函數概念的演變

歐婷婷

[摘 要]函數是數學中最基本，應用范圍最廣的一個概念，從初等數學到高等數學都離不開函數這一概念，函數的概念并不是一開始就確立，而是經歷了由片面到全面的一個發展過程，最終形成現代函數的概念，從函數概念演變的過程，我們可以更加全面的理解現代函數的概念。

[關鍵詞]函數；概念；發展；演變

函數概念的產生距今只有三百多年，產生時間與微積分這門學科差不多，實際上函數概念得以迅速發展是在16世紀以后，特別是隨著微積分這一學科的建立，函數概念逐步發展和完善?，F代函數概念的確立經歷了以下幾個階段

一、常量數學下的函數

在16世紀之前，數學主要研究的是常量數學，其特點是用孤立、靜止的觀點去研究事物，具體函數比比皆是，但沒有一般的函數概念。比如代數中自羅馬時代就已經開始的不定方程的研究，偉大的數學家丟番圖對不定方程的研究已有相當程度，這些研究中已經涉及到函數的概念，只是還沒有人意識到要將這一概念提煉出來。

二、變量思想下的函數

到了16世紀，對于運動的研究已變成自然科學的中心問題，數學研究也從常量數學轉向了變量數學。17世紀伽利略的《兩門新科學》一書中，處處包含著函數的思想，他用文字和比例的語言表述函數關系，如：兩個等體積圓柱體的面積之比，等于他們高度之比的平方根。兩個側面積相等的正圓柱，其體積之比等于他們高度之比的反比。從靜止狀態開始以定常加速度下降的物體，其經過的距離與所用時間的平方成正比。這些表述非常清楚的表明伽利略已涉及并討論變量和函數。1673年法國數學家笛卡爾在《幾何學》一文中首先引入變量思想，稱為”未知和未定的量”，同時注意到兩個變量之間的相依關系。這一時期，函數概念在不同科學家那里有著不同形式的描述。但并沒有做出一般的抽象，并且也沒有把文字敘述表示為符號形式。

三、解析幾何下的函數概念

17世紀中葉，微積分的創始人之一德國數學家萊布尼茲最先使用函數（function）這個名詞。不過他指的是變數x的冪，后來才逐步擴展到多項式函數、有理函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數和反三角函數以及由他們的四則運算、各種復合所形成的初等函數。這些函數都是具體的，都有解析表達式，把具體的函數看成曲線進行研究，函數和曲線緊密聯系在一起。那時的函數就是表示任何一個隨著曲線的點變動而變化的量。盡管當時還沒有建立實連續的概念，但數學家卻默認曲線都是連續的。托里拆利曾對曲線ex次方進行過研究，瓦里斯在他的《動學》中研究過正弦曲線，并注意到了這一函數的周期性。至此，還沒有函數的一般定義。

18世紀初，第一個在萊布尼茲工作的基礎上作出函數概念推廣的是伯努利，他最先擺脫具體初等函數的束縛，給函數一個抽象的不用幾何的定義”一個變量的函數是指由這個變量和常數以任意一種方式構成的量”這里所說的任意方式，包括代數式子和超越式子。

歐拉則更明確地說：”一個變量的函數是該變量和常數以任何一種方式構成的解析表達式。1734年，歐拉用記號y=f（x）表示變量x的函數。

到了18世紀，甚至19世紀初，函數由一個解析式給的觀點仍然占統治地位，并認為”連續曲線給出的連續函數一定能由一個解析表達式表示””由不連續的曲線或折線所表示的函數不能由一個解析式表示?！?/p>

1800年左右，數學家開始關心分析的嚴密化問題，函數概念自然也成為嚴密化的對象。具體表現在兩個方面：一方面對原來有關函數的錯誤看法和片面的觀點進行澄清糾正；另一方面繼續探討函數概念的本質，建立含義更廣泛的函數概念。第一個沖破用解析式給出函數的觀點是拉科魯瓦，他在1797年給出的函數定義是：每一個量，如果他依賴一個或幾個別的量，不管人們知不知道用何種必要的運算可以得到前者，就稱前者為這個或這些量的函數。這是對函數概念的又一次擴展。

在這一時期，傅里葉對函數的概念的發展做出了巨大的貢獻，盡管他支持用解析式給出函數的觀點，但他更深刻地揭示了函數的本質，他在1807年發表的《熱的分析理論》中，證明了”由不連續的曲線給出的函數，能用一個三角函數式來表示?！蓖ㄟ^實例分析，傅里葉指出”不連續函數可用一個式子，或者可用多個式子來表示?！边@就否定了”不連續函數不可能用一個解析式來表示”的觀點。傅里葉通過實例指出”在某一區間上恒有相同函數值的兩個函數是完全相同的”這一錯誤的觀點。

柯西于1823年分別給出了變量和函數的定義，指出”人們把一次取許多互不相同的值的量叫做變量?！薄爱攦蓚€變量之間這樣聯系起來的時候，即給定了這些變量中的一個值，就可以決定所有其它變量的值的時候，人們通常想象這些量是其中的一個來表示的，這時這個變量就取名為自變量，而由這個自變量表示的其它的量就叫做這個自變量的函數”，這里不管是用一個式子還是多個式子表示，只要對于每一個x，都有完全確定的y與它對應，y就是x的函數。這一概念中還是局限于解析式的計算，突破這一限制的是狄利克雷，他給出的定義是：對x的每一個值，有完全確定的y值與之對應，不管建立起的這種對應方式如何，都稱y是x的函數。這個定義用對應的思想定義函數，至于連接方式是數學運算或其他無關緊要。

這是函數概念的又一次擴充，將對應關系由數學運算擴展到任意的對應方式。

四、集合概念下的現代函數

康拓建立了集合論后，函數概念在集合概念的基礎上得到最終完善，變量從數擴展到集合。

19世紀，維布倫用”集合”和”對應”的概念給出了近代函數定義，通過集合概念，把函數的對應關系、定義域及值域進一步具體化了，且打破了”變量是數”的局限，變量可以是數，也可以是其他對象（點、線、而、體、向量、矩陣等）。

1930年新的現代函數定義為，若對集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函數，記為y=f（x）。元素x稱為自變元，元素Y稱為因變元。函數概念的定義經過三百多年的錘煉、變革，形成了函數的現代定義形式，但這并不意味著函數概念發展的歷史終結。

函數概念的演變過程，就是一個函數內涵在不斷地被挖掘、豐富和精確刻畫的歷史過程；同時看出數學概念并非生來就有，一層不變，而是人們在對客觀世界深入了解過程中得到，并不斷加以發展的，從而以適應新的需要，體現了馬克思主義哲學的認識論。endprint