聲波多次往返疊加對相位比較法測量聲速的影響

李 軒,方錦江，單桂曄,b，高志華,b

(東北師范大學a.物理學院;b.物理學國家級實驗教學示范中心(東北師范大學),吉林 長春 130024)

聲速測量是大學物理實驗的基本題目，對學生深入理解振動疊加和駐波的相關理論知識以及聲音傳播的衰減現象有著重要作用． 駐波法和相位比較法是大學物理實驗中測量聲速的常用方法[1]. 駐波法是利用聲波在發射器和接收器之間形成駐波，首先測量相鄰波腹的間距得到波長，進而結合信號頻率得到聲速；相位比較法則將接收器的接收信號視為行波，利用聲波相位隨傳播距離而滯后現象，通過比較接收器接收信號和發射器的發射信號的相位，測量出接收器接收信號的相位變化2π時移動的距離得到波長，進而得到聲速． 目前，關于駐波法測量聲速存在的問題已有較多研究，如：由于聲波在傳輸過程中存在衰減使得接收器的接收信號振幅極大值隨著收、發換能器間距增大而變小，且最小值不為零[2-4]；由于聲波在收、發換能器間發生多次反射使得接收到的信號振幅極大值產生強弱交替分布的現象[5-6]；另外，研究還發現接收器接收到的信號為聲壓信號而不是振動信號[7]． 由于相位比較法利用兩路信號同相或反相時李薩如圖形合成一條直線段，通常被認為該方法測量聲速更加準確[3-4]，目前對于相位比較法測量聲速實驗存在的問題研究較少． 實驗中發現，得到的李薩如圖形變化規律與理論預期并不一致，尤其當收、發換能器間距較小時，兩信號合成的直線段在一個象限內會連續多次出現． 這對判斷兩信號的同相和反相狀態造成嚴重影響，使得聲速測量誤差較大． 本文通過理論計算研究了聲波的傳輸衰減、換能器表面反射系數以及聲波在收、發換能器之間往復反射次數對聲速測量的影響．

1 相位比較法測量聲速原理

利用相位比較法測量聲速裝置如圖1所示．將信號發生器的信號分別輸入示波器X輸入端和發射換能器，當信號頻率達到超聲換能器共振頻率時，換能器輻射聲波最強． 接收器接收超聲波聲壓信號并將其轉換為電信號輸入示波器的Y通道，在示波器中可以觀察到兩信號合成的李薩如圖形，由于兩信號頻率相同，因而李薩如圖形為橢圓． 通過改變接收器的位置可改變接收器信號的相位，從而得到不同的李薩如圖形． 理論上，當兩信號的相位差為2kπ時(同相)，合振動軌跡在一、三象限形成一條直線，當兩信號的相位差為(2k+1)π時(反相)，合振動軌跡為二、四象限的一條直線，其中k為整數，連續2次同相或反相對應接收器的移動距離為1個波長λ．

圖1 相位比較法測量聲速原理圖

n=0,1,2,…

(1)

n=0,1,2,…

(2)

其中，A0為信號最初振幅，λ為聲波波長，ω為角頻率. 聲場中各處的振動為

(3)

根據聲學理論可得到各處的聲壓波動方程為[8]

(4)

其中ks為空氣的絕熱體變彈性模量． 李薩如圖形的軌跡為

(5)

2 計算結果與分析

相位比較法測量聲速,發射器和接收器信號合成的李薩如圖形為橢圓． 當兩信號的相位差為kπ(同相或反相),橢圓的短半軸為0；當兩信號相位差為(2k+1)π/2時，橢圓的短半軸最大，式中k取整數． 隨著兩信號的相位差變化橢圓短半軸經歷極大-極小-極大的周期性變化． 為了清楚地描述李薩如圖形隨接收器位置的變化的周期性，采用橢圓短半軸描述兩信號的相位差變化的周期性, 圖2為兩信號振幅相同時橢圓短半軸與兩信號相位差數值的對應關系，其中,圖2(a)為合成橢圓的短半軸隨接收器位置變化曲線，當短半軸為0時，對應兩信號同相[圖2(b)]或反相[圖2(c)]; 當短半軸取值極大時，對應兩信號相位差為π/2的奇數倍圖2(d)． 圖2中收、發換能器間距采用實際距離除以波長表示，即D/λ．

