塔式起重機剛柔耦合動力學模型研究

楊 悅，曹旭陽，高順德

（大連理工大學 機械工程學院，遼寧 大連 116024）

1 引言

塔式起重機系統是典型的欠驅動系統，而且重物的非線性運動又和臂架、塔身等具有大長細比的柔性構件的變形相互影響，增加了研究其動力學模型的難度。研究塔式起重機的動態響應對指導其結構的設計和提高安全性能具有重要意義，隨著塔式起重機小車運行速度的提升和對重物移動位置精確性要求的提高，對其動力學特性進行研究的需求更加迫切。目前對塔式起重機的動力學特性研究主要將系統等效為多剛體系統，集中于重物擺動特性以及消擺控制方法的研究[1-4]，而綜合考慮塔式起重機結構特性對系統動力學響應的研究較少。文獻[5]綜合考慮了塔式起重機系統的剛度、阻尼、摩擦和空氣阻尼等因素，將系統等效成了集中質量-彈簧系統，建立了數學模型并進行了實驗，研究了回轉運動產生的動載荷對系統的影響。文獻[6]結合有限元方法和剛體運動學理論，研究了重物的擺動和系統的柔性對系統動力學響應的影響。文獻[7]將塔式起重機等效為中心剛體-柔性臂模型，并用線性彈簧考慮拉桿對系統動力學響應的影響，應用Hamilton原理推導了描述系統回轉和變幅運動的動力學控制方程。文獻[8]將塔式起重機等效為平面柔性多體系統，綜合考慮了臂架、塔身、平衡臂的柔性，僅針對回轉制動工況進行了動力學分析。

綜上，隨著理論與技術的不斷發展，國內外學者對塔式起重機的動力學特性研究越來越深入，但目前建立的動力學模型仍存在結構或運動描述不全面等問題，同時對理論模型的合理性的探討也比較少見?；诖?，重點研究在塔式起重機臂架的柔性變形和系統非線性運動的綜合影響下，將臂架等效為Euler-Bernoulli梁并考慮臂架的自重和結構阻尼，應用拉格朗日方程和假設模態法建立完整描述塔式起重機變幅、回轉和起升運動的離散化動力學方程。然后應用Maple數學軟件對方程進行數值求解并與動力學仿真的結果進行對比。

2 運動學描述

2.1 變量定義

文獻[7]主要考慮臂架的柔性和拉桿的影響，忽略塔身、平衡臂等結構的柔性，并且不考慮鋼絲繩長的變化，建立的塔式起重機動力學模型，如圖1所示。柔性臂架等效為Euler-Bernoulli梁，在水平面內回轉。以臂架回轉中心為原點，臂架的中線方向為X1軸建立固定坐標系O1X1Y1，作為系統輸出參數的參照。O2X2Y2和O3X3Y3分別為固結在臂架根部和小車中心的浮動坐標系，用以定義臂架的變形和作大范圍剛體運動的參數。對于細長梁，其縱向伸縮變形相對于豎直平面內的彎曲變形要小很多；且塔式起重機臂架水平面內的彎曲變形主要由慣性力引起，其相對于豎直平面內的彎曲變形也可忽略不計，故僅考慮臂架豎直平面內的彎曲變形，設其為w（x，t）。假設臂架初始時刻中線和X1軸重合，由靜止開始進行回轉、變幅、起升運動。忽略臂架變形對小車相對運動的影響，即假設小車始終沿著X2軸運動，在任意時刻t，描述系統的廣義坐標為：小車相對于臂架根部的位移s（t），臂架相對于X1軸的回轉角度α（t）；鋼絲繩相對于小車中心的長度l（t），重物在Z3Y3平面內的擺角和偏離平面的平面外擺角分別為 β（t）、γ（t）；臂架在Z3X3平面內橫向彎曲變形w（x，t）。為便于公式推導，上述廣義坐標中，前3個廣義坐標描述塔式起重機大范圍剛體運動，將其作為系統輸入量，記為向量 p=［x1，x2，x3］T；后 3個廣義坐標為描述系統動力學響應的輸出量，記為向量q=［x4，x5，x6（x，t）］T。xi（i=1，2…6）是關于時間的函數，記其關于時間的一階、二階導數分別為yi（i=1，2…6）、zi（i=1，2…6）。

