某型越野SUV轉向輪Hopf分岔導致擺振現象的研究
2018-02-03 16:01孫海鵬許可劉宏馬立硯
汽車科技 2018年6期
孫海鵬 許可 劉宏 馬立硯
摘? 要：為研究四驅越野車輛的轉向輪的擺振問題，本文以某型越野SUV為樣車，采用非線性輪胎數學模型魔術公式，建立關于轉向輪的單自由度擺振力學模型。根據力學模型建立運動方程，應用Hopf分岔定理進行定性分析，結果表明，以車速作為變量時，該擺振系統在某一速度分岔點處發生Hopf分岔;然后使用四階龍格-庫塔（Runge-Kutta）方法對擺振系統進行數值仿真計算，得出該系統的速度分岔圖，數值計算與定性分析，得到的分岔點幾乎一致。最后針對系統擺振幅值最大工況下的幅頻特性進行了分析，并以主銷后傾角為參數研究其對擺振的影響。本文研究結果為在設計階段避開自激擺振和使用階段抑制自激擺振提供理論參考。
關鍵詞：越野SUV;魔術公式;Hopf分岔;擺振
中圖分類號：U461.6? ?文獻標識碼：? ? ?文章編號：1005-2550（2018）06-0014-06
Study on Off-Road SUV Steering Wheel
Hopf Bifurcation leadsto Shimmy
SUN Hai-peng1， XU Ke2， LIU Hong1， MA Li-yan1
（ 1.DongFengMotor Corporation Technical Center， Wuhan 430056， China;
2.Shanghai ZieZone Automotive parts Co.，Ltd， Shanghai 201100， China ）
Abstract： In order to study shimmy problem of the steering wheel of off-roadSUV， consider nonlinear of the tire.A single degree of freedom shimmy model is establishedconsidering the magic formula. Using the Hopf bifurcation theorem determined the result of the qualitative analysis of the equations of motion. The result shows that Hopf bifurcation occurredat speed bifurcation point. Then using the Runge - Kutta methods calculated shimmy system， andget the system speed bifurcation diagram. The diagram showed that the numerical results and qualitative analysis consistent. Finally， the amplitude-frequency characteristics of the system are analyzed at the speed corresponding to the maximum amplitude value， and studying the relationship between the kingpin and shimmy. The results can provide a theoretical reference for suppressing the self-excited shimmy of the type automobile.
引言
隨著自駕游被越來越多的人喜愛，越野SUV成為廣大車主選購對象。相比兩驅車，四輪驅動汽車能夠將驅動力按比例分配給四個車輪，因此，該型汽車能以更高的操穩定性，順利通過各種惡劣路況。但越野SUV轉向系統行駛中若出現自激擺振時，將極大的影響車輛的操穩性能，增加駕駛員的緊張感，使得在惡劣路況駕駛成為危險行為。因此，有必要對越野SUV轉向輪Hopf分岔導致的自激振動現象進行研究。David在1998年就針對軍用多軸驅動越野車性能，開展建模和仿真研究[1]。非獨立懸架的多軸驅動汽車，存在著前輪繞主銷的自激振動，該振動不需要外界提供周期性的干擾源，振動行為發生后需要外界主動阻止方能消減[2]。法國人Broulhiet1925年，在研究了汽車前輪擺振現象之后，指出輪胎的力學特性是重要影響因素[3]。但直到Pacejka于1987年找到非線性的魔術公式使得對轉向輪Hopf分岔數學仿真成為可能[4]。由于計算機計算能力限制，國內的管迪華院士以線性輪胎模型研究了汽車轉向輪的擺振問題[5-10]。研究發現轉向系統結構參數、輪胎的遲滯效應和主銷后傾角等因素均對擺振有較大影響。
因此本文以某型越野SUV為研究樣車，針對其前輪擺振問題，建立單自由度擺振力學模型，通過Hopf分岔原理，定性分析判定擺振系統速度分岔點，并使用4階Runge-Kutta法對該系統進行數值計算，求解其分岔特性和幅頻特性，并探索主銷后傾角對擺振的影響。
1? ? 前輪單自由度擺振力學模型