圖2 橢圓短半軸與相位差對應關系

2.1 接收器接收的聲壓信號模擬分析

超聲聲速儀的發射器和接收器由壓電陶瓷制作而成. 發射器利用壓電材料的逆壓電效應，壓電陶瓷環片在交變電壓作用下，發生縱向機械振動，在空氣中激發超聲波，把電信號轉變成聲信號. 接收器利用的是壓電材料的壓電效應，空氣振動使壓電陶瓷環片發生機械形變，從而產生電場，把聲信號轉變成電信號. 由于學生對超聲換能器比較陌生，對聲換能器的接收信號也缺乏了解，很多學生誤認為超聲聲速儀的接收器接收到的空氣分子的振動信號． 當不考慮換能器轉換信號所造成的延遲，根據式(4)可知，聲壓信號比振動信號的相位滯后π/2, 為了直觀地表明這種差異，模擬了無傳輸衰減的聲波振動信號、有傳輸衰減振動信號和有傳輸衰減聲壓信號分別相對于發射信號的相位差隨收、發換能器間距增加的變化規律，衰減系數取為α=0.02 dB/mm[6]，信號頻率設為40 kHz，結果如圖3所示． 可見，傳輸衰減不能改變信號的振動周期，雖然接收器處的聲壓信號和空氣分子振動信號存在相位差，但兩信號的周期性完全相同，因而利用聲壓信號測量聲速是合理的．

圖3 聲壓信號與質點振動信號對李薩如圖形影響

2.2 信號往復傳播疊加次數對李薩如圖形的影響

利用相位比較法測量聲波波長時，示波器X輸入信號為發射器的輸入信號x(0,t)，Y輸入為接收器的聲壓信號，由于聲波的傳輸衰減，接收器的聲壓信號p(x,t)的振幅隨著接收器與發射器的距離增大而逐漸減小. 若保持示波器信號各通道的衰減不變，則兩信號同相和反相時觀察到直線段隨著收、發換能器間距增大，長度將逐漸減小，與水平軸夾角逐漸減小，這些不會引起測量誤差． 然而，實驗發現，接收器和發射器間距在λ內出現的同相和反相的次數之和多于2，如圖4所示，其中圖4(a)～(e)為同相，圖4(f)～(i)為反相． 在接收器移動1個波長李薩如圖形接近直線的情況出現9次，這與理論分析矛盾，分析造成這一現象的原因，可使學生避免實驗測量出現錯誤，加深學生對波的疊加規律的理解.

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

(g) (h)

(i) (j)圖4 相位比較法測量聲速實驗現象

根據式(3)～(4)可知，當n取不同值時，聲壓信號是由振幅不同的正弦和余弦函數相加得到，其合成的李薩如圖形隨接收器位置移動變化復雜. 不同往復疊加次數n的取值對合成李薩如圖形的影響如圖5所示. 圖5中列出n=0,n=1和n=7時橢圓短半軸隨收、發換能器間距增加的變化情況． 傳輸衰減系數取為20 dB/m，反射系數取0.8.

