基于“標準-3”動能攔截彈的順軌攔截方法研究

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(1.解放軍裝備學院 研究生管理大隊，北京 101416；2.解放軍裝備學院 航天裝備系，北京 101416；3.解放軍裝備學院 航天指揮系，北京 101416)

0 引言

大氣層外機動變軌是一種比較成熟的彈道導彈突防手段[1]，當攔截器對彈道導彈采用迎面撞擊的方式進行防御時，兩者之間的相對速度非常大, 末制導時間極短[2]，通常只有不到10 s的時間，不利于攔截器修正偏差和精確命中目標。在這樣的情況下，采用順軌攔截方式不失為一種明智的做法，順軌攔截方式能夠有效降低攔截器與目標之間的相對速度，延長攔截器的末制導時間，提高攔截器修正偏差的能力。2005 年7 月，美國NASA采用順軌攔截方式成功實施了深度撞擊計劃[3]，印證了這一方法的有效性和可行性。

文獻[4]對比分析了順軌和逆軌攔截方式，證明了順軌方式在修正能力和需用過載等方面具有優勢，但制導過程采用了較為保守的平行接近法；文獻[5]把攔截過程簡化成兩個正交的平面，設計了平面攔截的前向制導律，但沒有擴展至三維空間，文獻[6]設計了一種用于對彈道導彈實施中段順軌攔截的二階滑膜制導律，通過仿真驗證了制導律的正確定，但在制導律引入了目前階段攔截器導引頭無法測量的目標加速度信息。此外，以上研究的仿真過程均建立在初始對準條件較好的情況下，沒有考慮工程上攔截器所能達到的真實速度，導引頭的測量誤差以及動力學系統的響應延遲和飽和過載等因素。

本文嚴格依照美國“標準-3”攔截彈的公開參數，采用所需目標信息較少的自適應滑膜制導律，對大氣層機動目標的順軌攔截過程進行了仿真分析，驗證了動能攔截器順軌攔截方法的可實踐性，對大氣層外機動目標的防御具有積極意義。

1 順軌攔截的定義

記攔截器在地心慣性坐標系下的速度矢量為Vm，目標在地心慣性坐標系下的速度矢量為Vt，則交會角Ψ可以表示為：

當90°≤Ψ≤180°時，交會方式稱為順軌攔截。

根據攔截器與目標的速度大小，順軌攔截又可以定義為追擊順軌攔截和前置順軌攔截，其中，追擊順軌攔截泛指攔截器速度大于目標速度的情況，前置順軌攔截泛指攔截器速度小于目標速度的情況，圖1為二者的交會示意圖。

圖1 順軌攔截示意圖

攔截器進行追擊順軌攔截時，從目標的后半球區域進行碰撞，進行前置順軌攔截時，從目標的前半球區域進行碰撞，一般而言，大氣層外攔截器的助推時間較短，速度在3～4 km/s之間，無法達到洲際彈道導彈的水平，因而，對前置順軌攔截的研究更加具有現實意義。

2 順軌攔截的數學模型

2.1 質心運動模型

本文采用球坐標描述雙方的位置矢量和速度矢量，其中，位置矢量通過地心距r，地理經度λ(東經為正)和地理緯度φ(北緯為正)來表示，速度矢量通過速度大小v，當地速度傾角θ(速度矢量與地球表面的夾角，地球表面向上為正)和當地速度偏角σ(速度矢量在地球表面上的投影與正北方向的夾角，順時針為正)來描述，6個參數的空間關系如圖2所示。

圖2 模型參數空間示意圖

為簡化計算，忽略次要因素，可以認為地球是均勻的無旋球體，得到導彈質心的運動模型為：

式中：r為地心距、λ為地理經度，φ為地理緯度，v為速度大小、θ為當地速度傾角，σ為當地速度偏角；g為平均重力加速度，Fcxh、Fcyh和Fczh為控制力在航跡坐標系3個坐標軸方向上的投影大小。

