基于數學文化觀的“數列的概念”教學實踐與思考*

江蘇省常熟市滸浦高級中學 (215512)

殷偉康

數學是一種文化，已逐步成為數學教育工作者的共識.美國著名數學家莫里斯·克萊因認為“數學文化應該包括兩個方面：作為人類文化子系統的數學文化，它所涉及的是數學與其他文化、與整個文明的關系；另一方面就是數學本身作為一個文化系統，它的發生、發展及其結構.”筆者認為：數學文化作為一種基本的文化形態，是屬于科學文化范疇的，從系統觀點看，數學文化是一個以數學學科體系為核心，以數學思想、精神、知識、方法、技術、理論等所輻射的相關文化領域為有機部分的具有強大精神與物質功能的動態系統.從物質形態上看，“數學本身就是文化”，是以數學學科和數學發展為背景，以數學課程和數學教學為載體所展現的文化.從意識形態上看，“數學文化”是指蘊涵在數學知識形成過程中的觀點、信念、態度和方法，是比數學成果更有價值的內容.著力構建數學文化的課堂，讓學生通過經歷、體驗、感悟、欣賞與交流的數學活動，沐浴“數學文化”的陽光，潛移默化地接受數學文化的感染和熏陶，產生數學文化的共鳴，逐步提高學生的數學素養和數學文化修養，讓數學課堂煥發出生命的活力.那么，如何使數學文化從理念走進課堂，真正融入到學生的數學學習之中？筆者以“數列的概念”為例，闡述數學文化觀下的數學教學實踐與思考.

一、以史引趣，激發探究

情境1 數列3，6，12，24，48，96，192，…，這是一個非常平常的一列數，普魯士天文學家提丟斯運用它作一個運算：在這組數據前加上“0”得到“0，3，6，12，24，48，96，192，…”然后每個數加上4后，再將每個數除以10，得到一列數0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0，16.9，…(這一列數中的后一個數與前一個數之差組成新的一列數0.3，0.3，0.6，1.2，2.4，4.8，6.9，…)再把這一列數和太陽到各行星的距離作比較，得到了下面結論：(單位為天文單位)

行星距離類別水星金星地球火星？木星土星？……實際距離0．390．721．01．52？5．29．5？……計算距離0．40．71．01．62．85．210．019．6……

觀察表格，發現第二組數與太陽距離六大行星的實際距離有密切聯系，提丟斯就是利用這個表格預言了天王星的存在.1781年發現的天王星，證實了提丟斯的猜想，它到太陽的距離為19.2個天文單位(19.2接近于19.6),使人們對提丟斯定則更加確信無疑.觀察上表，是否在距離太陽約為2.8個天文單位的區域內存在尚未被發現的行星？根據這一猜測，天文學家們開始在此區域內尋找.1801年意大利天文學家比亞茲，果然在這個距離發現了谷神星，它與太陽的近似距離為2.7個天文單位.天文學家利用行星與太陽之間的距離與這一數列的變化規律，運用數學的聯想和合情推理而研究發現了谷神星.由此可見，通過對這一組神奇的一列數的研究揭開了宇宙運行的神秘面紗.

設計意圖：教師注重開發數列概念教學中的文化資源，運用科學史上的真實故事，能極大激發學生學習數列的興趣熱情，從而為學好數列這一章奠定了情感基礎，激發了探究的欲望.

二、以史為鑒，創設情境

情境2 古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在沙灘上畫點或用小石子表示數.他們研究過三角形數(如圖1)：1，3，6，10，15，…；類似地(如圖2)：1，4，9，16，25，…被稱為正方形數.

相繼的三角形數之和為正方形數，類似地，相繼的正方形數之和為金字塔數1，5，14，30，55，….(用PPT展示畢達哥拉斯學派的成果，其中三角形數和正方形數在數學史上稱為“形數理論”，古代數學家用“形數理論”推導或證明了許多公式.)

圖1 圖2

情境4 某種細胞，如果每個細胞每小時分裂為2個，那么每過1小時，1個細胞分裂的個數依次為1，2，4，8，16，….