圖5 反射次數對李薩如圖形的影響

比較圖5中3條曲線可知，當接收器位置一定，隨著n增加，合成橢圓的短半軸極大值逐漸增大，這是由于信號往返次數越多，到達接收器的能量越大，而往返次數越少，到達接收器的信號能量越少． 另外，當計入的往返次數足夠多時(N=7)，在收、發換能器間距較小時(小于λ/2)，橢圓短半軸的數值在極小值附近出現多次反復，與圖4所示現象相一致. 隨著收、發換能器間距增大，這種現象逐漸減弱消失． 可見，由于聲波信號在收、發換能器間多次往返，使得合成的李薩如圖形變化復雜，反射次數越多對實驗影響越大． 因此，利用相位比較法測量聲速時，可采取措施減少聲波在收、發換能器間反射次數，測量時避開收、發換能器間距較小的位置．

2.3 換能器表面反射系數對李薩如圖形的影響

由于超聲換能器的制作材料、使用狀況不同，表面的清潔和光滑程度存在差異，因而對聲波的反射系數不同． 反射系數決定了信號多次往復疊加的能量大小，因而影響李薩如圖形形狀． 圖6列出了換能器反射系數分別為0.6，0.8和1.0時，橢圓短半軸隨收、發換能器間距的變化，圖中α=20 dB/m,n=7．

由圖6中可知，隨換能器表面反射系數增大，接收器接收信號能量增強，橢圓短半軸極大值逐漸增大，這有利于實驗觀測；對于不同換能器表面反射系數，橢圓短半軸極大值出現的位置相同；當收、發換能器間距較小(小于λ)時，換能器表面反射系數越大，接收器信號與發射信號同相或反相狀態連續出現的現象越明顯，且維持的空間范圍也越大，隨收、發換能器間距增大該現象逐漸消失． 可見，換能器表面反射系數大使得李薩如圖形變得復雜，不利于實驗測量，為避免同相和反相狀態連續出現的現象，可采取措施適當減小換能器表面的反射系數，使其既能有效反射聲波又能避免此現象的影響，另外，避開收、發換能器間距較小的區域進行測量也是有效方法．

圖6 反射系數對李薩如圖形的影響

2.4 聲波傳輸衰減對李薩如圖形的影響

聲波在介質中的傳輸衰減包括介質的吸收衰減和由于聲波發射產生的幾何衰減，實驗中由于收、發換能器間距較小，且兩換能器采用正對的方式，因此，可忽略聲波的幾何衰減． 空氣吸收衰減系數越大，接收器接收的疊加聲波信號幅值越小，在相同的收、發換能器間距上，反射次數越多幅值越小，合成的直線段長度極大值和傾角隨著收、發換能器間距改變而改變． 圖7列出了當α分別取1,10,20 dB/m時合成橢圓短半軸隨收、發換能器間距的變化情況． 為方便比較，將10 dB/m 和20 dB/m曲線做了向上平移．此處β=0.8，n=7．

圖7 反射系數對李薩如圖形的影響

由圖7可以看出，當聲波傳輸衰減系數較小(1 dB/m)時，兩信號同相或近同相和反相或近反相連續出現的現象更明顯，且保持的空間范圍更大，這對會造成學生對實驗現象的誤判. 當接收器位置一定時，聲波傳輸衰減系數越大，合成橢圓短半軸極大值越小，李薩如圖形越小，因此不利于實驗信號觀測，通過調節示波器的信號衰減倍數，可使圖形變大利于觀測． 隨著收、發換能器間距增加，上述現象逐漸消失，但是由于聲波信號衰減，李薩如圖形會變小，也不利于實驗觀測． 可見，聲波傳輸衰減有利于降低連續出現的同相和反相現象，但也會造成李薩如圖形變小不利于觀測． 為了獲得適合實驗觀測的李薩如圖形，一方面應適當選擇對超聲吸收不太強的介質，另一方面，避開收、發換能器間距較小的區域進行觀測．

3 結 論

通過計算發射器、接收器信號合成的橢圓短半軸，研究了造成相位比較法測量聲速實驗中，連續多次出現同相或近同相和反相或近反相現象． 研究表明:收、發換能器之間的往返疊加次數越多、聲波在換能器表面的反射系數越大和傳輸衰減越小，在收、發換能器間距約小，該現象越明顯，反之越弱． 研究還表明:各因素不影響合成信號的同相和反相出現的周期性． 另外，理論計算證明了利用超聲換能器接收聲壓信號進行相位比較法測量聲速的合理性．

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