數學活動經驗對于數學理解的影響研究

孫 利，馬曉燕

(泰山學院 數學與統計學院，山東 泰安 271000)

1 研究背景

1.1 問題的提出

義務教育數學課程標準(2011版)提出：“課程內容的選擇要貼近學生的實際，有利于學生體驗與理解、思考與探索，學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程，獲得基本的數學活動經驗”，通過學習使學生“獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”.對于數學活動經驗的內涵，馬復[1]、史寧中[2]、張奠宙[3]、孔凡哲[4]等做了研究，都強調經驗在“做”中獲得重視了數學活動經驗積累的策略，孔凡哲[5]、單肖天[6]、仲秀英[7]、黃翔[8]等研究了數學活動經驗在具體的課堂教學中的價值，通過關注數學活動來把課堂教學變成學生自主學習、探索實踐、合作交流的過程，實現教師與學生、學生與學生的多向互動過程，把新的數學經驗、知識納入學生原有的認知結構之中，生成新的“圖式”，形成“工具性理解”(斯根普，Richard.Skemp，英)，但對于在數學活動中所形成的“活動圖式”[9]對數學思維的發展、數學活動經驗在“解釋性理解、探究性理解”[10]中的作用，強調的還不夠，同時，對于數學活動經驗在培養數學核心素養中的作用研究還不多.為此，研究者結合自己的實踐就數學活動經驗的積累對于數學理解的作用提出建議.

1.2 問題研究的理論依據

情境認知理論(Situated Cognition)認為意義正是在實踐和情境脈絡中加以協商的，知識的學習是動態的信息的編碼、組織與建構.萊夫(J·Lave，美)和溫格(E.Wenger)對構成情境學習的要素進行了精辟的研究，重視了“社會實踐與生活”、“合法參與性”與“實踐共同體”等要素，強調要有共同的目標，借助于媒體工具、利用資源在實踐活動中完成任務，以積累共同的經驗、知識基礎、形成假設，以及各自應承擔的責任.赫欽利(Hutchins，美)等人提出了分布式認知(Distributed Cognition)的概念，突出認知過程中主體和環境以及所有參與認知活動等要素在積累數學經驗的價值作用，突出學習情境、交流和資源共享、學習共同體、人文精神的重要性.

數學活動是一個組織經驗領域的活動[11]，數學活動能夠根據問題對象的視覺組合結構、概念特征結構、關系網絡結構，能對問題的表層結構和深層結構的仔細觀察和解析，使得數學知識分解和簡化為基本的知識單元、組塊，對數學對象的意義的表征進行整理、重組、改造，激活與數學問題關聯的經驗和圖式，促進圖式的調整和重組.

數學活動經驗的積累是一個生態式的孕育過程，取決于數學情境下的個體與環境交互狀態，數學知識是數學認知活動中積累、生成和建構起來的一種認知經驗.通過體驗與探索、感悟與討論、交流與反思等思維活動，來進行思維加工、建立新舊知識的動態聯結，通過判斷、運算、推理、證明等重新解釋和表征，生成和構建意義，對知識進行較為科學、合理的表征[12]，達成意義的共識[13]，使之成為個人“圖式(schema)”的部分.

2 積累數學活動經驗的策略

數學活動將客觀事實通過觀察、體驗、抽象、概括、符號化等思維活動，轉化為已知或已經解決的問題[14]，“生成”(維特羅克，M．C．Wittrock，美)、內化和積累數學活動經驗.數學活動經驗始終伴隨著問題的提出、問題的解決的過程，數學活動經驗是學生個體在經歷數學活動的基礎上獲得的經驗，是學生經歷數學活動的過程與結果的有機統一體[15]，是一種情境化的、生成性的過程性知識[16].數學活動經驗積累的過程是數學認知結構中淺層次的具體操作活動經驗向高層次的數學思維轉化的，在操作活動與思維訓練的過程中，數學的知識點通過數學活動經驗把相關知識點的聯結形成知識鏈，使數學認知結構得到改組和完善，理解數學本質，體會和領悟活動中蘊含的數學思想、數學方法，形成數學核心素養(圖1).

圖1 積累數學活動經驗的思維模型

2.1 聯系學生的生活經驗

在學生熟悉的環境中開展數學活動，通過操作、思考、討論、交流，實現多種感官協同操作活動，從具體到抽象，經歷觀察、比較、類化、抽象、概括、強化、形式化、檢驗等“圖式化”過程，讓學生基于認知現象在認知主體和環境間分布的特點，抓住數學對象的“水平成分”(特萊弗斯，Treffers&哥弗里，Goffree)，有效積累數學活動經驗，抽象得出數學概念，檢驗假設，增強學生在數學活動中的感受和體會.

