梁-板單元模型在勁性骨架鋼筋混凝土拱橋仿真分析中的合理性研究

閆業祥，錢永久，謝效瑞

(西南交通大學 土木工程學院，四川 成都 610031)

有限元方法具有嚴密的理論基礎，對于線彈性分析，當有限單元的尺寸趨于零時，有限元解將收斂于精確解[1]，因此，有限元方法被廣泛應用于結構分析領域。有限元方法的誤差主要來源于離散誤差和建模誤差[2]，離散誤差和模型的數值求解有關，建模誤差主要取決于結構的仿真方式以及模型的網格劃分。

在勁性骨架鋼筋混凝土拱橋施工階段的仿真分析中，梁-板單元模型被廣泛使用[3-9]，即勁性骨架、拱上立柱、橋面系等采用梁單元模擬，拱圈外包混凝土采用板單元模擬，板單元的厚度一般根據拱圈全截面的面積和慣性矩確定。但是關于此種模擬方式的合理性研究尚少，文獻[10]對梁-板單元模型中的位移協調性進行了研究，但是所使用的結構并非實際的拱結構，而且用來驗證的實體單元也只是在局部使用。因此，梁-板單元模型的合理性尚待進一步分析。

勁性骨架可看作空間桁架結構，使用梁單元模擬一般可獲得足夠的精度，其中鋼管與管內混凝土組合后截面剛度的選取一般有3種方法[11]。對于拱圈外包混凝土，施工時一般采用分環分段不連續澆筑的方式，梁單元很難模擬該施工過程，因此宜使用板單元或實體單元進行模擬。雖然實體單元能準確地模擬拱圈的實際形狀，但建模相對復雜，而且該類橋型的施工階段分析也十分繁瑣，故不應采用實體單元對整個施工階段進行仿真分析。板單元建模簡單，計算效率快，如果計算精度滿足要求，可優先考慮。

本文以一座勁性骨架鋼筋混凝土拱橋的主拱圈為分析對象，采用多種模型互相驗證的方法，分別從結構的整體受力、局部受力和施工階段受力3方面分析梁-板單元模型的優缺點。通過分析勁性骨架鋼筋混凝土拱橋的建模誤差，研究梁-板單元模型在該類橋梁仿真分析中的合理性。計算時將鋼管混凝土看作一種材料，根據其應力應變關系選取組合彈性模量[12]。

1 工程概況

分析對象為一座上承式單跨勁性骨架鋼筋混凝土拱橋的主拱圈，全橋整體布置如圖1所示，各立柱間距均為21.2 m。主拱圈為懸鏈線無鉸拱，凈跨徑為260.0 m，凈矢高為50.0 m，矢跨比為1/5.2。主拱圈采用單箱雙室截面，各截面橫向等寬8.0 m，縱向等高4.5 m。兩側拱腳至第1根立柱間為變截面段，頂底板混凝土厚度由0.70 m線性變化至0.40 m，邊腹板厚度由0.55 m線性變化至0.30 m；拱圈其余部分為等截面標準段，頂底板厚0.40 m，腹板厚0.30 m。主拱圈橫截面如圖2所示。勁性骨架上下弦桿均由3根φ508 mm×16(24)mm的鋼管通過雙角鋼連接組成啞鈴形斷面。主拱圈采用C50自密實混凝土，勁性骨架采用Q345型鋼，并在鋼管內灌注C60微膨脹混凝土。

圖1 全橋整體布置 (單位：m)

圖2 主拱圈橫截面 (單位：mm)

