理論力學運動學關鍵概念和知識體系梳理

何尚文，張 旭，苗同臣

(鄭州大學 力學與工程科學學院，河南 鄭州 450001)

理論力學運動學關鍵概念和知識體系梳理

何尚文，張 旭，苗同臣

(鄭州大學 力學與工程科學學院，河南 鄭州 450001)

總結理論力學運動學教學中的問題和經驗，通過數學基礎引入梳理運動學關鍵概念及點的運動學與剛體運動學的邏輯聯系，建立運動學新知識體系，為理論力學運動學教學和教材改革提供參考。

運動學；知識體系；教學、教材改革

Abstract：The teaching problems and experiences of kinematics in theoretical mechanics is summarized. we tease out the key concept and logical relation of particle kinematics and rigid body kinematics by introducing mathematics, and then establish the new knowledge hierarchy. we show that these will provide an effective reference for the teaching and textbook reform in theoretical mechanics.

Key words：kinematics; knowledge system; reform of teaching and textbook

1 引言

運動學聯系靜力學、動力學，是動力學重要基礎。目前運動學教學還存在數學基礎引入不夠，部分概念抽象、內涵不易理解，點和剛體運動學邏輯關系不夠清晰等問題。洪嘉振等[1-2]等指出了運動學教學中存在的問題并探索了新的知識體系；哈爾濱工業大學理論力學教研室教材[3]將剛體平面運動放在點復合運動之后；教材[4]將點的運動學和剛體運動學分開介紹，杜茂林[5]等研究了矩陣法求解運動學問題。本文結合理論力學教學實踐，通過引入相關數學基礎對運動學關鍵概念進行解析，對點的運動學與剛體運動學的邏輯聯系深入探討，探索建立了運動學知識新的教學體系，為理論力學運動學課堂教學及教材改革提供參考。

2 運動學關鍵概念及邏輯關聯

2.1 從矢量求導談速度和加速度的定義

運動定義：點相對于參考系位置隨時間的變化。理論力學運動學建立在絕對靜止參考系存在的假定下，相對于靜(動)坐標系的運動為絕對(相對)運動，絕對(相對)矢徑定義：從靜(動)參考系坐標原點指向動點的矢量。

(1)

(2)

式(2)上、下分別表示點相對參考系的速度與加速度。則速度：點相對于參考系的矢徑相對于該參考系的導數；加速度：點相對于參考系的矢徑相對于該參考系的二階導數。絕對(相對)速度、絕對(相對)加速度等概念均包含其中。

點相對于點與參考系的速度(加速度)的聯系和區別。定義1、2分別為靜、動參考系，點N相對于點M的速度為：

(3)

2.2 從泊桑公式的推廣談基點法

(4)

圖1 t與t+Δt時刻矢量的位置

(5)

(6)

圖2 基點法與點的運動合成

圖2，動系2固連于剛體，p為剛體上任意點，o,為基點，本文將絕對速度簡稱為速度，則：

(7)

2.3 從基點法和矢量在不同參考系下求導的關系推導點的運動合成

(11)

點的速度及加速度合成定理得證；賦予牽連速度(加速度)物理含義：基點法求出的運動剛體(動系)上定點的速度(加速度)，即Qm相對基點平移參考系的速度(加速度)與基點速度(加速度)的合成；賦予動系物理含義：任意運動剛體。顯然式(10)、(11)還可推廣至相對不同動系運動的合成。

3 運動學知識體系梳理

綜上，在式(2)、(6)基礎上可推導整個運動學知識體系。通過數學引入，梳理運動學關鍵概念及知識間邏輯聯系，構建了運動學新知識體系，如圖3所示。

數學基礎引入包括兩部分，一是矢量求導的定義，二是泊桑公式的推廣得到矢量在不同參考系下求導的關系。由矢量求導的定義引出速度、加速度的定義，相對速度(加速度)與絕對速度(加速度)具有類似的數學表達形式，使其內涵易于理解，并可由矢量法(直角坐標法和自然坐標法)研究點的運動學。通過泊桑公式推廣導出矢量在不同參考系下求導的關系，進而得到基點法并以此研究剛體的運動學；選擇運動的剛體為動系使動系不再抽象，且相對運動不再局限為平動和定軸轉動(任意運動均可)，基點法求出的剛體上點的速度(加速度)即為牽連速度(加速度)，牽連速度(加速度)為運動剛體上點(選其為基點)的速度(加速度)。最后結合絕對速度(加速度)、相對速度(加速度)、牽連速度(加速度)的定義，由基點法和不同參考系下矢量求導的關系得到點的合成運動規律。

新的知識體系建立在關鍵概念內涵闡釋與數學表達式相對應的基礎上，具有概念清晰、邏輯有序、可拓展性好的特點，目前在運動學教學實踐中已有良好效果。

圖3 運動學新知識體系

4 小結

本文通過引入相關數學基礎闡釋了理論力學運動學關鍵概念的內涵，梳理了知識點之間的邏輯關聯，構建了新的運動學教學內容知識體系，為教學、教材改革提供參考。

[1] 洪嘉振，楊長俊.工科理論力學教學體系改革的探索與實踐[J]. 力學與實踐,1999,6(21)：55-57.

[2] 洪嘉振,劉鑄永,楊長俊.理論力學(第四版)[M]. 北京:高等教育出版社, 2015.

[3] 哈爾濱工業大學理論力學教研室.理論力學(第7版)[M]. 北京:高等教育出版社, 2009.

[4] 謝傳鋒,王琪.理論力學[M]. 北京:高等教育出版社,2009.

[5] 杜茂林,談志高.運動學中的矩陣方法[J]. 力學與實踐,2005,1(27)：69-70.

[6] 周又和.理論力學[M]. 北京:高等教育出版社,2015.

[7] 劉延柱,楊海興,朱本華.理論力學(第二版)[M]. 北京:高等教育出版社,2000.

Teasing out the key concept and knowledge system of kinematics in theoretical mechanics

HeShang-wen,ZhangXu,MiaoTong-chen

(School of Mechanics & Engineering Science, Zhengzhou University, Zhengzhou 450001,China)

2017-05-15.

何尚文(1983-)，博士，副教授，E-mail:hsw2013@zzu.edu.cn.

國家自然科學基金(51405452);2017鄭州大學力學與工程科學學院教學項目資助.

2095-7386(2017)03-0101-03

10.3969/j.issn.2095-7386.2017.03.020

0312.2；G420

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