江蘇省新沂市春華小學 吳新平
在小學數學教學中,開始引入除法時,是從把一個數分成若干等分引入的,也就是從平常所說的等分除引入的,之后再介紹所謂包含除法以及求縮小倍數的問題。但就數量之間的關系而言,除法是這樣的運算,即已知兩個因數積a與其中一個因數b,求另一個因數g的運算。用式子表示如下:
a÷b=g
上式中,a叫做被除數,b叫做除數,g叫做a除以b(或稱b除a)所得的商,符號“÷”叫做除號。
由除法的意義可知,a除以b,就是要求一個數g,使它與b相乘的積等于a,即:bg=a.
從上述關系可以看出,除法是乘法的逆運算。在數學中,除號有時用“÷”來表示,即把被除數放在除號的左邊,除數放在除號的右邊;有時用一條短的線段“/”來表示,即把被除數放在短的線段上邊,把除數放在短的線段下邊。這樣a除以b,就可以用兩種方法來表示:
a÷b=g 或 a/b=g。
1.如果被除數等于0,那么商也等于0。事實上,當 a=0時,a÷b=0,因為 b×0=0。
2.如果除數等于1,那么商就等于被除數。事實上,當b=1時,a÷1=a,因為a×1=a,這也就是說,用單位1除一個數時,則原數不變。
3.除數不能等于0,這是因為,如果b=0時,可以導致不定的結果。
1.某數除以一個數(0除外),再乘以同一個數,某數不變。寫成一般的式子是:(a÷b)×b=a.這里,我們設 a÷b=g,那bg=a,所以(a÷b)×b=gb=bg=a。
2.某數乘以一個數(0除外),再除以同一個數,某數不變,寫成一般式子是:(a×b)÷b=a.這里,我們設 a×b=m,那么m÷b=a,所以(a×b)÷b=m÷b=a。
有余數的除法,在實際計算中是大量的,對以后的學習也有幫助,所以在這里作一點理論上的論證。
有余數的除法,在數學教材中一般這樣定義∶整數a除以自然數b,如果能得到整數商g,使bg=a,就說b能整除a,或者a能被b整除,并用a/b來表示。如果a÷b不能得到整數的商,我們仍然把a叫做被除數,把b叫做除數。如果a最多含有g個 b,當 bg<a<b(g+1)時,這個整數 g叫做a除以b的不完全商,我們把這種除法叫做有余數的除法,寫成一般的式子可表示如下:a÷b=g(余 r)或 a÷b=g……r。在小學數學教學里常采用后一種表示形式。有余數的除法,可表示成如下的關系式:A=bg+r。
下面我們來論證在有余數的除法中,余數必小于除數,即在a=bg+r中,r<b。我們用反證法來證明。
假設 r≥b,r=b+rl(rl≥0)那么
A=bg+r
=bg+(b+rl)
=b(g+1)+rl
上式中,因為 rl≥0,所以 a≥b(g+1),但這和不完全商定義bg<a<b(g+1)相矛盾。由此可知r≥b是不對的,因此,r<b。下面我們再證明一下在有余數的除法中,不完全商和余數都是唯一的,即在a=bg+r(r<b)中,g與 r都是唯一的。
我們仍然用反證法來證明,即設g與r都不是唯一的,
于是我們就有a=bg1+r1(rl<b)。
但是我們已知a=bg+r(r<b),
所以 bg+r=bg1+r1,
于是得r-r1=bg1-bg=b(g1-g)。
這樣,就得到(r-r1)|b。
但 r1<b,r<b,所以 r-r1<b。
這樣,只有在r-r1=0時,r-r1才能被b 整除,就是 r=r1,
于是我們就有0=b(g1-g)。
因為除數b不能是0,
所以g-g1=0,于是就得g=g1
因此,在有余數的除法中,不完全商和余數都是唯一的。在a=bg+r中,如果余數r=0,那么a=bg,也就是說b能整除a,因此可以把整除看成是有余數除法的特例。
在前面,我們談除法的意義時,曾談到可借助于連減來幫助理解除法的意義?,F在從理論上加以論證。
設 a÷b=g……r,
也就是 a=bg+r(0≤r≤b),a-bg=r。
因為a-bg=a-(b+b+b+b+……)=r,
所以a-b-b-b-……-b=r。
從上面的式子可以看出,除法就是連減法,最后的差就是余數。有時差可能是零。
我們學過了乘法,也學過了除法。在乘法和除法中,已知數和未知數之間有如下的關系:在乘法中,一個因數等于積除以另一個因數。應用這種關系以及乘法的交換律,可以對乘法和除法進行驗算。
乘法可用乘法來驗算,即把兩個因數交換位置再乘一遍,如果兩次相乘所得的積一樣,說明計算結果是正確的。乘法也可以用除法來驗算。
除法可用除法來驗算,即拿被除數除以商(如果有余數,先從被除數里減去余數,再除以商),如果除的結果等于除數,就說明計算是正確的。除法也可以用乘法來驗算,即拿除數和商相乘,如果乘得的結果(如果有余數,還要加上余數)等于被除數,就說明計算是正確的。