夯基固本構系統 溯 源納新謀優化
——例談高三數學復習中試卷講評的探索與思考

☉安徽省靈璧第一中學 鄭 良

夯基固本構系統 溯 源納新謀優化
——例談高三數學復習中試卷講評的探索與思考

☉安徽省靈璧第一中學 鄭 良

教育是培養人的社會活動，學校教育是根據社會發展需要和受教育者成長需要，有目的、有計劃、有組織地培養人的活動.考試是一定組織中的考試主體根據考試目的的需要，選擇運用有關資料，對考試客體某方面或諸方面的素質水平進行測度、甄別和評價的一種社會活動.［1］教育是目的，考試是方法.考試從屬于教育活動，具有測量、激勵、反饋、診斷、矯正和發展等功效，它能激發學生的學習積極性，促進學生心理和意志品質的健康發展，實現“以考促學”；它能促使教師發現教與學中的問題，通過研究進行完善，實現“以考促教”.

人之行為，皆有目的，為了達到目的，采取某些方法.目的不明，方法就失去意義.考試不是課程結束的標志，而是學習再深入的起點與過程，教學中要通過教育考試具有的督導、發展、導向等功能，實現提高學生數學素養與提升學生綜合素質的教育目的.下面以高三復習試卷的測評為載體，談談筆者對相關問題的理解，不足之處，敬請同仁批評指正.

一、案例分析

1.模式識別不力，無的放矢

當遇到一個新問題時，我們辨認它屬于哪一種基本模式，聯想到一個已經解決的問題，以此為索引，在記憶儲存中提取出相應的方法來加以解決，這就是模式識別的解題策略.［2］如果學生模式識別不合理，將會導致無計可施或陷入命題者設計的圈套中.解決這類問題的基本程序是認真讀題、細致分析、似然聯想、比對確認、嘗試優化等，盡可能“多一點想，少一點算”，用無窮的智慧來代替繁雜的操作.例1 已知集合

集合P的所有非空子集依次記為M1，M2，…，M31，設m1，m2，…，m31分別是上述每一個子集內元素的乘積，如果P的子集中只有一個元素，規定其積等于該元素本身，那么m1+m2+…+m31=_______.

解析：記T=m1+m2+…+m31，則T為f的展開式所有項系數之和減去1，令x=1，則T=f（1）-1=6-1=5.

點評：不少學生無法揭示問題本質，只能分別求出m1，m2，…，m31，耗時費力.為什么如此構造函數，怎么想到賦值x=1？解題教學講究瓜熟蒂落、自然天成.教師只有講好“解題背后的故事”，學生才能知其然并知其所以然，進而提升解題能力.m1，m2，…，m31由M1，M2，…，M31決定，透過結果或形式能否找到問題的一般規律？

T是P中任意n（n=1，2，3，4，5）個元素乘積的和，類比聯想原型：關于正整數2160，求：

（1）它有多少個不同的正因數？

（2）它的所有正因數的和是多少？

解析：（1）N=2160=24×33×5，所以2160的正因數為P=2α×3β×5γ的形式，其中α=0，1，2，3，4，β=0，1，2，3，r=0，1.根據分步乘法計數原理得2160的正因數的個數為5×4×2=40.

（2）式 子（20+21+22+23+24）×（30+31+32+33）×（50+51）的展開式的值就是40個正因數之和.所以所有正因數之和為31×40×6=7440.

算術基本定理，又稱質因數分解定理，即每一個大于1的整數都能分解成質因數乘積的形式，把質因數按照由小到大的順序排列在一起，相同的因數的積寫成冪的形式，那么這種分解方法是唯一的.將整數分解為連乘積的形式，根據自然數在質因數下分解唯一的性質，可構建自然數與各質因數指數的一一對應關系.根據原型，可知例1重在考查對應關系、乘法計數原理的發現過程等，構造函數法只是形式不同而已.為什么要賦值？如何進行賦值？根據題設條件，借助合理賦值出現解題目標，進而實現解題目的.賦值的背后是解函數方程，先由分析法求值尋根，再用綜合法賦值表達.將原型中（其值均為1）抽象成x，然后又賦值（x=1）回來.解答利用分解與整合先求出每個括號內的值再求積，優化思維，提高解題效率.