情境5 常熟市2015年2月16日至20日的全天最低氣溫(單位：攝氏度)依次是1.1，-1.2，2.3，-0.4，-0.8.

情境6 從1984年到2016年我國共參加了9次奧運會，各次參賽獲得的金牌總數依次為15，5，16，16,28，32，51，38,26.

設計意圖：古希臘畢達哥拉斯學派崇尚“萬物皆數”，并將數與圖形結合研究，通過介紹古希臘畢達哥拉斯學派的三角形數與正方形數，讓學生了解數學的歷史與切身體驗數學家的思考過程，感受數學文化的熏陶.展現數學知識生成的文化背景，是數學教學過程的自然流露，使學生體會到其中的趣味性、文化性和思想性.

三、辨析探究，建構概念

問題1 請同學們觀察上面的幾組對象，這些對象有什么特點？

問題2 從數的角度分析這幾組對象描述的語言中有何共同特點？如何表述？

設計意圖：通過觀察、討論、質疑與交流，讓學生歸納出數列概念——按照一定次序排列的一列數稱為數列.在數列概念形成過程中，讓學生感覺概念的生成自然而然，水到渠成.

問題3 1，2，4是數列嗎？它與數列4，2，1是同一數列嗎？

問題4 數列與我們學過的哪一個數學概念很像？它們一樣嗎？能總結出二者之間的區別嗎？

設計意圖：引導學生對集合與數列進行辨析，集合中的元素具有互異性，數列中的數可以重復，而集合中的元素不可以重復；數列中的項是數，而集合中的元素可以是數，也可以不是數；數列中的數是有次序的，而集合中的元素具有無序性.通過學生的判斷、辨析，加深對數列概念的理解.

四、類比探究，深化概念

問題5 給定一個數列，應能夠指明第一項是多少，第二項是多少，……，每一項都是確定的，即指明項數，對應的項就確定．所以數列中的每一項與其項數有著對應關系，這與我們學過的什么有密切關系？

問題6 你能用直觀的方法表示情境3、4中的數列嗎？它還有哪些表示方法？

問題7 分別利用列表、圖像、公式表示同一個數列.這三種表示法的共同特征是什么？都涉及哪些量，它們之間有什么關系？

問題8 數列是函數嗎？你能說出為什么嗎？函數的要素是什么？類比函數可知，數列{an}中，什么相當于函數的自變量？什么相當于函數的因變量？

設計意圖：三種表示方法都反映了項與序號的對應關系，即數列中項的序號n與an是逐一對應，符合函數的最顯著的特征——單值對應，由此可猜想數列是函數，顯得自然而然、水到渠成.引導學生類比映射和函數知識來研究數列.

設計意圖：逐步揭示數列是函數的實質，數列通項公式可看作是相應函數的解析式，從而將數列概念成功納入到函數的概念體系中去，深化對數列概念本質的理解.

問題10 如圖3所示的三角形圖案稱為謝賓斯基三角形.在下面4個三角形圖案中，白色的小三角形的個數依次構成一個數列的前4項，請寫出這個數列的一個通項公式.

圖3

問題11 設初始等邊三角形面積為1，白色三角形表示除去的面積，分別求出上述4個三角形圖案中黑色三角形的面積和周長，若面積和周長分別構成數列{bn}、{cn}，請寫出這二個數列的一個通項公式.

問題12 觀察數列{bn}和{cn}的變化趨勢，你能得出什么結論？

設計意圖：1951年波蘭數學家謝賓斯基創造了一個美妙的藝術品“謝賓斯基三角形”.取一個實心的正三角形，三邊中點的連線將它分成四個小三角形，去掉中間的那個小三角形，對其余的小三角形重復以上步驟.以上步驟可以不斷重復，無限進行下去，得到的圖形的面積趨于零，而它的周長越趨近于無窮大(即小圖形的數目趨于無窮，作為小圖形的邊的線段數目趨于無窮).