2.2 相對運動模型

由六參數模型可以唯一確定攔截彈在地心慣性坐系下的位置矢量Rm(t)與速度矢量Vm(t)：

式中,

為地心慣性坐標系到北天東坐標系的轉換矩陣。

同理，易知目標在地心慣性系下的位置矢量Rt(t)和速度矢量Vt(t)。

式中，e1(t)、e2(t)和e3(t)為視線坐標系3個坐標軸方向的單位向量，即：

2.3 制導控制模型

側向指令采用自適應滑模制導律[7](ASMG)，攔截器側向指令過載應為：

式中：aMy(t)、aMz(t)分別表示攔截器縱向和橫向上的指令過載，N為導航比，k、η和δ為用來保證魯棒性的參數。

攔截器所受到的軌控力矢量可以表示為：

Fc(t)=(aMy(t)·e2(t)+aMz(t)·e3(t))·mK(t)

為了將控制力矢量與質心運動模型對應起來，對其做如下轉化：

Fcxh(t)=Fc(t)·ε1(t)

Fcyh(t)=Fc(t)·ε2(t)

Fczh(t)=Fc(t)·ε3(t)

式中，ε1(t)、ε2(t)和ε3(t)為航跡坐標系3個坐標軸方向的單位矢量，即：

那么，Fcxh(t)、Fcyh(t)和Fczh(t)即控制力矢量在航跡坐標系3個坐標軸上的投影。

2.4 質量模型

對于處于中段飛行的機動彈頭，其質量mt(t)可以表示為：

其中：Pt(t)為機動力矢量，m0t為機動彈頭的初始質量，It為機動彈頭的燃料比沖，t0為初始時刻。當機動彈頭不做機動時，其質量可以看作是不變的。

對于攔截彈，其質量mm(t)可以表示為：

mm(t)=∑mzi(t)+mk(t)

mzi(t)表示第i級助推火箭的質量：

其中：Pzi(t)為的推力矢量，m0zi為第i級助推火箭的初始質量，Izi為第i級助推火箭的燃料比沖，ti為第i級發動機開始工作的時刻。

mk(t)表示攔截器的質量：

其中：Fc(t)為攔截器的控制力矢量，m0k為攔截器的初始質量；Ik為攔截器的燃料比沖；tk為攔截器開始工作的時刻。

3 計算機輔助仿真分析

3.1 攔截場景設定

設預警系統探測到173°E，46°N處有一洲際導彈目標，初始地表高度為1 000 km，速度為6 000 m/s，彈道傾角為30°，彈道偏角為-90°，攔截彈陣地位于128°E，40°N處，采用順軌攔截方式對目標進行防御。

攔截彈的助推火箭參數參照“標準-3”的MK72發動機、MK104發動機和MK136發動機設定[8]，如表1所示。

表1 助推火箭參數表

表中，Δti=ti+1-ti表示第i級助推火箭的總工作時長。

攔截器參數參照“標準-3”的“LEAP”大氣層外輕射彈設定[9]，如表2所示。

表2 攔截器參數表

表中，dmax和dmin分別表示攔截器導引頭的最大探測距離和盲區，amax代表攔截器的飽和過載。

3.2 順軌攔截窗口計算

彈道導彈已摧毀既定目標為最終目的，在沒有遇到攔截的情況下不會主動進行機動，可以通過軌道外推的方法來求解發射諸元，對于順軌攔截彈道，只要使攔截器與目標的交會角Ψ滿足條件即可。

在攔截彈陣地位置已知的情況下，可以按照以下流程來計算攔截窗口：

STEP1：取足夠小的初始當地傾角Δθ，初始當地偏角Δφ和時間間隔Δt，建立基于已知部署位置的攔截彈空間可達集Λ；

STEP2：用同樣的時間間隔Δt，外推目標彈道τ；

STEP3：記初始時刻tp= 0 s，取空間點τ(tp)，判定攔截彈可達集中是否存在一點Λ(θ0,φ0,tf)同時滿足以下3個條件：

1)到τ(tp)的距離dp<1 000 m；

2)攔截彈飛行時間tf≤tp；

3)交會角90°≤Ψ≤180°。

STEP4：若可達集中存在滿足條件的點，計算攔截彈發射時間tl=tp-tf并儲存，令tp=tp+Δt，回到STEP3，若不存在，直接令tp=tp+Δt，回到STEP3；