2.漠視問題特性，事倍功半

美國教育心理學家奧蘇貝爾在《教育心理學——認知觀點》一書的扉頁上說：“假如讓我把全部的教育心理學僅僅歸結為一條原理的話，那么我將一言以蔽之曰：影響學習的唯一最重要的因素，就是學生已經知道了什么.要探明這一點并據此進行教學.”浙江省數學特級教師鄭瑄認為課堂教學要“循天（數學教育教學的自然規律）而事，因地（學生成長發展的自然規律）制宜，唯求自然，方得始終.”類似地，數學解題時必須明晰目標.只有弄清題設與結論，抓住問題的特性與共性，才能因時而動，隨機應變，而不至于淪為簡單的、枯燥的機械勞動.

點評：解法1通過模式識別認定本題類型為“已知三角函數的圖像求解析式，進而確定相關的性質”，按部就班操作.解法2從函數的圖像與性質出發，利用圖像變換，直奔目標，事半功倍.眾所周知，中學生的數學學習選擇能力是指中學生在數學學習過程中形成和發展起來的，能夠對學習對象（客體）進行辨別、篩選的，有助于數學學習的一種個性心理特征.中學生的數學學習選擇能力是影響學習成績的重要因素，二者有著較高的正相關.大部分學生還沒有養成良好的解題自我監控的習慣，不能選擇合適的解題策略，其深層原因是學生學到的是“死”的知識、方法與技能，遇到相關問題時只能和盤推出，無法通過分析、比較、鑒別等手段將已有知識與技能等按需分配.

3.系統構建脫節，無力為繼

數學是一個系統，理解和掌握數學知識需要系統思維.系統思維就是把認識對象作為系統，從系統和要素、要素和要素、系統和環境的相互聯系及相互作用中綜合地考查認識對象的一種思維方法.系統思維能極大地簡化人們對事物的認知，并提高研究的質量和效率.系統思維給我們帶來整體觀、全局觀，具備系統思維是邏輯抽象能力強的集中表現.［3］課堂教學中，要以數學地認識問題和解決問題為核心任務，以數學知識的發生發展過程和理解數學知識的心理過程為基本線索，為學生構建前后一致邏輯連貫的學習過程，使他們在掌握數學知識的過程中學會思考.［4］通過學習構建數學整體，從整體上把握事物的聯系，樹立整體意識和全局思想，提高系統思維水平.現實中，碎片化教學導致學生接受凌亂化，遇到相關問題，無法實現知識間的架構與連貫，知識與思想方法的融合，知識向能力及智慧的延伸.

例3 △ABC的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，BC邊上的高為，則的最大值為______.

解法2：設a=2，以BC的中點為原點，以BC所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則B（-1，0），C（1，0），則A（m，，所以

解法3：設a=2，以BC的中點為原點，以BC所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則B（-1，0），C（1，0），則，所以，整理得（t2-1）m2-2（t2+1）m+2t2-2=0（※）.

圖1

當t2=1時，m=0；

當t2≠1時，（※）式的判別式Δ=-4（t4-6t2+1）≥0，得且t2≠1，即且t≠1.

點評：解法1利用“算二次”思想得到a，b，c，sinA的關系，代入余弦定理整體代換構建關于A的三角函數，借助“二合一”（）公式求出函數的最大值.解法2根據目標為齊次式的特征，利用正弦定理化角為邊，根據點C的軌跡利用解析法構建目標關于變量m的函數，然后利用均值不等式（或利用函數的性質）求解.解法3根據目標式的齊次關系巧妙設元，先利用判別式法求出新元的范圍，進而轉化為新元的函數最值問題.不少學生使用解法1得到a2=2bcsinA（或過點A作AH⊥BC，垂足為H，利用可得sinA=2sinBsinC）后思維斷線，使用解法2得到后不知該往何處發展實不應該，使用解法3不會用判別式法等.學生的核心素養如何體現？在遇到教師沒有教過的問題，能（善）用教師已經教過的知識來對付.

圖2

例4 如圖2，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC為正三角形，側面都是菱形，且A1在底面ABC上的投影為BC的中點O.

（1）證明：側面BCC1B1為正方形；

（2）求二面角C-AB-C1的正切值.

解析：（1）連接OA，△ABC為正三角形，且O是BC的中點，所以OA⊥BC.因為A1在底面ABC上的投影為BC的中點O，所以OA1⊥BC，OA∩OA1=O，所以BC⊥平面AA1O，所以BC⊥AA1.因為AA1∥BB1，所以BC⊥BB1.又BCC1B1為菱形，所以側面BCC1B1為正方形.