五、教學反思，感悟提升

數學文化具有極強的內在邏輯性、歷史發展的延續性和廣泛的外部聯系，教師要善于挖掘數學史料中有關數學概念的獨特文化背景，利用數學概念的背景或者產生的曲折歷程，對數學史料進行再加工，將其融入數學概念教學之中，使數學課堂教學更具數學魅力.

1.融入數學文化，激發探究欲望

“數列的概念”作為章節的第一課，更多地承載著傳遞數學文化的重任，有效地融入數學史料，營造濃郁的數學文化氣息的課堂氛圍，能以豐富的數學文化給學生以美的享受和啟迪.因此，筆者以提丟斯數列引入課題，讓學生感覺數學的神奇，原來浩瀚的宇宙處處存在著數學規律，有利于激發學生探究欲望.這樣的課堂引入不僅直接引入課題，而且蘊涵豐富的數學文化元素，使數學課堂更具有濃厚的數學味道.問題情境設計要關注數學文化背景，挖掘文化資源，如情境2介紹了古希臘畢達哥拉斯學派研究成果：三角形數與正方形數(平方數)，并適當進行拓展，相似地，將平方數列相繼求和，則可得到金字塔數，使學生了解這些數列背后更深刻的文化意義，并從數學家身上看到富有啟發的數學思想、創新意識和理性精神.從而進一步激發學生探究的興趣，提高數學思維的能力.

2.凸顯數學文化，彰顯數學本質

特級教師俞昕認為：在一定意義上，個體數學認識過程具有與數學文化發展的相似性．因此，可以從數學文化曲折的發展路徑去洞察數學學習的本質，為此課堂教學要凸顯數學文化，挖掘數學知識中蘊含的數學文化和探究知識過程中蘊含的數學文化現象.在探究數學概念形成與發展過程中，要揭示數學概念中蘊含的數學思想、方法和觀點，展示數學概念中數學文化背景，才能更好地促進學生對數學概念本質的理解和領悟.如通過對問題6-8的探究，引導學生類比研究函數的方法來研究數列，有利于學生辨清數列與函數的關系，領悟數列概念的本質，并掌握運用類比思想研究問題的方法.

3.滲透數學文化，提升數學素養

數學史是從一個側面反映了人類文化史，又是人類文明史的重要組成部分.對數學史料中的有關數列問題進行有效地選擇、重組、加工，結合知識的邏輯順序和學生的心理發生順序，設計成符合學生認知水平和可探究的問題情境.如對情境2和問題10-12的探究，引導學生對畢達哥拉斯學派研究的各種多邊形數以及經典的謝賓斯基三角形進行探究，引領學生接受數學文化的洗禮與熏陶，感受數學的文化價值．引導學生對數學史中的數列問題進行探究，這不僅是一種教材的“二次開發”，更是一種數學文化的有效滲透，有利于提升學生的數學素養．

基于數學文化觀的課堂教學理念是：從“傳授數學知識”走向“傳播數學文化”，從數學文化的視角出發，結合學情，運用數學史的有效融入方式，對教材進行“二次開發”，嘗試“重構式”教學方法，將數學文化的精髓依附在數學知識發生、發展的過程之中.因此，在教學中，要注重創設以數學史料為背景的問題鏈，引導學生進行探究，再現數學歷史原貌，展示數學概念的發生、發展過程，讓學生在獲得知識的過程中，體驗其中蘊含的思想方法，促進學生去感悟和建構數學新概念，同時讓學生經歷數學文化的熏陶，提升學生數學文化修養和數學素養.

[1]俞昕.平凡中閃耀出數學的本質——賞析一堂常態課“數列的概念與簡單表示法”[J]．中學數學教學參考,2015(3)：12-13．

[2]殷偉康.構建數學文化課堂的思考與實踐[J]．數學教學研究,2012(1)：2-5．

[3]吳進，殷偉康.問題引領 誘發探究 促進建構——數列的概念教學實錄與反思[J]．中學數學月刊,2015(9)：34-37．

[4]袁芹芹.從“數列的概念”教學談數學課堂中的德育教育[J]．中學數學月刊,2014(6)：13-14．