安徽省樅陽縣宏實中學 (246700)
周 勝 江保兵
在數學解題的過程中,簡潔、高效的解法一直是數學學習者追求的目標.一道試題,一個簡潔的解法會使我們眼前一亮,而不按套路出牌的“巧解”更使得我們備感興奮與快樂.“巧解”是對問題本質、內在客觀規律的深刻揭示,巧妙展現.“巧解”是怎么想到呢?如何去想?本文通過幾個案例,歸納幾種常見“巧解”思維的入口點,供大家參考.
例1 從1、2、3、4、5、6六個自然數中任取5個組成無重復數字的五位數,求所有五位數的和.
總之有a1×104+a2×103+a3×102+a4×101+a5(ai∈{1,2,…,5,6},i∈(1,2,…,5))就有相應的(7-a1)×104+(7-a2)×103+(7-a3)×102+(7-a4)×101+(7-a5).
評注:本例巧解來自試題結構的對稱性.從對稱性考慮,是巧解思維的一個入口點.
析解:考試中心給出的答案是:利用f(x)=sinx+tanx為奇函數的性質可知,當等差數列{an}關于0對稱(即a14=0)時必有f(a1)+f(a2)+…+f(a27)=0.所以當k=14時,f(ak)=0.這樣的解行嗎?不行.這只是結論成立的充分條件,而不是必要條件!但在應試中,它確實是一個無可替代的巧解.
下面給出必要性的證明:假設a14>0,則f(a14-13d)+f(a14-12d)+…+f(a14)+…+f(a14+12d)+f(a14+13d)>f(-13d)+f(-12d)+…+f(0)+…+f(12d)+f(13d)=0.
同理,假設a14<0,則f(a14-13d)+f(a14-12d)+…+f(a14)+…+f(a14+12d)+f(a14+13d) 綜上:當k=14,a14=0時,f(a1)+f(a2)+…+f(a27)=0,反之,逆命題也成立. 評注:本題解法又一次看到對稱性的威力.f(x)=sinx+tanx為奇函數且為單調增函數的特點為我們的巧解提供了天然的土壤. 例3 某班進行乒乓球比賽.選手甲獲勝的概率為0.6,選手乙獲勝的概率為0.4.比賽采用5局3勝制,求選手甲獲勝的概率. 兩種解法都正確嗎? 分析:解法1是無疑正確的.解法2乍一看正確,它直觀,好懂.仔細一想,好像又是錯誤的:5局3勝制中不一定非要比賽5場.如果連勝3場,后面不用再比賽了.但計算的結果又是一樣,這到底是怎么回事? 至此,我們終于明白了:這2種解法本質是一樣的.從問題的實際意義來考慮,對于P(3)=p3= 例4 選派5位老師去A、B、C三地支教,每地至少派一位老師,其中甲不派往A地的概率為( ). 評注:本題如果運用常規做法,不僅運算量較大,而且讓人難以理解.而此巧解關鍵是抓住了概率的本質,充分利用古典概型的“等可能”,可謂“四兩撥千斤”. 例5 (2015年安慶市重點中學聯考) (1)求曲線C的方程; 圖1 評注:本題如果按照常規的解幾方法處理,其運算量過大.而上述巧解通過深刻的洞察題意,運用四點共圓的知識,不僅簡化運算過程,而且突出了試題的本質. [1]吳振奎.幾個數學問題的巧解.中等數學.[J].1987(3). [2]單墫.我怎樣解題.[M].上海:哈爾濱工業大學出版社,2013. [3]波利亞.怎樣解題.[M].上海:上海教育出版社,2001. [4]羅增儒.數學解題學引論.[M].西安:陜西師范大學出版社,2008.