圖3

（2）方法1：由題意，知OA，OB，OA1兩兩垂直，建立空間直角坐標系O-xyz，如圖3所示，設AB=2，則A，設平面ABC1的法向量為n=（x，y，z），則令x=1，得根據題意可得平面ABC的法向量為m=（0，0，1），則cos〈m，n，所以，即二面角C-AB-C1的正切值為

圖4

點評：學生解決第（1）問暢通無阻，處理第（2）問多用向量坐標法，遺憾的是少數學生無法建構聯系，一招不慎（點C的坐標表示錯誤），滿盤皆輸.學生在考試中及試卷校對時均偏愛向量坐標法，害怕傳統方法.其深層原因是學生的知識儲備不足、分析能力不強、思維能力不高，解題時遭遇知識混淆，思維脫軌等冷遇.當然，理論根基不牢也會導致向量坐標法錯誤百出，如知識張冠李戴，公式移花接木等.恩格斯說過：“思維是地球上最美麗的花朵”.美國數學教育家G·波利亞說過：“一個專心的認真備課的教師能夠拿出一個有意義的但又不太復雜的題目，去幫助學生發掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域.”教師教學要從疑問與驚奇開始，用問題撥動學生的心弦，實現數學知識與數學情感的融合、數學思維的提高與數學文化的升華.

4.深度學習缺乏，浮于表象

《高中數學課程標準（實驗）》指出：“高中數學課程應為學生提供選擇和發展的空間，為學生提供多層次、多種類的選擇，以促進學生的個性發展和對未來的人生規劃的思考.”布魯納說過：“探索是數學的生命線”.通過探究學習，學生不僅掌握了數學知識，還學習了數學方法，獲得了情感體驗等.現實教學中，師生教與學有量無質，充滿著困惑與彷徨，數學理解始終在低層次中徘徊，與見微知著、觸類旁通相距甚遠.學生遇到問題往往被命題人牽著鼻子走，找不到較好的解題途徑.

例5已知函數f（x）=|x-2|-a|x+3|.

（1）若a=-1，求f（x）的最小值；

（2）若f（x）≥2恒成立，求實數a的取值范圍.

解析：（1）當a=-1時，f（x）=|x-2|+|x+3|.

方法2：f（x）的幾何意義是數軸上一點P（x，0）到A（-3，0）與B（2，0）的距離之和，所以當-3≤x≤2時，f（x）的最小值為5.

方法3：f（x）=|2-x|+|x+3|≥|2-x+x+3|=5，當且僅當-3≤x≤2時等號成立.

若a≥1，當x≥2時不合題意.

若-1＜a＜1，當x≥2時，f（x）單調遞增，所以有f（x）≥（f2）=-5a≥2，得；當-3≤x＜2時，（fx）單調遞減，所以有（fx）≥（f2）=-5a≥2，得；當x＜-3時，（fx）單調遞減，所以有f（x）＞f（-3）=5≥2恒成立.所以有（通過圖像可以得x=2時，函數f（x）取得最小值）

若a=-1，函數f（x）在（-∞，-3）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增，當-3≤x≤2時，f（x）=5為常數函數，符合題意.

若a＜-1，函數f（x）在（-∞，-3）上單調遞減，在（-3，+∞）上單調遞增，所以有f（x）≥f（-3）=5≥2，符合題意.所以a＜-1.

方法2：f（x）≥2恒成立，即|x-2|-a|x+3|≥2恒成立.

當x=-3時，a∈R.

方法5：由f（x）≥2恒成立，即a|x+3|≤|x-2|-2恒成立，而在同一坐標系下，分別畫出函數h（x）=a|x+3|與g（x）的圖像，如圖5所示，由圖像可得.所以實數a的取值范圍為

