基于尤拉差分法的水庫調洪演算最高水位的算法研究

楊 莉，李雙江，周 斌

(1.三門峽市水利勘測設計有限責任公司，河南 三門峽 472000；2.汕尾市水利水電規劃設計院，廣東 汕尾 516600)

基于尤拉差分法的水庫調洪演算最高水位的算法研究

楊 莉1，李雙江1，周 斌2

(1.三門峽市水利勘測設計有限責任公司，河南 三門峽 472000；2.汕尾市水利水電規劃設計院，廣東 汕尾 516600)

為確定水庫洪水位，需要根據水量平衡原理進行調洪演算。工程中通常采用固定時段計算水庫入、出庫水量和庫水位的變化，但水庫水位達到最高水位并不一定出現在固定時段的整點位置。固定時段影響了最高洪水位的計算精度。引入二分法、不動點迭代、擬Newton法等數值算法單獨求解最高洪水位，可以大幅提高計算精度。

水量平衡；調洪演算；最高水位；算法

為確定水庫洪水位，需要根據水量平衡原理進行調洪演算，工程中通常采用尤拉差分法[1]按固定時段逐時段計算水庫入、出庫水量和庫水位的變化。但水庫水位達到最高水位并不一定出現在固定時段的整點位置，從而使固定時段的最高洪水位成果偏低，因此最高洪水位的計算不宜采用固定時段，宜采用專門的算法。

1 調洪演算的尤拉解法

對于任一時段(如t1→t2)，入庫水量減去出庫水量，應等于該時段內水庫增加或減少的蓄水量，尤拉差分法的調洪演算計算公式為：

(1)

式中：Qt1、Qt2為時段始、末的入庫流量；qz1、qz2為時段始、末的出庫流量，取決于庫水位z，即q=f(z)；Vz1、Vz2為時段始、末的庫容，取決于庫水位z，即V=f(z)；△t為計算時段，△t=t2-t1。

預先確定△t再計算時，式(1)即為變量為z2的一元非線性方程，可采用二分法、不動點迭代法、Newton迭代法及其它數值分析方法求解，也可采用半圖解法等工程方法求解[2]。

2 最高洪水位的基本方程

設在時間t=t2水庫水位過到最高洪水位，雖然有dz/dt=0，但對式(1)求導展開式過于復雜。注意到最高洪水位時有Qt2=qz2，引入該條件后式(1)可寫為：

(2)

Q(t2)=q(z2)

(3)

式(2)和式(3)構成的方程組有未知數t2、z2，為二元非線性方程組，水庫最高水位的求解即轉化為對二元非線性方程組的求解。

3 最高洪水位的解法

非線性方程組的常規解法有不動點迭代法、Newton法或擬Newton法，式(2)和式(3)構成的方程組僅為二元函數，也可轉化后采用非線性方程的二分法求解。

3.1 二分解法

注意到庫水位上升期有Q(t2)>q(z2)、庫水位下降期有Q(t2)

1)準備：初步確定解區間[t1，t2]，使Q(t1)>q(z1)、Q(t2)>q(z2)。

3)計算：令△t=t-t0，代入式(1)求解。

4)驗證：t2-t1<ε(ε為事先指定的計算精度)或前后相鄰兩次計算的最高庫水位z滿足事先指定的精度，轉步5；否則若Q(t)>q(z)，令t1=t，轉步2。若Q(t)

5)結束：取計算所得的z為最高庫水位、t為最高庫水位的發生時間。

3.2 不動點迭代解法

采用不動點迭代解法可按以下步驟求解：

自我修煉具有引導教育自己朝著理想目標前進的能力與功效，能夠為自己前進指明方向，幫助自己堅定理想信念，強化宗旨意識。外部監督使自我修煉取得的成果通過外部監督固化下來，使自我修煉的基本原則與基本方法通過外部監督固化下來。在實際工作中，以領導干部掌握馬克思主義理論這個看家本領為著力點，夯實自我修煉與外部監督同頻共振的堅實基礎；以發展積極健康的黨內政治文化為著力點，為自我修煉與外部監督互促共進提供良好環境；以強化制度執行力為著力點，為自我修煉與外部監督和衷共濟提供強力支撐。

2)迭代：將t2代入式(2)計算，得到z2；根據式(3)有t2=Q-1[q(z2)]。

3)驗證：比較前后相鄰兩次計算的最高庫水位z2和發生時間t2，如滿足事先指定的精度則轉步4，否則轉步2。

4)結束：取計算所得的z為最高庫水位、t為最高庫水位的發生時間。

迭代法可進一步引入延拓法的思想，引入參數0≤λ≤1，將步2迭代初值和迭代終值的t2、z2進行加權，即取t2=λt2初+(1-λ)t2迭和z2=λz2初+(1-λ)z2迭，可大幅提高迭代算法的收斂性。

