一種新型類偏心圓非圓齒輪設計及其應用

葉 軍 陳建能 趙 雄 孫新城 夏旭東 高奇峰

1.浙江理工大學機械與自動控制學院，杭州，3100182.浙江工業職業技術學院機械工程學院，紹興，3120003.浙江省種植裝備技術重點實驗室，杭州，310018

0 引言

偏心圓非圓齒輪節曲線簡單、加工方便，在非勻速傳動系統中得到了較為廣泛的應用[1-4]。陳明等[5]設計了一種由兩對偏心圓非圓齒輪副驅動的葉片差速泵，并根據非圓齒輪副的封閉條件、泵體結構參數及葉片轉角關系，得到了偏心圓非圓齒輪副節曲線。范素香等[6-7]設計了由偏心圓非圓齒輪和偏心圓變位非圓齒輪組成的傳動機構，以確保偏心圓非圓齒輪副在傳動過程中的齒側齒隙不變，并采用齒條包絡的方法得到非圓齒輪的齒廓。俞高紅等[8-9]將偏心圓非圓齒輪應用于一種高速水稻插秧機旋轉式分插機構，并通過優化插秧軌跡和姿態，來滿足高速水稻插秧機前插式作業要求。王英等[10]通過偏心圓非圓齒輪與橢圓齒輪組合,設計了一種偏心-橢圓齒輪行星輪系栽植裝置。

一般偏心圓非圓齒輪副節曲線形狀是由偏心距和半徑兩個參數決定，可調參數少。筆者曾提出一種高階變性偏心共軛非圓齒輪，并推導了該齒輪節曲線方程，雖然增加了變形系數和階數兩個參數，提高了傳動特性優化的靈活性，但還是不能很好地滿足一些特殊情況的傳動比變化要求[11]。為此，本文在偏心圓切線極坐標方程基礎上，構造一種新型類偏心圓非圓齒輪節曲線方程，并建立了該類非圓齒輪的凹凸性判斷和弧長計算模型，分析了其傳動特性，同時編寫了輔助設計及運動仿真軟件，并應用于臥式枕形包裝機橫封機構的設計以更好地滿足包裝袋橫封的工藝要求。

1 一般偏心圓切線極坐標方程

圖1所示為一般的偏心圓曲線，半徑為R，其圓心O在定直角坐標系O1XY上的坐標為(e，b)。選取偏心圓曲線上任意點B，作B點的切線t，并從轉動中心O1作垂線交于切線t于N點，線段O1N的長度為P，O1N與X軸正方向夾角為θ，點B到O1的距離為r1，根據切線極坐標的定義，P與θ之間的函數關系即為一般偏心圓切線極坐標方程[12]。為了獲得偏心圓非圓齒輪節曲線方程，設轉動中心與圓心之間連線O1O與X軸正方向夾角為γ，并通過O點作O1N的垂線交于E點。

圖1 一般偏心圓曲線Fig.1 The general eccentric curve

根據幾何關系得到

P=R+O1E

(1)

O1E=O1Ocos(γ-θ)

(2)

(3)

tanγ=b/e

(4)

根據式(1)～式(4)，可以得到偏心圓切線極坐標方程為

P(θ)=bsinθ+ecosθ+R

(5)

使用極坐標表示方法，一般偏心圓曲線的方程為

(6)

式中，φ1為偏心圓曲線的極徑r1與X軸的夾角。

從上可以得出：該偏心圓曲線的切線極坐標方程(式(5))相對于極坐標方程(式(6))的表達方式簡潔明了。

2 類偏心圓非圓齒輪構造

2.1 類偏心圓非圓齒輪節曲線方程

在偏心圓切線極坐標方程基礎上，在余弦函數與正弦函數上增加冪指數k、l，構建一種新型的非圓齒輪，稱之為類偏心圓非圓齒輪，其主動輪節曲線切線極坐標方程為

P(θ)=bsinkθ+ecoslθ+R

(7)

由式(7)可知，P是以θ變化2π為周期的周期函數，因此由該方程構成的曲線是封閉的。

為了計算與類偏心圓非圓齒輪共軛的非圓齒輪節曲線方程，需將主動輪切線極坐標方程通過下式轉化為直角坐標方程或者極坐標方程：

(8)

(9)

(10)

式中,μ為類偏心圓非圓齒輪主動輪節曲線的極徑與該點切線的夾角。

將式(7)的節曲線方程代入式(8)、式(9)或者式(10)可以求得唯一的r1(φ1)。

由非圓齒輪副傳動原理可知,從動非圓齒輪節曲線方程為[2]