x y=g（x）（2，-2）y=h（x）y（-3，0）O

點評：對于第（1）問，方法1為零點分段法，通過絕對值的代數意義去掉函數f（x）中的絕對值，進而利用函數的圖像（性質）解答；方法2利用絕對值的幾何意義，結論清晰直觀；方法3為公式法，利用絕對值的三角不等式求函數的最值，驗證最值成立的條件頗為關鍵.對于第（2）問，方法1為函數最值法，去絕對值需要對x進行分類討論，再考慮（各子）函數單調性需要對a的范圍進行劃分，事無巨細，過程繁雜，最終的結論是各類情況中a的范圍的并集；方法2為分離參數法，通過對x進行劃分，由邏輯關系可知最終的結論是各類情況中a的范圍的交集；方法3與方法4均利用了必要性解題策略（可以在的基礎上求函數f（x）的最值來檢驗結論），利用a的邊界值（上界）進行消元，以靜制動，其中方法3利用分段函數的性質，方法4直接利用（多個絕對值的和）函數最值的性質直接求解；方法5為數形結合法，通過兩個簡單的函數圖像直觀地得出問題的結論.深度學習的程度決定著解題方法的優劣，思維水平高的學生能審時度勢、氣定神閑地選用解題的最佳方案，實現一招制敵；反之，思維水平低的學生常常望文生義、跼蹐不安中嘗試解題的“原始”方案，往往勞而無功.

5.文化底蘊淡薄，流于形式

數學是人類文化的重要組成部分，數學素養是現代社會每一個公民應該具備的基本素養.數學具有高度的抽象性、嚴密的邏輯性和追求形式化的特點.目前，中學數學教育往往篩去了“文化”（數學精華），只留下“技術”（機械操作），將數學演變為純粹推理與計算的科學，淪為考試測試的工具，導致學生對數學的思想和精神了解膚淺，對數學宏觀認識和總體把握粗陋，對數學的學習索然無趣甚至心生厭惡.解題時在封閉的“孤島”上搜尋、演繹著可靠的邏輯，呆板地、枯燥地演練充斥著符號、數字的游戲.缺乏鮮活思維的勞作，難以激發學生的興趣，無法提高學生的數學素養和鑒別能力，更談不上領悟數學文化的魅力.

（1）求橢圓E的方程；

（2）是否存在經過原點O的直線BD和AC相交且交E于B、D兩點，使得四邊形ABCD的面積最大？若存在，求出直線BD的斜率；若不存在，請說明理由.

點評：第（1）問的兩種解法均為常規解法，上面給出第（2）問的解法為通性通法.為什么OM的斜率是，四邊形ABCD的面積最大值為，你能一眼看出它嗎？結論是否具有一般性？通過坐標的伸縮變換可知（基本結論證明較為簡單，證明過程略）：對于橢圓（a＞b＞0），通過x′=x，y′=my （ 其 中）進行變換，橢圓變換為圓x2+y2=a2，變換前坐標系xOy中的點A，B，C，…與變換后坐標系x′Oy′內的點A′，B′，C′，…對應.則有以下結論：①若A，B，C三點共線，則A′，B′，C′三點仍然共線；若AB∥CD，則A′B′∥C′D′；②若AB的斜率為k，則A′B′的斜率為mk；若C分線段AB的比為λ，則C′分線段A′B′的比為λ；特別的，若C為線段AB的中點，則C′為線段A′B′的中點（其中k為AB的斜率）；④變化后封閉圖形的面積是變換前對應封閉圖形面積的m倍，如S△A′B′C′=mS△ABC.

數學文化主要包括數學的歷史、思想、方法、精神，以及數學與人類其他知識領域之間的關聯等.只有弄清問題的背景，通曉來龍去脈，才能知其然并知其所以然，在學到問題結論的同時，深化了對問題的過程性理解，感悟了兩者之間的聯系，顯示了數學的魅力與價值.美國數學家和數學史家M·克萊因早在1986年就批評過數學教學：“各級各類小學、中學、大學都把數學作為一門孤立的學科來講授，而很少將其與現實世界聯系起來.”［5］我們的教學在為學生的升學考試負責的同時，更要對學生的終身發展和幸福人生負責，采用文化育人，繼承與發展無數先哲為我們留下的寶貴的精神財富.

二、教學思考

1.回歸教材，夯實基礎

美國教育家戈溫認為：“教材是好的思維或情感的媒介，是思想或過程的權威記錄，是概念或知識實體的編制者，是增加意義和豐富經驗的刺激物，是具有潛能可促使新事件發生的過去事件的記錄.”回歸教材是前提，夯實基礎是保證，提升能力是目標.目前，很多教師無視教材，熱衷于在魚龍混雜的各種資料中游弋.對照各類試題，能夠清楚地發現“題在書外，根在書中”.它們或是教材內容的遷移，或是教材例習題的簡單變式、重組或拓展，或以教材閱讀材料為背景設置問題等.如例5的本質為含兩個或以上絕對值的函數的最值問題，文獻6中有第四章“2.1實際問題的函數刻畫”的問題3：如圖6，在一條彎曲的河道上，設置了6個水文監測站.現在需要在河邊建一個情報中心，從各監測站沿河邊分