2.2 構件坐標

臂架中線上任一點P1在浮動坐標系O2X2Y2下的坐標用向量表示為：R1=［x 0 x6（x，t）］T（1）

小車在臂架上運動，小車位置P2在浮動坐標系O2X2Y2下的坐標為：

重物位置P3在浮動坐標系O3X3Y3下坐標為：

設浮動坐標系O2X2Y2向慣性坐標系O1X1Y1轉化的反對稱

經過坐標變換，Pi（i=1，2，3）在慣性坐標系O1X1Y1的坐標用ri（i=1，2，3）表示為：

圖1 塔式起重機動力學模型示意圖Fig.1 Dynamic Model of a Tower Crane

2.3 構件速度將式（5）對時間求導，得各構件速度為：

R˙i（i=1，2，3），Ri（i=1，2，3）表示對時間的一階導數：

3 動力學方程推導及其離散

3.1 方程推導

使用拉格朗日方程來建立系統大范圍運動規律已知的動力學方程[9]，向量形式的拉格朗日方程的基本形式為：

式中：T—系統動能；V—系統勢能；q—系統廣義坐標向量；F—廣

義力向量。對應于，上式的廣義坐標向量為q=［x4x5x6］T，

F=0。系統的動能：

式中：等號右邊第一項為臂架的動能，第二、三項分別為小車和重物

的動能；ρ1—臂架的等效線密度；L1—臂架的長度；m1、m2—小車和重物的質量。將式（6）代入上式便可得到系統的動能。

3.2 方程離散

采用假設模態法，將臂架任意點的橫向彎曲變形表示為：

經過整理便可得到系統離散后矩陣形式的動力學方程：

式中：M、K—（2+n）×（2+n）維矩陣，分別是離散系統的廣義質量矩陣和廣義剛度矩陣；Q、G、Mi—（2+n）維列向量；Q—離散系統的輸出廣義坐標向量；Q¨—其對時間的二階導數；G—包括離心力、科式力和重力在內的廣義力向量；Mi—與輸入廣義坐標相關的廣義質量向量。具體表達式為：

3.3 考慮結構阻尼的離散方程

式中：C—（2+n）×（2+n）維矩陣，為系統的結構阻尼矩陣；

Q˙—Q對時間的一階導數，具體為：

考慮柔性梁的結構阻尼時，系統的動力學方程變為：

組合系數α和β計算公式為：

式中：ωi、ξi（i=1，2）—柔性梁的第一、第二階振動頻率和相應的阻尼比。

選取固定邊界懸臂梁的模態函數，其元素為：

對應固定邊界懸臂梁，其橫向彎曲振動的固有頻率計算式：

將式（21）～式（25）代入式（20）便可得到考慮結構阻尼的系統的離散動力學方程。

4 數值計算與動力學仿真

4.1 計算參數和仿真模型

上節推導得到了系統的離散動力學方程，首先使用Maple數學軟件截取柔性梁的前二階模態進行數值計算，然后與使用ADAMS進行動力學仿真的結果進行了對比。塔式起重機的系統參數，如表1所示。建立的塔式起重機ADAMS簡化仿真動力學模型，如圖2所示。模型中塔帽、臂架為柔性體，其余都為剛性體。

表1 系統參數表Tab.1 System Parameters

圖2 塔式起重機ADAMS動力學模型Fig.2 ADAMS Simulation Model

數值計算和動力學仿真針對文獻[10]中塔式起重機三種典型的運動形式，初始條件為小車距回轉中心60m，鋼絲繩長度為20m。第一種形式臂架進行先勻加速后勻速最后再勻減速的變幅運動，加速時間為0.5s，勻速運動10s，減速時間為0.5s，勻速運動速度為0.9m/s。第二種形式，臂架同時進行變幅和起升運動，運動時間為10.5s，且都為先勻加速運動再勻速運動，變幅加速時間0.5s，勻速運動速度0.9m/s，起升加速時間2.57s，勻速運動速度1.333m/s。第三種形式臂架進行先勻加速后勻速最后再勻減速的回轉運動，加速時間為13.67s，勻速運動時間為10s，減速運動3.6s，勻速運動角速度為3.78°/s。各運動速度函數，如圖3所示。

圖3 變幅、回轉和起升運動速度函數Fig.3 Velocities of Luffing，Rotating and Lifting Motion Respectively

4.2 僅變幅運動時結果對比

僅變幅運動時的計算和仿真結果，如圖4所示。分析可知重物X方向位移的變化主要由變幅運動和重物的擺動產生，計算和仿真的結果基本一致，8s以后的差異主要是由于重物平面內擺角的差異造成。臂架豎直平面內的橫向彎曲振動引起了重物Z方向位移的變化，由計算和仿真得到的其變化的幅值和周期基本一致。與數值計算結果比較，仿真得到的重物平面內擺角有周期性微幅的震蕩，且變化周期更長，這一差異主要是因為數值計算中并未考慮臂架的軸向振動。