2 有限元模型

2.1 拱圈整體模型

利用MIDAS/Civil建立梁-板單元模型，利用MIDAS/Fea建立梁-實體單元模型。2類模型中的勁性骨架均采用梁單元模擬，區別在于分別采用板單元、實體單元模擬拱圈外包混凝土。梁-板單元模型中，采用考慮剪切變形的四邊形板單元，根據全截面面積等效、整體豎向抗彎剛度等效的原則確定板厚，板梁單元共享節點。建立3種梁-板單元模型、2種梁-實體單元模型和1種單梁模型，以對拱圈整體受力行為進行比較分析。在梁-板單元模型中，板單元劃分為3種尺寸：模型A為0.5 m×0.5 m；模型B為1.0 m×1.0 m；模型C為2.0 m×2.0 m。梁-實體單元模型中，全部采用六面體實體單元，尺寸為0.4 m×0.4 m×0.4 m。實體單元與梁單元之間采用剛性連接以確保勁性骨架與外包混凝土協同工作。為了比較分析，分別建立模型D(1階實體單元)和模型E(2階實體單元)2種實體模型。在單梁模型(模型F)中，整個主拱圈采用梁單元模擬，并忽略勁性骨架中的角鋼連接系。如果所有模型的計算結果比較接近，則可認為實體單元的網格劃分是可靠的。由于實體單元能準確模擬結構的實際形狀，其結果可作為分析比較的標準。

計算分析時，所有模型均考慮2個荷載工況：工況1，跨中3根上弦鋼管分別作用大小為100 kN且豎直向下的集中力；工況2，自重。

2.2 拱圈局部模型

為了研究梁-板單元模型在拱圈局部受力分析時的合理性，從拱腳起沿拱軸線截取長度為20 m的局部拱圈為研究對象，分別建立5個懸臂模型：模型a(梁-板單元模型，板單元尺寸1.0 m×1.0 m)；模型b(梁-板單元模型，板單元尺寸0.5 m×0.5 m)；模型c(梁-板單元模型，板單元尺寸0.25 m×0.25 m)；模型d(實體單元模型，采用1階六面體單元，網格尺寸0.2 m×0.2 m×0.2 m)；模型e(實體單元模型，采用2階六面體單元，網格尺寸0.2 m×0.2 m×0.2 m)。在梁-板單元模型中，勁性骨架采用梁單元模擬，拱圈混凝土采用板單元模擬；實體單元模型中，勁性骨架中的角鋼連接系采用梁單元模擬，鋼管采用四邊形板單元模擬，尺寸為0.1 m×0.1 m，管內混凝土和拱圈外包混凝土均采用實體單元模擬。拱圈局部模型如圖3所示。各模型在拱腳端部固結，在懸臂端形心位置作用一個大小為2 000 kN、方向豎直向下的集中力，以及一個大小為500 kN·m、繞截面橫向形心軸的彎矩(下側受拉)。

圖3 拱圈局部模型

2.3 施工階段模型

為了確定梁-板單元模型在施工階段分析中的合理性，采用如下方法進行比較研究：取半跨勁性骨架主拱進行建模，分別在骨架2#立柱、4#立柱和跨中位置各澆筑一段外包混凝土，共3段6環，每段長度約4 m。采用2.1節中的梁-板單元模型C和梁-實體單元模型E，為了使計算結果更加精確，將實體單元的尺寸重新劃分為0.2 m×0.2 m×0.2 m。2類模型的施工步驟完全一致，共有7個施工階段，如表1所示。施工階段模型以及混凝土分段分環如圖4所示。

表1 施工階段劃分

圖4 施工階段模型和混凝土分環分段示意

3 拱圈整體受力行為對比分析

模型的自重與跨中撓度見表2?？芍?，除單梁模型外，梁-板單元模型和梁-實體單元模型的自重基本一致。由于實體單元能精確模擬拱圈的實際形狀，故實體模型的自重最為精確，并以此為基準。梁-板單元模型的自重計算誤差約為0.63%；單梁模型由于忽略了勁性骨架中的角鋼連接系，從而導致其自重偏小。在2種工況下，各模型的跨中撓度基本處于同一范圍。梁-板單元模型的跨中撓度偏大，其中板單元劃分最細致的模型A跨中撓度最大，模型F的跨中撓度最??；梁-實體單元模型的跨中撓度居中。因此，可以認為實體單元的網格劃分是合適的，并且實體單元能精確模擬拱圈截面的實際形狀和實際剛度，可作為計算結果的基準。另外，板單元的跨中撓度偏大，反應其整體剛度偏小，使結構軟化。在梁-板單元模型中，板單元尺寸越小，跨中撓度越大，而拱圈整體剛度越小。