別向情報中心輔設專用通訊電纜，怎樣刻畫專用通訊電纜的總長度？（分析與解答略）而以此為載體的高考試題有：2014年全國卷Ⅱ文理科第24題，2014年安徽卷文理科第9題，2014年福建卷文科第12題，2014年江西卷理科第11題、文科第15題，2014年重慶卷理科第16題，2016年全國丙卷文理科第24題等，以此為載體的自主招生題有2011年北約自主招生第7題等.絕對值個數的多寡及函數是否含有參數決定著試題解決的難易程度，進而區分學生思維水平的高低.例6源自選修4-4第一章第1節“平面直角坐標系”（1.1 平面直角坐標系與曲線方程，1.2平面直角坐標軸中的伸縮變換），類似的問題有必修2第一章第2節直觀圖（直觀圖的畫法及原理）等，通過教材深度解讀及深入學習，以上問題的解決水到渠成.

圖6

在高考復習時，（1）重新精讀教材內容，升華對知識、思想方法的理解.仔細琢磨正文內容，品味對正文的注解與旁批.理清問題的引入、發現、發展、分析、總結等過程，感悟解決問題的基本脈絡，從新的高度去溫習，可以形成一個更完整的認識、更全面的理解.（2）挖掘教材例題和習題，強化例習題的遷移能力.新課學習時往往局限于基本任務的達成，復習時應從一題多解、一題多變、多題一解等角度重新審視，從命題者的角度對試題進行加工與整合，從解題者的角度對問題進行解構，并盡可能從現象中揭示本質.（3）通過拓展性欄目深化對基礎知識的理解與應用.閱讀材料等拓展性欄目對教材相關內容、思想的注解與延伸，新課學習時限于認知水平，往往無法準確領略其內涵，復習時要從更高的角度系統地理解該內容的博大精深.如通過必修2第一章的課題學習（正方體截面的形狀）來加深對截面及其性質的理解與應用.

2.重視探究，強化過程

數學課堂教學是學生在師生、生生對話交流中思維砥礪、增智怡情的過程.探究既是學習的主要特點，也是新課程改革所倡導的學習方式.探究教學是指在教師的指導下學生運用探究的方式方法進行學習，主動獲取知識、發展能力的實踐活動.高中數學新課標明確指出“數學探究課題的選擇是完成探究學習的關鍵”.寧連華等通過研究認為：“數學探究學習的主流形式不是調查、實驗性活動，而是突出表現在以思維活動為特征的問題探索或解難題范疇.”［7］重視過程教學，就是讓學生在教師的引導下，充分利用已有知識及生活經驗主動探求新知，把教材的間接經驗通過自身實踐去重新發現，建立新的認知結構.學生正是通過探求知識的發生、發展過程，各種能力才得以發展.如：已知數列｛an｝共有9項，其中a1=a9=1，且對應每個i∈｛1，2，3，…，8｝，均有則數列｛an｝的個數是_____.如何通過一系列運算保證a1=a9=1呢？（面對相對陌生的問題，產生了一定的認知沖突）從首尾的狀態看，結果不變，需要怎樣的變換才能保證結果的“不變性”？（適度有效的自我引導或教師引導）平移變換或伸縮變換中加法與乘法的單位元是什么？現實情境與等比數列模型差異在哪里？（探尋相應的知識能力儲備）數字“2，1，-”各需貢獻幾個？以哪一個數字為分類標準？（通過較強的反思監控能力優化解題過程）通過數列與變換的一一對應關系可知（1≤i≤8）中有2k個2，2k個-，8-4k個1，且k的所有可能取值為0，1，2，數列｛an｝的個數是491.教師稚化自己的思維是化解難點的有效途徑，稚化思維是指在教學活動中，教師把自己的外在學術性的話語權威隱蔽起來，不以知識豐富的指導者自居，而是把自己的思維降格到學生的思維水平，充分關注學生的原有知識儲備和經驗背景，有意識地返回到與學生相仿的思維狀態，設身處地地揣摩學生的思維，切合學生的心態，以與學生同樣的認知興趣、同樣的學習情緒、同樣的思維情境、同樣的探究行為來完成教學的和諧共創，從而達到和學生的思維保持同頻共振的一種教學藝術.通過過程探究，培養學生分析問題、解決問題的能力，讓學生從貼地而行到云端跳舞.