STEP5：檢索至目標落地時刻結束。

計算當前場景的順軌攔截窗口，如表3所示。

表3 攔截彈道數據表

由表3可以看出，在當前場景中，順軌攔截窗口長度為96 s，目標彈道可攔截弧段的高度在260 km到452 km之間，相對交會速度約為5.5 km/s。另外，由于采用順軌攔截方式時，攔截彈的飛行時間隨著攔截時間的推移而增加，發射時間反而會提前，換而言之，攔截窗口的前沿對應著發射窗口的后沿，攔截窗口的后沿對應著發射窗口的前沿。

3.3 尋的制導過程仿真分析

選取攔截窗口中的一條順軌攔截彈道，研究末制導階段的攔截器過載情況，所選攔截彈道tl=506.89 s，θ0=73.78°，φ0=-149.17°，雙方的空間飛行軌跡如圖3所示：

圖3 順軌攔截空間示意圖

3.3.1 初始對準誤差

由于實際控制誤差的存在，雙方不可能嚴格按照理論彈道飛行，當目標進入攔截器的導引頭捕獲距離時，雙方的空間位置和飛行速度有可能嚴重偏離理論位置，故取目標和攔截器距離達到dmax時的位置矢量端點和速度矢量端點作為球心，分別在半徑為1 000 m和100 m/s的空間球體內隨機取點生成帶有誤差的位置矢量和速度矢量，作為末制導的仿真初值。

3.3.2 視線測量誤差

3.3.3 動力學約束條件

“標準-3”的攔截器“LEAP”彈頭采用噴流直接力控制，響應速度遠遠高于氣動力系統，控制精度可以達到0.01 s，仿真中采用兩個采樣周期作為動力學系統的延遲時間，為0.02 s[11-12]，此外，當目標與攔截器只見的距離達到dmin時，導引頭無法繼續提供視線轉率信息，將攔截器的指令加速度置零。

3.3.4 末制導過載分析

令目標的縱向機動力Ptyh=10 000sin(πt/2)N，橫向機動力Ptzh=10 000cos(πt/2)N，取制導參數N=3、k=2.1、η=0.5、δ=0.0 002 deg/s，得到視線轉率和攔截器過載的仿真圖線，如圖4和圖5所示。

圖4 視線轉率的仿真曲線

圖5 過載的仿真曲線

可以看出，由于初始對準誤差的存在，攔截器與目標之間存在較大的視線轉動，造成零時刻指令過載較大，橫向過載甚至接近飽和，隨著攔截器與目標的不斷接近，初始對準誤差因此的視線轉動逐漸被修正，目標的主動機動成為了造成視線轉動的主導因素，過載指令也隨之呈正弦型波動。

整個末制導過程中，縱向視線轉率被控制在±2×10-3rad/s之間，橫向視線轉率被控制在±1×10-3rad/s，雖然在最后受到目標機動的影響較大，但指令過載并未達到飽和。

3.3.5 命中率和剩余質量估計

采用蒙特卡洛方法[13]測試“標準-3”攔截彈在當前場景的攔截效果，重復打靶試驗100次，按照下式計算攔截器指令過載置零后的脫靶量：

可以得到零控脫靶量和攔截器剩余質量的分布如圖6所示。

圖6 蒙特卡洛打靶實驗結果

當脫靶量為5 m以下時，認為攔截器命中目標，讀取結果數據，可知“標準-3”攔截彈在場景中的命中率為89%，平均剩余質量為14.03 kg。

4 結論

本文基于美國的“標準-3”攔截彈的性能參數建立了數學模型，采用自適應滑膜制導律對大氣層外機動目標的順軌攔截過程進行了仿真研究，得到了以下結論：

1)采用“標準-3”攔截彈對大氣層外機動目標進行順軌攔截在時間和空間上是可行的，順軌攔截方法具有較高的工程實踐意義。

2)在考慮初始對準誤差，視線測量誤差，過載約束和動力學延遲的情況下，順軌攔截方法對正弦機動的目標具有較好的防御效果，命中率約為89%。

3)仿真實例中攔截器的燃料消耗約為2.7 kg，指令過載在大部分時段內高于25 m/s2，考慮到安全裕度，若想對大范圍強機動目標進行有效攔截，需要對現有攔截器的裝藥比和發

動機進行調整和改進。

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