在邊點的細分過程中，所得的邊點細分效果還是比較好。綜上所述，該細分過程無論是邊點的細分，還是面點的細分，整個細分過程中都具有較好的收斂效果和較快的收斂速度。

4 細分規則在地形地貌模擬中的應用

采集105個控制頂點，如表1。

表1 控制多邊形控制頂點

生成控制頂點集V=｛P1，P2，…，P105｝，借助matlab軟件模擬地形的特征曲面，如圖15所示。

圖15 地形的初始特征曲面

圖16 地形的四次細分曲面

應用matlab軟件對此地形進行渲染，模擬成山林地地貌，如圖17所示

圖17 地形模擬山林地效果圖

5 結論

隨著計算機輔助圖形設計的廣泛應用，地形地貌的模擬越來越多的被人們關注與應用，應用本文構建的細分規則可以簡單、快速、有效的模擬出相應的地形地貌。

同時，應用本文構建的細分規則也可以應用在其他3 D圖形的模擬中，只要恰當的調整參數和改變細分次數，都可以得到滿意的模擬效果。

［1］MICCHELLI C A，PRAULZSCH H.Uniform Refinement of

Curves［J］.LinearAlgebra&Application，1989（114/115）：841-870.

［2］駱巖林，汪國昭.生成曲線的有理穩定細分方法［J］.高校應用數學學報，1998，13（A）：61-66.

［3］駱巖林，汪國昭.幾何造型的有理矩陣細分方法［J］.應用數學學報，1999，22（2）：161-168.

［4］張新芬.曲線設計的非線性細分法［D］.杭州：浙江大學數學科學學院碩士學位論文，2005.

［5］姜濤.插值細分法與割角細分法在幾何構圖中的比較分析［J］.遼東學院學報（自然科學版），2016，23

（1），72-76.

（責任編輯：龍海波）

Construction and application of a curved surface interpolation subdivision rule

JIANG Tao
（Teacher’s School，Eastern Liaoning University，Dandong 118003，China）

To meet the demand for simulating the 3D landform of flight simulator and other 3D holographic projection simulators，a curved surface interpolation subdivision rule was constructed and applied.The ideal terrain could be generated by adjusting the parameters of the interpolation polynomial.The rule is proved to be an easy，ast and effective way of landform simulation.

subdivision；subdivision rule；interpolation subdivision；landform simulation

O241；TP391

A

1673-4939（2017）03-0224-06

10.14168/j.issn.1673-4939.2017.03.14

2016-11-23

姜濤（1976—），男，遼寧鞍山人，碩士，講師，研究方向：數學應用與數學教學。