表2 模型的自重與跨中撓度

為了對比各模型在計算主拱圈動力特性時的差別，給出其前10階振型的自振頻率見表3?？芍?，各模型的自振頻率基本一致，其中自振頻率最大的是模型F，最小的為板單元劃分最細致的模型A，而模型D和模型E的計算結果居中。

表3 模型自振頻率 Hz

多自由度系統的自振頻率為

(1)

式中：ωn為第n階振型的自振頻率；[K]和[M]分別為體系的剛度矩陣和質量矩陣。

根據式(1)可以看出，結構的自振頻率與體系的剛度矩陣與質量矩陣相關。在單梁模型F中，由于未考慮角鋼連接系，模型質量較小，但截面的剛度損失并不大，故自振頻率會相應提高。結合表2可知，模型A的剛度最小，質量與除模型F外的其他模型相近，故其自振頻率最小。

除了自振頻率外，各振型的參與質量系數也是評價結構動力特性的重要參數，它不僅可以用來判斷振型屬于哪個方向的平動振型或扭轉振型，而且能夠判斷該振型在結構總反應中的參與程度。各模型的第1階振型與第6階振型在主要方向的振型參與質量系數見表4，其中，x方向為拱圈縱向，y方向為拱圈橫向，表中未列出的方向表示振型參與質量系數為0?？芍?，各模型計算的振型參與質量系數基本一致，均表現出第1階振型橫向側彎、第6階振型縱向平動。

表4 各模型振型1與振型6主要方向的振型參與質量系數 %

根據表2—表4可知，板單元模擬拱圈外包混凝土得到的整體剛度最小，且隨著板單元劃分的細致程度而逐漸減小。究其原因，筆者認為在確定板單元厚度時采用了面積等效和豎向抗彎慣性矩相等的原則，且在計算板單元的面內和面外剛度時又采用了同一個厚度，造成其面內剛度比實際要小一些?？紤]到有限元方法中位移元解的下限性質[1]，且使用板單元計算的誤差不大，可以認為梁-板單元模型在模擬拱圈的整體剛度方面是合理的。

4 拱圈局部受力行為對比分析

根據圣維南原理選取離加載面最遠的拱腳截面進行計算結果的對比分析。拱腳截面鋼管正應力曲線見圖5，其中鋼管1-3為骨架上弦鋼管，4-6為骨架下弦鋼管?？芍?，各模型的計算結果基本一致，差別較小。一方面，說明梁-板單元共享節點的連接方式在傳遞應力方面是可靠的；另一方面，說明使用梁單元模擬勁性骨架是合理的。

圖5 拱腳截面鋼管正應力曲線

在梁-板單元模型中，鋼管梁單元與混凝土板單元通過共享節點的方式連接，這種連接方式只能保證二者在共享節點處保持位移與應力的協調性。在梁-實體單元模型中，鋼管采用板單元進行模擬，由于鋼管較薄，其單元尺寸比梁-板單元模型中的混凝土板單元尺寸要小很多，因此鋼管板單元與混凝土實體單元之間存在大量的共享節點。但是無論梁-板單元模型中的混凝土板單元劃分尺寸如何，其鋼管梁單元與實體模型中的鋼管板單元應力計算結果非常接近，因此可以得到上述結論。

