容器勻加速運動狀態下液體大幅晃動的解析計算

張海濤　 孫蓓蓓

(1東南大學機械工程學院, 南京 211189)(2南昌大學機電工程學院, 南昌 330031)

液體晃動是一種常見的流體運動現象.在油氣儲運、航空航天等工業領域,液體晃動可能會對結構安全性和系統運動穩定性產生較大的影響,因此液體晃動特性分析及其抑制措施已成為工程實際中的重要問題.小幅線性晃動的研究起步較早,現已形成非常成熟的理論[1].而液體大幅晃動通常具有較強的非線性,運動形式趨于多樣化,研究難度較大.目前關于液體晃動的研究主要集中于大幅非線性晃動.

罐式車輛在啟動或制動過程中,慣性作用可能會引起液體產生大幅晃動,并對罐壁造成較大沖擊.Shahravi等[2]采用ALE有限元法和基于等效力學模型的多體動力學方法計算容器內的液體晃動,并對結果進行了比較，同時模擬了罐車在轉彎和加減速等工況下的晃動現象,分析了一些重要晃動參數的影響作用.Yu等[3]研究了罐車在急剎和急轉彎等危險工況下的行駛穩定性,討論了晃動力與罐體形狀、充液率和晃動固有頻率等因素之間的關聯性.尚春雨等[4]用Fluent軟件計算了容器做勻加速運動時的液面波動曲線.Nicolsen等[5]建立了一種可與多體系統相融合的新型拉格朗日連續介質晃動模型,其中液體位移和形狀改變的核心計算方法是有限元絕對坐標法.他們使用該模型分析了罐車在轉彎和減速等工況下的動力學行為和車輛穩定性.

容器勻變速運動引發的晃動現象與簡諧激勵或隨機激勵的受迫晃動有很大的不同.由于晃動的復雜性,學者們大多采用數值模擬方法計算該情況下的受迫晃動.數值方法計算結果較為準確,但計算耗時較長,且不易揭示出晃動非線性的內在機理.解析方法是一種傳統的非線性理論分析方法,通過尋求非線性微分方程組的解析近似解來探討系統的動力學特性.對于矩形容器內液體自由晃動和簡諧激勵下的受迫晃動,學者們已獲得了解析近似解[6].本文采用解析方法計算矩形容器在勻變速運動狀態下的液體大幅晃動,對自由液面波動和流體壓力的非線性項進行理論分析,并探討外部相關參數(加速度大小、充液率)變化對晃動非線性的影響.

1　數學模型

設定充液容器為矩形箱體,長為b,內部充有深度為h的液體(密度設為ρ=1 000 kg/m3).設定液體為無黏不可壓縮的理想流體,忽略表面張力的影響,采用勢流模型描述.假設在晃動過程中,自由液面的運動是連續的,即無翻轉、破碎等現象.設定容器在絕對坐標系下向右做勻加速直線運動,其加速度為β.建立充液容器的相對坐標系xoz,坐標原點設定為左壁面和靜止水平液面的交點,向右和向上為正方向.整體晃動模型如圖1所示.在相對坐標系下考慮液體晃動,得到如下方程組[7]:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中,φ為流體速度勢;ξ為自由液面波高函數,反映了各自由液面質點偏離靜平面的程度;g為重力加速度.式(1)為理想流體的連續性方程,式(2)、(3)為固壁邊界條件,式(4)、(5)為自由液面邊界條件.假設初始時刻液體和容器均靜止,自由液面為未擾動水平面,由此可得如下初始條件:

φ(x,z,0)=0,ξ(x,0)=0

(6)

對上述微分方程進行求解后,內部流體壓力p可根據如下表達式[8]進行計算:

(7)

圖1　充液容器大幅晃動示意圖

2　解析方法

首先對非線性方程進行無量綱化.對于液體晃動方程,一般選位移和頻率作為量綱參數,進行后續處理.然而勻加速激勵不同于簡諧激勵,沒有實際的位移量，所以定義如下虛擬振幅:

(8)

式中,a為虛擬振幅,為無量綱化而設定的,沒有實際意義;Ω1為液體線性晃動第一階固有頻率.由此可選取如下無量綱量:

(9)

并設定如下無量綱小參數:

(10)

(11)

采用基于變量分離的小參數法對無量綱晃動方程求解,設定近似解形式為

(12)

將式(12)代入無量綱晃動方程,令小參數ε同次冪系數相等,可將非線性方程轉化為一系列線性方程組.

首先考慮ε=0的情況,該零次方程組正是線性晃動方程,可采用分離變量法求解.根據線性晃動理論,其解的形式可設定為[7]

(13)

式(13)可滿足連續性方程和固壁邊界條件.同時,做如下傅里葉級數展開[7]:

(14)

根據線性晃動理論[8]可知,晃動第一階固有頻率對應的第一階反對稱模態對受迫晃動有顯著影響,后續奇數階反對稱模態的影響效果越來越弱,而偶數階對稱模態對受迫晃動沒有影響.在式(14)中,除直流分量A0外,其他偶數項系數均為零,進而可算出偶數階模態方程的解也為零,這與線性晃動理論完全相符.此處求解直流分量方程(解得速度勢函數和波高函數分別為-bt/2和0),以及第一模態和第三模態方程,根據式(13),將零次方程組的解近似表示為以上離散解的疊加，即

(15)

式中

(16)

其次,考慮ε=1對應的一次方程組,自由液面邊界條件分別為

(17)

(18)

(19)

式(18)表達式也與之類似.為了分離變量,可設定如下形式的解:

(20)

(21)

根據上述求解過程以及式(12),可將液面運動和流體速度勢解析近似解表示為

(22)

將解出的流體速度勢代入無量綱壓力表達式(11),即可求得晃動過程中的液體內部壓力.