(11)

式中，a為類偏心圓非圓齒輪副中心距。

要使從動非圓齒輪節曲線封閉，由

(12)

可以求出中心距a，最終代入式(11)可得到與類偏心圓非圓齒輪共軛的非圓齒輪節曲線方程。

2.2 類偏心圓非圓齒輪的凹凸性判斷與弧長計算模型

2.2.1凹凸性判斷模型

根據范成法加工非圓齒輪齒廓的要求，主從動非圓齒輪節曲線應保持凸性，因此必須對節曲線的凹凸性進行校驗。

類偏心圓非圓齒輪節曲線采用切線極坐標表示，因此將式(8)對θ進行求導，得

(13)

設類偏心圓非圓齒輪節曲線的弧長用L表示，它是θ(0≤θ≤2π)的單調增函數，則該類節曲線的曲率半徑ρ1可表示為

(14)

將式(7)代入式(14)可以得類偏心圓非圓主動輪無內凹的條件：

b(1-k)sinkθ+e(1-l)coslθ+bk(k-1)sink-2θcos2θ+
el(l-1)cosl-2θsin2θ+R>0

(15)

與類偏心圓非圓齒輪共軛的從動輪節曲線上各點的曲率半徑ρ2可以由歐拉-薩伐里公式求出[11]，其公式為

(16)

由式(10)、式(11)、式(14)可得類偏心圓非圓從動輪無內凹的條件:

(17)

2.2.2弧長計算模型

若類偏心圓非圓齒輪節曲線的弧長用L表示，則由曲線弧長公式可得

(18)

(19)

當P(θ)=-P(θ+π)時，可以求出L=2πR。

3 類偏心圓非圓齒輪傳動特性分析

3.1 正弦參數對類偏心圓非圓節曲線的影響

類偏心圓非圓齒輪節曲線切線極坐標方程由正弦函數與余弦函數兩部分組成，其傳動比的變化主要取決于這兩個部分的參數變化。余弦函數與正弦函數的相位角相差90°，因此只討論正弦函數對類偏心圓非圓節曲線的影響。

當e=0和主動輪角速度為ω=1 rad/s時，類偏心圓非圓齒輪節曲線只有正弦函數部分組成，根據類偏心圓非圓齒輪節曲線切線極坐標方程，可知當k=1時即為標準的偏心圓非圓齒輪表達式。選取不同的冪指數，令k=1、2、3，b=2 mm，R=12 mm，可以得到類偏心圓非圓齒輪節曲線、傳動比變化曲線以及從動輪的角加速度曲線，如圖2～圖4所示。由圖2、圖3可知，不同的冪指數k對類偏心圓非圓齒輪的傳動比有不同的影響，k=2時傳動比的周期增加一倍并且具有對稱性，但傳動比的最大、最小值也相應減半；由圖4可知，當k=3時傳動比曲線在一個周期中最大、最小值附近的角加速度變化大。

1.k=1 2.k=2 3.k=3圖2 不同的冪指數k的類偏心圓非圓齒輪節曲線Fig.2 The pitch curves of the new generalized noncircular gears with different power exponent k

圖3 不同的冪指數k對應的傳動比i21曲線Fig.3 The transmission ratio curves i21 with different power exponent k

圖4 不同的冪指數k對應的從動輪的角加速度曲線Fig.4 The angular acceleration curves of the driven gears with different power exponent k

選取不同的偏心距，令b=2，4，8 mm，k=2和R=12 mm，可以得到類偏心圓非圓齒輪節曲線、傳動比變化曲線以及從動輪的角加速度曲線，如圖5～圖7所示。由圖5～圖7可知，類偏心圓非圓齒輪節曲線的偏心距變化與偏心圓非圓齒輪節曲線的變化是一致的，都可以使得傳動比的變化范圍增大，角加速度也相應變大。

1.b=2 mm 2.b=4 mm 3.b=8 mm圖5 不同偏心距的類偏心圓非圓齒輪節曲線Fig.5 The pitch curves of the new generalized noncircular gears with different eccentricities

圖6 不同偏心距對應的傳動比i21曲線Fig.6 The transmission ratio curves i21 withdifferent eccentricities

圖7 不同偏心距對應的從動輪角加速度曲線Fig.7 The angular acceleration curves of the driven gears with different eccentricities

3.2 不同組合的冪指數對類偏心圓非圓齒輪節曲線影響

由3.1節可知，類偏心圓非圓齒輪節曲線方程中冪指數不同對傳動比影響較大，因此當取不同余弦和正弦函數冪指數參數時，可以得到不同的傳動比變化規律。通過以下具體的實例進行比較。