該型越野SUV采用了4×4驅動系統，前橋既是驅動橋又是轉向橋，前傳動軸兩端連接前橋和分動箱，主銷通過車身安裝點和下擺臂安裝點固定，轉向系統采用液壓助力式轉向器。
1.1? ?擺振系統力學模型
圖2（b）坐標系定義為，以輪胎接地中心點為坐標原點，汽車前進方向為X軸，汽車左側為Y軸正向，Z軸垂直地面向上，符合右手坐標系法則。根據圖2（b）的轉向輪力學模型，建立單自由度系統的運動方程。建立方程之前，進行以下假設：
（1）汽車在勻速直線狀態行駛時，忽略空氣阻力。
（2）只考慮右前轉向輪繞主銷擺動一個自由度 ，車輪上相關結構件以轉動慣量、彈簧和阻尼器等效。
（3）汽車行駛時，輪胎與地面保持接觸，且不發生縱向和側向的滑移。
基于以上假設，應用拉格朗日方程得到數學方程，拉格朗日方程為：Section
其中：q—系統的自由度，T—系統的動能，U—系統的勢能，D—系統的耗散能，Q—系統受到的廣義力。
根據圖2，本文系統的動能、勢能、耗散能及廣義力如下：
系統的動能：
其中： θ—轉向輪繞主銷擺動角， J—車輪繞主銷的轉動慣量;
系統的勢能：
其中： K—轉向輪繞主銷的扭轉角剛度;
系統的耗散能：
其中： C—轉向輪繞主銷的粘滯阻尼;
系統的廣義力：
其中：FZ—轉向輪所受垂向力;m1—轉向輪處簧上質量;L—轉向節有效長度，γ —轉向輪主銷后傾角;Fy—轉向輪所受側向力;D—輪胎拖距，R—轉向輪的滾動半徑;Fx—轉向輪所受縱向力。
將式（1.2）～（1.5）帶入到拉格朗日方（1.1）得出轉向輪擺振系統的運動微分方程如下：
1.2? ?輪胎側向力
常用的非線性輪胎模型有：“魔術公式”模型[11]、“統一模型”[12]和Gim輪胎模型[13]。魔術公式通用性強，用輪胎擬合數據可以得到符合輪胎非線性特性的曲線。故本文選用簡化后的魔術公式：
式中，ai（i表示車輪序號）表示轉向輪的側偏角，Bi、Ci、Di、Ei分別是剛度因子、形狀因子、峰值因子、曲率因子，a1、a2、a3、a4、a5、 a6、a7、a8為由試驗擬合得到的參數。其數值如表1所示：
根據式（1.7）和表1中的數據可得輪胎側偏力Fi 與側偏角ai之間的關系曲線如圖3所示：
這里運用一階近似張線理論，描述輪胎側偏角和車輪擺角之間的關系：
其中：e—輪胎印記半長度;σ—輪胎側向松弛長度; v—車速。
2? ? 系統Hopf分岔
2.1? ?Hopf分岔定理
假設系統狀態變量方程組為：
并假設系統（2.1）的Jacobi矩陣為? ? ? ? 。
其中，λ為矩陣? ? ? ? ? 的特征值。
令? ? ? ? ?，求得系統平衡點為（0.00008738， 0， -0.00008738）T。平衡點處Jacobi矩陣為：
以車速為變量，求解式（2.6），發現本文所建擺振系統發生Hopf分岔，臨界車速為43.16km/h。
由表2可知矩陣A（v）有一對純虛根，另一個特征根有負實部。另外，A（v）的純虛根λ1=0+42.11i對應的左特征矢量為Xl和右特征矢量為 Xr，
根據以上Hopf分岔理論的定性分析可知，本文所建系統在臨界車速處發生了Hopf分岔現象，將會產生周期運動?，F根據轉向輪擺振系統運動微分方程式（1.6），使用4階Runge-Kutta數值計算方法求解進行驗證，并分析該擺振系統的分岔現象和極限環幅頻行為。該越野SUV樣車轉向系統參數如下。
出車輪擺角θ隨車速v變化的關系曲線圖，即為該擺振系統的速度分岔特性。如圖4所示：
圖4 轉向車輪擺角θ與車速v關系曲線
由圖4可見，該速度分岔曲線在某一車速發生突變，即發生Hopf分岔現象。該車速為Hopf分岔的臨界車速，根據Hopf分岔理論，擺振系統將在臨界速度后發生自激振動，并產生極限環。根據數值仿真計算，可知橫坐標上的臨界分岔速度值為41km/h。
根據該擺振系統的分岔特性，可知該樣車的行駛狀態為：（1）當0
由圖5（a）和（b）中的時域圖和相圖可知，系統在受到不同的初始激勵后最終會趨于等幅振動的運動狀態。根據激勵大小，分別從內部或外部趨向于一個封閉的軌跡曲線，該曲線稱為極限環。由圖5（c）可知，對于不同的初始激勵系統的頻譜圖是一樣的，且頻譜圖上只有一個振頻，說明轉向輪的擺振仍是單頻振動，頻率為7.85Hz。該頻率在常見的汽車自激擺振頻率范圍內。
3.3? ?主銷后傾角對擺振的影響
選取車速v=89km/h，并保持其它系統參數不變，以主銷后傾角γ作為變量，分析系統轉向車輪擺角θ隨主銷后傾角γ的變化。數值仿真計算所的曲線如下。
由圖6 可知，主銷后傾角γ的設計值不同，決定汽車轉向輪有不同的自激振動狀態：（1）當-10°<γ<2.9°時，轉向車輪擺角為零，擺振系統處于穩定狀態;（2）當2.9°<γ<10°時，轉向車輪擺角隨著主銷后傾角γ增加而迅速增大，擺振系統表現為單周期振動。因此，為了盡量減小甚至消除車輪的擺振，對于該型越野SUV，應當選取較小或負的主銷后傾角。
4? ? 結論
根據某型越野SUV樣車，基于非線性輪胎模型，建立了樣車前轉向輪的單自由度擺振模型。應用Hopf分岔定理，定性判定了擺振系統的Hopf分岔行為;并使用4階龍格-庫塔法，通過數值計算得出系統臨界分岔速度值為41km/h，以及系統的單極限環自激振動現象;最后，研究主銷后傾角對擺振的影響，發現選取較小或負的主銷后傾角能夠消除擺振。
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