3　計算結果與討論

作為一類重要的非線性分析方法,解析近似法能夠快速獲得計算結果,不僅能確定非線性系統的運動隨時間變化的規律,而且能夠得到運動特性與系統參數之間的依賴關系[9].根據已獲得的解析近似解,可進一步討論晃動非線性因素,并研究外部參數(加速度和充液率)變化對晃動非線性效應的影響.

3.1　基于解析解的一般性分析

為驗證該解析近似解的準確性,在如下算例中將數值解與解析近似解做對比,其中數值解采用文獻[10]的方法計算.設定b=2 m,h=1 m,β=3 m/s2,代入晃動模型.圖2(a)顯示了2種方法獲得的左壁處自由液面波高函數的時間歷程,圖2(b)顯示了2種方法獲得的左壁底部的液體壓力變化時間歷程.通過比較可看出,數值解和解析解符合程度較好,說明該解析解是比較準確的.隨著時間的增加,兩者之間存在著一定的相位偏差.Frandsen[7]對液體自由晃動的解析解和數值解做比較時,也發現了類似的現象.他認為,如果采用更高次數的解析近似解,相位偏差將會減小.

(a) 左壁液面波高函數時間歷程比較

(b) 左壁底部流體壓力時間歷程比較

勻加速運動下的受迫晃動與簡諧激勵作用下的受迫晃動有很大的區別.由圖2(a)可知,容器做勻加速運動時,左壁處自由液面質點在振動過程中總是位于靜止水平面上;而在簡諧激勵作用下,液面質點的位移可能會高于或低于靜止水平面.此外,圖2(a)顯示振動周期約為1.7 s,對應圓頻率為3.7 rad/s,與線性晃動第一階固有頻率(Ω1=3.76 rad/s)非常接近.可見對于容器勻加速運動引發的受迫晃動而言,其液面質點的振動形式比較單一;而在簡諧激勵受迫晃動下,液面質點的振動與外激勵頻率極為相關,可能會引發拍振和共振等現象[10].

表1　波高函數各非線性項的最大振幅

從表中可以看出,僅由第三模態解生成的第2項非常微小,幾乎可以忽略不計;第3項和第4項由第一模態解和第三模態解相互耦合作用生成,它們的波動幅度較為接近.因此,左壁自由液面波高函數的非線性部分主要由第1項、第3項和第4項構成,其中第1項占主導地位.

人類身體的運動屬性是與生俱來的能力，體育行為是后天生存活動中的經驗與總結。體育既是來源于人類潛在的本能需求，又是人類對身體健康的內在需求，體育搭建起主體尋求強蠻體魄與自由存在的橋梁，在人類本性抒發中完成自身肉體的解放。體育發揮主、客體關聯的中介作用來彰顯主體的姿態?！霸谌祟惖淖匀恍枨笾?，體育運動是一種尋求生存平衡的身體本能”[9]。生命的平衡要求人類內在向度達到精神滿足與肉體需求的統一，外在尺度保持實踐行為與自然開發的相互和諧。體育運動在人類的頑強精神中彰顯軀體的健碩體態，在人類的本能行為中呈現出自然的動物屬性，在順應人類肉身本質的同時獲取精神的自由。

圖3　左壁底部流體壓力非線性項時間歷程

(23a)

(23b)

3.2　加速度對晃動非線性的影響

(24)

可見,波高函數ξ的非線性項與加速度平方成正比.設定參數b=2 m,h=1 m,加速度分別為β=3.0, 4.5 m/s2進行計算.計算結果顯示,隨著加速度的增大,左壁面波高函數非線性項的函數形狀未發生變化,但其數值擴大了2.25倍,這與理論分析的結果一致.

對流體壓力做類似分析可知,非線性項同樣與加速度平方成正比.綜上所述,加速度的改變將對晃動非線性效應產生顯著影響.

3.3　充液率對晃動非線性的影響

(25)

分析可知,當h/b>0.7時,其函數曲線的斜率接近于零,即充液率的增加僅使得固有頻率Ω1發生微小的變化.因固有頻率幾乎不變,故解析近似解也基本上保持不變.當0.5

設定充液率h/b分別為0.4,0.5,0.75和1.0,計算相應左壁液面波高函數的非線性項,計算結果如圖4所示.圖4顯示,h/b=0.75和h/b=1.0的函數圖像非常接近;盡管充液率僅減小了0.1,h/b=0.4與h/b=0.5的函數圖像有明顯區別,流體的減少加強了晃動非線性效應.事實上,充液率過低，更偏向于淺水晃動,其晃動動力學特性愈加復雜,解析解不一定適用.

(a) 較高充液率

(b) 較低充液率

4　結語

采用解析方法計算了勻加速運動狀態下二維矩形容器內的液體大幅晃動問題,研究了自由液面波動和底部流體壓力的非線性特征,并討論了加速度和充液率變化對晃動非線性效應的影響.通過與數值計算結果的對比,可以看出解析近似解的精度較高.后續分析結果顯示,左壁自由液面波高函數非線性部分的第1項(即僅由第一模態解生成的非線性項)為其主要影響成分;對于左壁底部流體壓力非線性部分,其時間項為主要影響成分,“雙峰”現象由流體壓力線性部分和非線性部分共同作用形成.自由液面波高函數與流體壓力的非線性項與加速度的平方成正比.當充液率較大時,充液率的變化對晃動非線性影響較小,而當充液率較小時(h/b<0.5)時,充液率的減小使得晃動非線性效應增強.

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