3.構建整體，理性思辨

數學學習，不只是為了會解某道題或某類題，更重要的是激活與發展學生的思維，即數學學習成果的最終表現形式應該是學生變得越來越聰明.整體是事物的一種真實存在形式.數學也是一個整體，數學中的整體性既體現在代數、幾何、三角等各部分內容之間的相互聯系上，也體現在同一部分內容知識的前后邏輯關系上.當我們遇到一個問題時，能自發立足局部、著眼整體，系統思維、理性思辨，發散中謀求策略方法，收斂中聚焦思維優化.如例2中整體與局部的思辨，例3三角函數內外的考量，例4第（2）問傳統方法與向量坐標法的比較等.又如：已知向量a，b的夾角為，|a|=1，若對一切實數x，

|xa+2b|≥|a+b|恒成立，則|b|的取值范圍是________.可將條件“|xa+2b|≥|a+b|”平方整理得到關于x的一元二次方程，利用其判別式不大于0即得解法1，解法2是坐標法，向量是代數與幾何溝通的橋梁，嘗試從向量和的幾何意義出發，如圖7所示，由可求得結果，即為解法3.

圖7

4.精心設計，教育無痕

德國一位學者有過一個精辟的比喻：將15克鹽放在你的面前，無論如何你難以下咽.但當將15克鹽放入一碗美味可口的湯中，你在享用佳肴時，就將15克鹽全部吸收了.這表明要達成好的結果，手段與方法同樣重要.教育是心靈與心靈的融合，是靈魂與靈魂的對話，是智慧與智慧的碰撞，是生命與生命的互動.無痕教育是指把教育意圖和目的隱蔽起來，通過間接、暗示或迂回的方式（不知不覺、潛移默化、不留痕跡），給學生以教育的教育方式.它既是一種教育方式，更是一種育人技巧，是一種教育的美學哲學境界.將教育的意圖掩蓋起來，一種充滿人性關懷的超凡的教育智慧.教育無痕，彰顯出教育的最高境界：似雪落春泥，悄然入土，孕育和滋潤著生命；雖無痕，卻有聲有色；雖無痕，卻有滋有味；雖無痕，卻如歌如樂，如詩如畫.德國教育家第斯多惠說過：“我們認為，教學的藝術不在于傳授的本領，而在于激勵、喚醒、鼓舞，而沒有興奮的情緒怎么能激勵人，沒有主動性怎么能喚醒沉睡的人，沒有生機勃勃的精神怎么能鼓舞人呢？”贊可夫指出：“教學法一旦能觸及學生的情緒和意志領域，觸及學生的精神需要，這種教學法就能發揮高度有效的作用.”陶行知先生也有一個精辟的比喻“接知如接枝”.他說：“我們要把自己的經驗做根，以這經驗所發生的知識做枝，然后別人的知識方才可以接得上去，別人的知識方才成為我們知識的一個有機部分.”如例1中構造函數并賦值能極大地激發學生的探究興趣，引領其自發地思考解法的緣由.教師在理解數學、理解教學、理解學生的基礎上精心設計，用自己熱誠、激情、真情帶動學生的熱誠、激情、真情.只有激情和真情才會在師生之間產生一種互相感染的效應，從而不斷激發學生學習的熱情，喚起學生的求知欲，誘發學生學習的欲望，進而構建知識體系，激活數學思維，提高數學能力，提升數學素養.

1.王后雄.全球視域下教育考試及其功能述評［J］.中國考試，2008（1）.

2.羅增儒.數學解題學引論［M］.西安：陜西師范大學出版社，2001.

3.章建躍.注重數學的整體性，提高系統思維水平（續）——人教版《義務教育教科書·數學》九年級下冊介紹［J］.中學數學教學參考（中），2015（3）.

4.章建躍.構建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考［J］.數學通報，2013（6）.

5.汪曉勤.數學文化透視［M］.上海：上?？茖W技術出版社，2013.

6.嚴士健，王尚志.普通高中課程標準實驗教科書·數學（必修1）［M］.北京：北京師范大學出版社，2016.

7.寧連華，王作鵬，李桂強.數學探究學習過程中的自我監控活動研究［J］.數學教育學報，2004（2）.

8.謝永廣.試卷講評課的教學思考［J］.中學數學（上），2017（4）.F