拱腳截面混凝土拱軸方向應力曲線見圖6，橫坐標以拱圈截面中部為原點，向左為負，向右為正?？芍?，各模型均在截面的左右邊緣達到其最大拉壓應力，且其他位置的應力分布規律也基本一致。但是，梁-板單元模型的計算結果普遍比梁-實體單元模型小，以2階實體單元模型e的計算結果為準，在左右邊緣誤差達到最大。模型a的最大應力誤差約為13.4%，模型b的最大應力誤差約為14.4%，模型c的最大應力誤差約為18.8%，應力值相差0.3～0.5 MPa。另外，在梁-板單元模型中，板單元尺寸劃分越細致，其應力計算結果越接近實體單元。但是，對于模型b(板單元尺寸0.5 m×0.5 m)和模型c(板單元尺寸0.25 m×0.25 m)，二者與實體單元結果的誤差已非常小，說明在使用板單元模擬拱圈混凝土時，沒有必要將尺寸劃分的非常小。

圖6 拱腳截面混凝土拱軸方向應力曲線

在梁-板單元模型中，由于板單元與梁單元共享節點，所以模型的截面寬度等于勁性骨架兩側鋼管之間的中心距7.2 m，而截面的實際寬度卻為8.0 m。因此，板單元無法模擬拱圈混凝土的倒角與在鋼管處的挖空，但這些部位存在應力集中現象。與此相反，實體單元則能較精確地模擬存在應力集中的部位。但是與實體單元相比，板單元能夠獲得一個相對較好的應力計算結果，可以滿足工程上的精度需要。因此，忽略這些細節部位的影響，利用板單元計算速度快、建模簡單等優勢，既能節省時間又能保證計算精度。

5 拱圈施工階段受力行為對比分析

施工階段模型自重和拱頂撓度變化曲線見圖7。由圖7(a)可知，在施工初始階段與最終階段，2個模型的自重和拱頂撓度基本一致，但是在其他階段卻有較大偏差，在CS4施工階段誤差達到最大。原因是在確定板單元厚度時，依據的是整體截面的面積等效和豎向抗彎慣性矩相等的原則，但是實際施工時截面需進行分環，這樣就導致梁-板單元模型與梁-實體單元模型在激活外包混凝土的重量時出現了不一致，則截面剛度也不同。實體單元可以比較準確地模擬分環形狀，板單元則受到較大的限制，這樣就使得板單元在模擬外包混凝土的澆筑階段時出現一定的誤差。一種解決辦法是在確定相應的板單元厚度時，將面積等效定義為截面的分環面積相等、剛度等效定義為該環對原全截面橫向中性軸的慣性矩相等的原則。按該等效原則重新形成的拱圈全截面，仍能保證與原全截面的面積和豎向抗彎慣性矩相等。將依據該等效原則重新建立的模型稱為修正的梁-板單元模型，其拱頂撓度計算結果列于圖7(b)中，可以看出修正的梁-板單元模型撓度計算結果得到了很大改善。

圖7 施工階段模型自重和拱頂撓度變化曲線

在澆筑拱圈外包混凝土時，鋼管混凝土勁性骨架仍然作為主要的受力結構，因此需要保證模型計算的應力足夠精確。選取拱腳截面右側上下2根鋼管進行施工階段軸向應力分析，應力變化曲線見圖8?？芍?，修正的梁-板單元模型和梁-實體單元模型計算的鋼管應力基本一致，修正的梁-板單元模型能滿足工程上的應力精度要求。

圖8 施工階段拱腳截面鋼管應力變化曲線

6 結論

1)梁-板單元模型在主拱圈整體受力、局部受力和施工階段受力3方面具有良好的分析精度，其仿真方式是合理的。

2)利用梁-板單元模型進行施工階段分析時，對于主拱圈的關鍵部位(拱腳、拱-立柱連接部位)建議采用比較小的網格尺寸，其余部位可將尺寸適當增大。

3)利用梁-板單元模型進行施工階段分析時，應按截面的實際分環面積和該環對原全截面橫向中性軸的慣性矩相等的原則共同確定對應的板單元厚度。

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