有條件的排列問題的四種題型

湖北 廖慶偉

有條件的排列問題的四種題型

湖北 廖慶偉

從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數．排列問題需要考慮順序，有條件的排列問題大致分四種類型.

一、某元素在(或不在)某個位置上問題

【例1】(2016·四川卷·理4)用數字1，2，3，4，5組成沒有重復數字的五位數，其中奇數的個數為

( )

A.24 B.48

C.60 D.72

【點評】某元素在(或不在)某個位置上問題：①可從位置考慮用其它元素占在該元素不能排的位置；②可考慮該元素的去向(要注意是否是全排列問題)；③可間接計算即從排列總數中減去不符合條件的排列個數．

【變式1】某臺小型晚會由6個節目組成，演出順序有如下要求：節目甲必須排在前兩位，節目乙不能排在第一位，節目丙必須排在最后一位．該臺晚會節目演出順序的編排方案共有

( )

A．36種 B．42種

C．48種 D．54種

【變式2】一名老師和兩名男生兩名女生站成一排照相，老師不站在兩端，則不同站法的種數為

( )

A．12 B．24

C．72 D．120

二、某些元素相鄰問題

【例2】室內體育課上王老師為了豐富課堂內容，調動同學們的積極性，他把第四排的8個同學請出座位并且編號為1,2,3,4,5,6,7,8.經過觀察這8個同學的身體特征，王老師決定，按照1,2號相鄰，3,4號相鄰，5,6號相鄰，而7號與8號不相鄰的要求站成一排做一種游戲，有________種排法．(用數字作答)

【點評】某些元素相鄰，可將這些元素排好看作一個元素(即捆綁法)然后與其它元素排列.

【變式3】在航天員進行的一項太空實驗中，要先后實施6個程序，其中程序A只能出現在第一或最后一步，程序B和C在實施時必須相鄰，問實驗順序的編排方法共有

( )

A．34種 B．48種

C．96種 D．144種

【變式4】將序號分別為1，2，3，4，5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張.如果分給同一人的2張參觀券連號，那么不同的分法種數是________.

三、某些元素互不相鄰問題

【例3】某次聯歡會要安排3個歌舞類節目，2個小品類節目和1個相聲類節目的演出順序，則同類節目不相鄰的排法種數是

( )

A．72 B．120

C．144 D．168

【點評】某些元素互不相鄰，可將其它剩余元素排列，然后用這些元素進行插空(即插空法).對于有附加條件的排列組合問題應遵循兩個原則：一是按元素的性質分類，二是按事件發生的過程分類.

【變式5】四位男演員與五位女演員(包含女演員甲)排成一排拍照，其中四位男演員互不相鄰，且女演員甲不站兩端的排法數為

( )

【變式6】6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數為

( )

A．144 B．120

C．72 D．24

四、某些元素順序一定問題

【例4】用6個字母A，B，C，a，b，c編擬某種信號程序(大小寫有區別).把這6個字母全部排到如圖所示的表格中，每個字母必須使用且只使用一次，不同的排列方式表示不同的信號，如果恰有一對字母(同一個字母的大小寫)排到同一列的上下格位置，那么稱此信號為“微錯號”，則不同的“微錯號”總個數為

( )

A.432 B.288

C.96 D.48

【點評】某些元素順序一定，可在所有排列位置中取若干個位置，先排上剩余的其它元素，這個元素也就一種排法．

【變式7】某小區有排成一排的7個車位，現有3輛不同型號的車需要停放，如果要求剩余的4個車位連在一起，那么不同的停放方法的種數為

( )

A．8 B．16

C．24 D．32

【變式8】將A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中順序為“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相鄰)，這樣的排列數有

( )

A．12種 B．20種

C．40種 D．60種

湖北省巴東縣第三高級中學)