圖4 僅變幅運動時重物運動響應曲線Fig.4 Dynamic Response of the Payload When Luffing Only

4.3 同時變幅和起升運動時結果對比

同時進行變幅和起升運動時的計算和仿真結果，圖略。起升運動和臂架的橫向彎曲振動引起重物Z方向位移的變化，變化的周期和臂架的振動周期一致。重物平面內擺角仍有微幅的震蕩，且計算和仿真結果仍存在周期差異。另外，與第一種形式比較，起升運動引起了擺角幅值的增大和周期的縮短。

4.4 僅回轉運動時結果對比

僅回轉運動時的計算和仿真結果，圖略。比較可知，計算和仿真得到的重物X方向和Y方向位移的變化趨勢都幾乎一致。Z方向位移的變化在初始階段比較吻合，但隨著時間的增加，計算的結果較仿真的結果其幅值變小而周期變長。另外，重物平面內的擺角和平面外的擺角的振動周期仍存在差異，且仿真得到的結果存在明顯的周期性震蕩，這種差異產生的主要原因仍然是由于計算過程中忽略了臂架的軸向振動和水平面內的橫向彎曲振動?？芍诨剞D減速運動階段，重物平面外的擺角會迅速增大。

5 結論

（1）建立的動力學模型可以完整地描述塔式起重機各種典型的運動過程，較準確地跟蹤重物運動過程的位移響應。（2）數值計算結果表明模型可以近似地反映重物平面內和平面外的擺角響應，動力學仿真結果還表明臂架的軸向振動和水平面內的橫向彎曲振動會引起擺角的周期性微幅震蕩。（3）變幅運動和回轉運動都會引起重物平面內的擺動?；剞D運動還會引起重物平面外的擺動，當回轉快速制動時會引起擺角的迅速增大。同時進行變幅和起升運動時，起升運動會引起重物擺動幅值的增大和周期的縮短。的研究結果對研究塔式起重機的動力學響應和跟蹤重物軌跡、研究重物的擺動規律具有重要的指導意義，同時對于研究大長細比臂架類工作機構的動力學響應也具有重要的參考價值。

［1］TZU-SUNG W，MANSOUR K，WEN-SHYONG Y.Anti-sway tracking control of tower cranes with delayed uncertainty［J］.Fuzzy SETS and Systems，2015，1（10）：1-20.

［2］KOUMBOULIS F N，NIKOLAOS D K，GIANNARIS G L.Independent motion control of a tower crane through wireless sensor［J］.ISA Transactions，2015（11）：1-9.

［3］DAVID B，JASON L，JON D.Radial-motion assisted command shapers for nonlinear rotational slewing tower crane［J］.Control Engineering Practice，2010（18）：523-531.

［4］王寶家，殷晨波.塔機位置與防擺控制研究［J］.機械設計與制造，2015（1）：165-168.（Wang Bao-jia，Yin Chen-bo.Research of tower crane’s position and antiswing control［J］.Machinery Design&Manufacture，2015（1）：165-168.）

［5］JERMAN B，PODRZAJ P，KRAMAR J.An investigation of slewing-crane dynamics during slewing motion-development and verification of a mathematical model［J］.International Journal of Mechanical Sciences，2004（46）：729-750.

［6］JU F，CHOO Y S，CUI F S.Dynamic response of tower crane induced by the pendulum motion of the payload［J］.International Journal of Solids and Structures，2006（43）：376-389.

［7］YANG Wen-qing，ZHANG Zhi-yi，SHEN Rong-ying.Modeling of system dynamics of a slewing flexible beam with moving payload pendulum［J］.Mechanics Research Communications，2007（34）：260-266.

［8］蘭朋，陸念力.塔式起重機柔性臂回轉制動過程動力分析［J］.哈爾濱工業大學學報，2004，36（5）：677-680.（Lan Peng，Lu Nian-li.Dynamic analysis of flexible jib of tower crane in case of braking slewing motion［J］.Journal of Harbin Institute of Technology，2004，36（5）：677-680.）

［9］蔡國平，洪嘉振.旋轉運動柔性梁的假設模態方法研究［J］.力學學報，2005，37（1）：48-56.（Cai Guo-ping，Hong Jia-zhen.Assumed mode method of a rotating flexible beam［J］.ACTA Mechanica Sinica，2005，37（1）：48-56.）

［10］呂玉蘭.塔式起重機操作培訓模擬系統的研究與實現［D］.大連：大連理工大學，2015.（Lv Yu-lan.Research and implement of operation training simulation systemfortowercrane［D］.Dalian：DalianUniversityofTechnology，2015.）