3.3 擬Newton法

(4)

Qt1+mQ×(t2-t1)=qz1+mq×(z2-z1)

(5)

式(4)和式(5)組成二元線性方程組，變形后為：

(6)

(7)

計算時可先預估z2、t2，求得Q(t2)、q(z2)、mv、mQ、mq等參數代入式(6)、式(7)再重新求解z2、t2，依次迭代直至滿足解答精度要求?？蓞⒄找韵虏襟E求解：

1)準備：預估初始解(t2，z2)。

2)準備：根據初始解答(t2，z2)計算參數Q(t2)、q(z2)、mv、mQ、mq。

3)計算：按式(6)、式(7)可得新的迭代解t2，z2。

4)驗證：比較前后相鄰兩次計算的最高庫水位z2和發生時間t2，如滿足事先指定的精度則轉步5，否則將迭代解或采用延拓法加權后的解作為初始解轉步2。

5)結束：取迭代解t2，z2為最終解。

4 工程算例

池蘆水庫位于黃河流域洛河水系支流永昌河上，壩址控制流域面積18.10km2，是一座以灌溉、供水為主，兼有防洪任務的小(1)型水庫，防洪標準為30a一遇設計、300a一遇校核[3]。池蘆水庫溢洪道為無閘控制的岸邊開敞式，控制段為頂寬30m、堰頂高程616.0m的寬頂堰。按0.5h固定時段計算的池蘆水庫校核洪水調洪過程見表1。

表1 池蘆水庫校核洪水調洪過程(0.5h固定時段)

顯然，池蘆水庫遭遇校核洪水的最高水位將發生在時段4-4.5h，需進一步細化核準最高水位。

4.1 二分解法

取計算時段初始的入庫流量461m3/s，出庫流量319.63 m3/s，初始水位619.648m，解區間為[4，4.5]。迭代計算的過程見表2。

表2 池蘆水庫遭遇校核洪水最高水位的二分法計算過程

4.2 不動點迭代解法

取計算時段初始的入庫流量461m3/s，出庫流量319.63 m3/s，初始水位619.648m，取初始解t2=4.25h。池蘆水庫遭遇校核洪水最高水位迭代計算過程見表3。

表3 迭代法計算過程

4.3 擬Newton法

取計算時段初始的入庫流量461m3/s，出庫流量319.63 m3/s，初始水位619.648m，取初始解t2=4.25h、Z2=620.0m。擬Newton法的迭代過程見表4。

5 結 語

為確定水庫洪水位，需要根據水量平衡原理進行調洪演算。工程中通常采用固定時段計算水庫入、出庫水量和庫水位的變化，但水庫水位達到最高水位并不一定出現在固定時段的整點位置，影響最高洪水位成果的精度，因此最高洪水位的計算不宜采用固定時段。最高洪水位的計算可采用二分法、不動點迭代、擬Newton法等數值，可以大幅提高計算精度取得較好的計算效果。

表4 池蘆水庫遭遇校核洪水最高水位的擬Newton法迭代過程

[1]葉守澤，許靜儀，王祥三，等.水文水利計算[M].北京：中國水利水電出版社，1992：62-70.

[2]鄭咸義，姚仰新，雷仁秀，等.應用數值分析[M]．廣州：華南理工大學出版社，2008：45-51.

[3]李雙江，楊莉，周建波，等.陜縣池蘆抗旱小水庫水源工程項目建議書[R].三門峽：三門峽市水利勘測設計有限責任公司，2015.

HighestWaterLevelAlgorithmStudyonReservoirStorageRoutingBasedonEulerDifferenceMethod

YANG Li1;LI Shuang-jiang1and ZHOU Bin2

(1.Sanmenxia Urban Water Conservancy Investigation and Design Limited Company, Sanmenxia 472000, China; 2.Shanwei Urban Water Conservancy & Hydropower Planning and Design Institute, Shanwei 516600, China)

In order to determine the reservoir flood level, it is necessary to carry out flood control calculation according to the principle of water balance. During the process of project construction, the fixed time is usually adopted to calculate the change of reservoir inlet and outlet water and reservoir water level, but the reservoir water level reaches the highest water level and not sure to appear in the fixed point of time. The fixed period affects the calculation accuracy of the highest flood level. It can greatly improve the calculation accuracy by introducing the dichotomy, fixed point iteration,quasi-Newton method and other numerical algorithm to solve the maximum flood level.

water balance；storage routing；maximum water level; algorithm

1007-7596(2017)10-0017-03

TV697.13

B

2017-09-18

楊莉(1980-)，女，河南三門峽人，工程師，從事水利水電工程規劃工作；李雙江(1985-)，男，河南三門峽人，工程師，從事水利水電工程設計工作；周斌(1972-)，男，廣東汕尾人，高級工程師， 從事水利水電工程設計工作。