令b=2 mm、e=2 mm、R=12 mm，分別選取不同組合的冪指數k=1、l=1，k=2、l=1，k=3、l=1，k=3、l=2，k=3、l=3，可以得到類偏心圓非圓齒輪節曲線、傳動比變化曲線及從動輪角加速度，如圖8所示。

(a)類偏心圓非圓齒輪節曲線

(b)傳動比變化曲線

(c)從動輪的角加速度1.k=1,l=1 2.k=2,l=1 3.k=3,l=14.k=3,l=2 5.k=3,l=3圖8 不同的冪指數組合的類偏心圓非圓齒輪傳動特性Fig.8 The transmission characteristics of the new generalized noncircular gears with different power exponent

從圖8中可以發現，類偏心圓非圓齒輪傳動比變化曲線仍然保持偏心圓非圓齒輪的對稱性質，但傳動比曲線出現了多樣性，呈現多種變化的規律，如當k=3、l=2時，類偏心圓非圓齒輪傳動比在前半段基本保持不變，在轉角為150°～200°區間，呈現正弦變化規律，并且在此區間內加速度變化比標準偏心圓非圓齒輪快。

綜上可知，類偏心圓非圓齒輪節曲線切線極坐標方程包含了標準偏心圓非圓齒輪節曲線表達式，可以說是偏心圓非圓齒輪的一種廣義定義。通過對類偏心圓非圓齒輪節曲線參數進行選擇，可以滿足更多、更廣的傳動特性要求。

4 輔助分析軟件編寫及應用

4.1 輔助分析軟件編寫

根據第2節建立的類偏心圓非圓齒輪設計和分析數學模型，利用MATLAB編寫了可視化的類偏心圓非圓齒輪輔助設計及運動仿真軟件，如圖9所示。

圖9 類偏心圓非圓齒輪設計與仿真軟件界面Fig.9 The new generalized noncircular gear design and simulation program interface

該軟件根據輸入參數R、e、k、l、b，可求得中心距a和各種類偏心圓非圓齒輪的節曲線，同時可計算出傳動比、角速度及角加速度等，并可進行凹凸性判斷。根據輸入參數的變化可實時地計算并且輸出參數和運動學曲線，同時進行類偏心圓非圓齒輪的運動模擬。

在計算過程中，利用式(12)計算類偏心圓非圓齒輪中心距a是一個積分過程，本軟件中采用數值積分法得到一個近似解，基于變步長、牛頓-柯特斯法，采用MATLAB中quadl函數來求定積分[13]。在計算時，首先給定一個中心距a的初始值，并且給定精度，通過迭代法的思想逼近并且求出中心距a的近似值。

4.2 應用

4.2.1橫封機構的工藝要求

臥式枕式包裝機屬于接縫式包裝機，集制袋、裹包、封口、切斷等功能為一體。其中橫封機構是封口的重要執行機構，其性能好壞直接影響到包裝產品的質量[14]。橫封工藝主要由對滾封切器完成，被加熱的封切器在轉動過程中壓向包裝袋中間間隙，包裝袋被熱封，與此同時封切器中切刀切斷包裝袋，使其成為獨立包裝袋,具體運動過程如圖10所示。

1.對滾封切器 2.包裝袋圖10 臥式枕形包裝機橫封運動過程Fig.10 The transverse seal movement of horizontal pillow packaging machine

對滾封切器旋轉一周可以分為空程區、封切區及退讓區，其工藝要求如下：①在封切區時，要求勻速或近似勻速轉動，使封切器線速度與包裝袋輸送的速度相等;②在空程區時，速度盡量快，以提高效率；③在退讓區時，封切器切斷包裝袋后需加速退讓，以保證具有一定包裝高度的物品通過對滾橫封器并保留空隙?？梢?，封切器在一個周期內是做不等速運動的，傳統的橫封機構中常采用偏心圓、偏心鏈輪或者雙曲柄搖桿機構等實現不等速運動[15-16]。

4.2.2滿足橫封機構工藝要求的類偏心圓非圓齒輪設計

類偏心圓非圓齒輪驅動橫封機構(圖11)，運動過程為包裝袋由左往右運動，對滾封切器相對滾動，封切器處在中間位置時切斷包裝袋，具體如圖12所示。根據橫封器與包裝袋運動速度同步可得

(20)

