江蘇省蘇州第十中學 (215006)
陸 崢
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若k1+k2=0,求實數k的值.
這是2016年浙江省高中數學競賽試題,筆者研究發現,此題內涵豐富,對于問(2),從特殊到一般,從之和到之積,從橢圓到雙曲線拋物線等諸多方面都可引申拓展,并且所得結論非常優美,現整理如下,供同行參考.
將問題一般化,可得如下命題:
注:上述證明過程中,假設直線方程為x=ty+c,在應用韋達定理過程中將x-c換成ty,使得運算量大大減少.
受解題一般化方法引導,將橢圓上點P再一般化,有
證明與命題1類似,從略.將斜率之和為0變為一般的常數λ,則有
將命題3中的b2換為-b2,則得
命題3、4、5,可統一為如下定理:
考慮到將條件中斜率之和改為之積,通過探究,得
注意到拋物線的離心率為1,于是上面的命題6、7、8有可統一為如下定理: