直線方程常見經典考題分類賞析

■李偉玉

直線方程常見經典考題分類賞析

■李偉玉

編者的話：“經典題突破方法”欄目里例、習題選自名校模擬題或三年高考真題，推出本欄目的主要目的是讓同學們更好地領悟數學解題思想方法，通過多解多變培養同學們多思多想的好習慣。學會解題反思，無疑是同學們學習的一條捷徑，愿同學們不斷在反思中進步，在反思中收獲！

題型1：直線的傾斜角與斜率問題

（l）求傾斜角的取值范圍的一般步驟：①求出斜率k=tanα的值。②利用三角函數的單調性，借助圖像，確定傾斜角α的取值范圍。求傾斜角時要注意斜率是否存在，若斜率不存在，就不能用斜率公式求其傾斜角。（2）斜率的求法：①定義法，一般根據k=tanα求斜率。②公式法，一般根據斜率公式

例1 直線x—y+l=0的傾斜角為（ ）。

A.30° B.45°

C.l20° D.l50°

解：由直線y=x+l的斜率為l，可設其傾斜角為α，則tanα=l。

由于0°≤α＜l80°，故α=45°。應選B。

跟蹤練習1：已知直線ll的傾斜角αl=l5°，直線ll與l2的交點為A，把直線l2繞點A按逆時針方向旋轉到和直線ll重合時所轉的最小正角為60°，則直線l2的斜率k2的值為____。

提示：如圖l，設直線l2的傾斜角為α2。

圖l

由題意知l80°—α2+l5°=60°，即α2=l35°，所以k2=tanα2=tanl35°=—l。

題型2：直線的方程問題

求直線方程時，應選擇適當的直線方程的形式，并注意各種形式的適用條件，用斜截式及點斜式時，直線的斜率必須存在，而兩點式不能表示與坐標軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標軸垂直或經過原點的直線。

例 2 過點P（—8，3）且在兩坐標軸上的截距相等的直線l的方程為____。

當截距為0時，設所求直線方程為y=kx，則3=—8k，即，此時直線l的方程為即3x+8y=0。

綜上可得，直線l的方程為x+y+5=0或3x+8y=0。

跟蹤練習2：直線3x—4y+k=0在兩坐標軸上的截距之和為2，則實數k=____。

題型3：直線方程的綜合問題

（l）直線方程與函數相結合的綜合題：解決這類問題，一般是利用直線方程中x、y的關系，將所求問題轉化成關于x的函數，借助函數性質來解決。（2）直線方程與方程、不等式相結合的綜合題：一般是利用方程、不等式等知識來解決。

例 3 已知點A（—l，0），B（l，0），C（0，l），直線y=ax+b（a＞0）將△ABC 分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是（ ）。

A.（0，l）

解：由已知條件可得B，C兩點所在的直線方程為x+y=l。

由題意可得S△ABC=l。直線y=ax+b與x軸交于點，由三角形的面積公式可得，化簡得（a

考慮到極限位置，當a趨于0時，直線y=ax+b近似于直線y=b，即平行于x軸，也即平行于AB，由面積比為l∶l，易得b=l—2。應選B。

2

跟蹤練習3：已知直線ll：ax—2y=2a—4，l2：2x+a2y=2a2+4，當0＜a＜2時，直線ll，l2與兩坐標軸的正半軸圍成一個四邊形，則當a為何值時，四邊形的面積最??？

圖2

題型4：兩條直線的平行問題

（l）已知兩條直線的斜率存在，兩條直線平行?兩條直線的斜率相等且在坐標軸上的截距不等。當直線斜率不確定時，要注意斜率不存在的情況。（2）兩條直線ll：Alx+Bly+Cl=0，l2：A2x+B2y+C2=0中系數Al，Bl，Cl，A2，B2，C2與平行的關系：AlB2—A2Bl=0且AlC2—A2Cl≠0?ll∥l2。

例 4 直線2x+（m+l）y+4=0與直線mx+3y—2=0平行，則m=（ ）。

A.2 B.—3

C.2或—3 D.—2或—3

解：由直線2x+（m+l）y+4=0與直線mx+3y—2=0平行，可得故m=2或m=—3。應選C。

跟蹤練習4：直線ll的斜率為2，ll∥l2，直線l2過點（—l，l）且與y軸交于點P，則點P的坐標為____。

提示：因為ll∥l2，且ll的斜率為2，所以直線l2的斜率k=2。

又直線l2過點（—l，l），所以直線l2的方程為y—l=2（x+l），即y=2x+3。

令x=0，可得y=3，故點P 的坐標為（0，3）。

題型5：兩條直線的垂直問題

（l）已知兩條直線的斜率存在，兩條直線垂直?兩條直線的斜率之積等于—l。（2）直線ll：Alx+Bly+Cl=0，l2：A2x+B2y+C2=0中系數 Al，Bl，Cl，A2，B2，C2與垂直的關系：AlA2+BlB2=0?ll⊥l2。