式中，v為包裝袋運動速度；ω為類偏心圓非圓齒輪主動輪角速度；L2為對滾的封切器中心距；i21min為類偏心圓非圓齒輪傳動的最小傳動比。

1.類偏心圓非圓齒輪副 2.傳動齒輪 3.對滾封切器圖11 類偏心圓非圓齒輪驅動的橫封機構Fig.11 The transverse seal mechanism with new generalized noncircular gear

圖12 橫封機構運動分析圖Fig.12 The motion analysis of this transverse seal mechanism

設所需的包裝高度為h，由幾何關系可以得到

β=α+arccos[(L2-h)/L2]

(21)

式中，β為橫封器由切斷位置到離開位置的轉角；α為橫封器邊緣和中心線的夾角。

為了使包裝袋能順利通過橫封器并保留合理間隙，需要讓封切器退讓區轉角滿足以下條件：

(22)

式中，φ1=0處為對滾封切器速度最小位置；l2為被包裝物離切斷邊緣距離。

(23)

將設計參數代入式(21)、式(23)，得到該型橫封機構的類偏心圓非圓齒輪傳動比最小值i21min=0.679 1，橫封器由切斷位置到離開包裝物的轉角β=43.55°。

根據設計要求，給定類偏心圓非圓齒輪參數R=30 mm，對該新型橫封機構的類偏心齒輪參數進行優化設計。

(1)目標函數建立。根據上文可知，橫封器從切斷位置到離開包裝物的退讓區轉角越大，能包裝的物品越高，因此優化的目標函數為

(24)

其中，φ1=0時對滾封切器速度最小。

(2)約束條件。節曲線應該是凸的，即節曲線的曲率半徑ρ1>0，ρ2>0；為保證熱封、切斷時勻速或近似勻速轉動，類偏心齒輪傳動比最小值i21min=0.679 1。

(3)優化結果。根據設計要求，選取類偏心齒輪參數的取值范圍如下： 0≤b≤10 mm、0≤e≤10 mm,運用MATLAB中的fmincon優化工具箱中的函數尋找類偏心齒輪驅動的橫封機構的優化目標函數的最大值。選取不同冪指數得到優化結果,如表1所示。

表1 不同冪指數的類偏心齒輪優化

設類偏心圓非圓齒輪節曲線參數R=30 mm、b=5.68 mm、e=5.67 mm、k=3、l=3，通過數值計算得到中心距a=60.13 mm，i21min=0.679 2，橫封器退讓區轉角為52.47°,大于β。根據式(19)計算得到主從動輪弧長L=60π，因此選取主從動齒輪模數m=2 mm，得到主從動齒數Z=30，建立齒輪副齒廓，得到該齒輪嚙合圖見圖13。

圖13 臥式枕形包裝機類偏心圓非圓齒輪副及其節曲線Fig.13 The new eccentric noncircular gear pair and its pitch curve in the transverse seal mechanism

如果采用其對應的傳統偏心圓非圓齒輪節曲線參數(R=30 mm、b=0.19 mm、e=5.53 mm、k=1、l=1)，橫封器退讓區轉角為41.10°，小于β，不符合設計要求。優化后的類偏心圓非圓齒輪與偏心圓非圓齒輪的傳動特性對比如圖14所示。

1.偏心圓非圓齒輪傳動比 2.類偏心圓非圓齒輪傳動比圖14 優化的類偏心圓非圓齒輪與偏心圓傳動特性Fig.14 The transmission characteristics of new optimal eccentric noncircular gear and eccentric noncircular gear

對比兩個非勻速齒輪的傳動比曲線可以得出類偏心圓非圓齒輪運用在臥式枕形包裝機上有以下優勢：①相比于偏心圓非圓齒輪，該類偏心圓非圓齒輪在退讓區具有較快的加速度，能夠讓更高高度的物品通過橫封器，適用于更多物品包裝;②類偏心圓非圓齒輪傳動比變化規律靈活，能夠更好地滿足其他的熱封、切斷工藝要求。

5 結論

(1)提出了一種類偏心圓非圓齒輪節曲線，推導出了該類非圓齒輪副主從動輪的節曲線方程。

(2)采用切線極坐標表達方式，類偏心圓非圓齒輪節曲線及其共軛的非圓齒輪節曲線表達式簡潔，凹凸性判斷和弧長計算模型簡單。

(3)相比于一般的偏心齒輪,類偏心圓非圓齒輪具有更好的設計靈活性，可滿足更多的非勻速傳動特性要求。

(4)將該類型非圓齒輪用于驅動臥式枕形包裝機橫封機構，更好地滿足了橫封工藝要求。

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