例 5 直線mx+4y—2=0與直線2x—5y+n=0垂直，垂足為（l，p），則n 的值為（ ）。

A.—l2B.—2

C.0D.l0

解：由已知兩條直線垂直，可得2m—20=0，即m=l0。

將（l，p）代入l0x+4y—2=0，可得l0+4p—2=0，即p=—2。

將（l，—2）代入2x—5y+n=0，可得2+l0+n=0，即n=—l2。應選A。

跟蹤練習5：經過兩條直線2x+y+2=0和3x+4y—2=0的交點，且垂直于直線3x—2y+4=0的直線方程為（ ）。

A.2x+3y+2=0

B.2x—3y+2=0

C.2x+3y—2=0

D.2x—3y—2=0

由點斜式可得所求的直線方程為2x+3y—2=0。應選C。

題型6：兩條直線的交點問題

求兩條直線的交點坐標，就是解由兩條直線方程組成的方程組，以方程組的解為坐標的點即為交點坐標。

例 6 當0＜k＜l時，直線l：kx—y=2

lk—l與直線l2：ky—x=2k的交點所在的象限是（ ）。

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

跟蹤練習6：已知直線ll過點（—2，0）且傾斜角為30°，直線l2過點（2，0）且與直線ll垂直，則直線ll與直線l2的交點坐標為（ ）。

提示：直線ll的斜率為kl=tan30°=

3

因為直線l2與直線ll垂直，所以直線l2的斜率為于是可得直線ll的方程為（x+2），直線l的方程為y

2

將直線ll與直線l2的方程聯立可得方程即直線ll與直線l2的交點坐標為應選C。

題型7：距離公式的應用問題

距離公式包括兩點間的距離公式、點到直線的距離公式以及兩條平行直線間的距離公式。高考對距離公式的考查主要有三種命題角度：（l）求距離；（2）已知距離求參數的值；（3）已知距離求點的坐標。

例 7 已知直線l過點P（3，4）且點A（—2，2），B（4，—2）與直線l等距離，則直線l的方程為____。

解：顯然，當直線l的斜率不存在時，不滿足題意。

當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y—4=k（x—3），即kx—y+4—3k=0。

故所求直線l的方程為2x—y—2=0或2x+3y—l8=0。

跟蹤練習7：若直線ll：x—2y+m=0（m＞0）與直線l2：x+ny—3=0之間的距離是，則m+n=（ ）。

A.0 B.l C.—l D.2

提示：因為直線ll：x—2y+m=0（m＞0）與直線l2：x+ny—3=0之間的距離為，可知直線ll與直線l2平行，所以可得方，即得n=—2，m=2（m=

—8＜0，舍去）。故m+n=0。應選A。

題型8：對稱問題

（l）直線關于點的對稱問題的處理方法：在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們關于已知點對稱的兩點坐標，再由兩點式求出對稱的直線方程?；蛘?，求出一個對稱點，再利用兩條直線平行，由點斜式得到所求的直線方程。（2）直線關于直線對稱的處理方法：一般轉化為點關于直線的對稱問題來解決，有兩種情況：一是已知直線與對稱軸相交；二是已知直線與對稱軸平行。

例 8 已知入射光線經過點M（—3，4），被直線l：x—y+3=0反射，反射光線經過點N（2，6），則反射光線所在的直線方程為____。

解：設點M（—3，4）關于直線l：x—y+3=0的對稱點為 M′（a，b），則反射光線所在的直線過點M′。

利用對稱性可解得a=l，b=0，即得點M′（l，0）。

跟蹤練習8：直線ll：y=2x+3關于直線l：y=x+l對稱的直線l2的方程為____。

設直線l2的方程為y+l=k（x+2），即kx—y+2k—l=0。

在直線l上取一點（l，2），由題設知點（l，2）到直線ll，l2的距離相等。

故直線l2的方程為x—2y=0。

題型9：直線系及其應用問題

（l）過定點（xl，yl）的直線系：y—yl=k（x—xl）和x=xl。（2）平行于直線 Ax+By+C=0的直線系：Ax+By+λ=0（λ≠C）。（3）垂直于直線Ax+By+C=0的直線系：Bx—Ay+λ=0。（4）過直線Alx+Bly+Cl=0與A2x+B2y+C2=0的交點的直線系：Alx+Bly+Cl+λ（A2x+B2y+C2）=0（不包括直線A2x+B2y+C2=0）。

例 9 不論k為何實數，直線（2k—l）x—（k+3）y—（k—ll）=0恒過一個定點，這個定點的坐標是____。

解：直線（2k—l）x—（k+3）y—（k—ll）=0，即k（2x—y—l）+（—x—3y+ll）=0。

由k的任意性可得：

所以不論k取任何實數時，直線（2k—l）—（k+3）—（k—ll）=0都經過一個定點（2，3）。答案為（2，3）。

跟蹤練習9：過兩條直線ll：x—3y+4=0和l2：2x+y+5=0的交點和原點的直線方程為（ ）。

A.l9x—9y=0

B.9x+l9y=0

C.l9x—3y=0

D.3x+l9y=0

提示：由題意可設過兩條直線交點的直線系方程為x—3y+4+λ（2x+y+5）=0，代入原點坐標（0，0），可得

河南開封高中

（責任編輯 郭正華）