例如，在平行四邊形的教與學中，教師通過用多媒體展示生活中的場景，如庭院的竹籬笆墻、電動伸縮活動門、活動涼衣架等圖片，學生交流、舉例、思考、討論.學生結合已有的經驗觀察圖片、動手根據定義畫出平行四邊形，猜想、歸納：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.

學生通過相互交流和溝通，相互討論和爭辯，積累關于平行四邊形概念的經驗，促進個體新舊經驗的鏈結，提出有價值的數學問題，發現蘊含在其中的數學規律，形成關于平行四邊形的假設和推論，這樣，可以使學習者充分借助于直觀想象充分喚起自己原有認知結構中的相關經驗去同化平行四邊形的概念，實現對平行四邊形的自我發現、組織編碼、運用和理解，體察其中的數學底蘊，從而形成更合理、更加完善的理解(圖2).

2.2 開展和諧的數學活動

在和諧的學習環境里，以師生實驗、活動、對話交流、討論等方式，實施小組合作學習，學生伴隨著積極地情感體驗，學生有思索的，有查閱資料的，有向別人求教的，有找筆記的，搜尋的數量關系、空間形式及彼此之間的內在聯系，交流自己所提取的數學信息，選擇和調動起相稱的認知圖式，把課程的數學知識轉變成自己積累的活動經驗，展現概念或意義的生成，數學符號表征的過程，有效地生成對客觀對象的認識，獲得經驗、知識、方法和能力，驗證推導過程和獲得答案，使數學學習成為有意義的學習(圖3).

圖2 生成數學意義的思維過程

圖3 建構數學性質的思維過程

在數學活動中，每個學生都密切聯系自己的原有經驗，利用各種認知工具和認知信息資源來找到與原有經驗聯系的固著點，把三角形全等抽象為數學范疇中的“垂直成分”，建構新概念或賦予概念新的意義，建立與其他知識點的縱向或橫向聯系，使得新舊知識形成網絡[17]，達成解釋性理解[10]，使得自己能夠提煉和歸納判定三角形全等的方法.

2.3 設計專門的數學活動

個別的概念一定要融入與其他概念合成的概念結構中才有效用(R.Skemp)，學生只有對他自己那種親身的經歷，感悟和發現的事物的過程才會有真正的意義的理解.讓學生通過數學活動思考，學生能根據收集的有效信息資料，熟悉所要收集的問題信息，明確收集相關的數學方法，對學習素材進行適當的加工、改造、提煉和補充，模擬問題的情境結構或發生過程，喚醒他們自己的原有經驗，提出可探究的問題，制定出較合理的探究計劃，觀察發現、探索，暴露知識的動態發展過程，由自己思考、親身探究的體驗，猜想一些結論，和原有的經驗更容易的聯系或有更強的碰撞，逐漸產生一個更具有豐富的知識鏈、更具有凝聚力的經驗網絡，建立雙向產生式和產生式系統[9]，獲得探究性理解(圖4).

引領學生從具體典型的生活例子著手，體會“如何做思維活動”，發現共性屬性、歸納概括二次函數的概念，提煉數學思想方法，把握數學的本質，感悟數學知識是學生自己應用的過程中發現和歸納的.

2.4 創設恰當的數學問題情境

教師給學生創設有利于研究真實數學問題的活動(情境)，為學生的學習搭建合理的“腳手架”，給學生創造機會反省和再認自己已有的思維方式，促進學生現有認知水平向潛在認知水平躍進[18]，用最有效的方式向學習者傳遞知識(Bebnar等，1991)，促進學生對數學內容產生豐富聯想和深入理解.學生通過多種形式的觀測、實驗、調查、查閱文獻、觀看影視資料、個案追蹤分析和上網查詢等，根據活動觀察到的情況提取數學信息，分析、整理、表征、交流，自己找準重點、難點問題先行深入探究，研究問題的結構，提出推理或搜尋結果產生的原因、或猜想得到結論，逐步積累合理的數學活動經驗并關聯相關的認知結構，生成“過程性知識”，進而對它產生領悟和生成意義[19]，體會分類、模型、轉化等重要的數學思想(圖5).

例如，在《有理數加法》的教與學中，教師基于學生的原有認知經驗，讓學生幫助家庭記錄一月的生活收支賬目，收人記為正數，支出記為負數，進行“拋錨”設計.計算當月的總收入、總支出、總結余以及每日平均支出等數據，體驗生活中運用有理數加法法則解決問題的思維方式，培養理性精神，增強自己的責任感.

圖4 生成數學原理的思維過程

圖5 形成數學思想方法的思維過程

伴隨著學生通過對條件與結果的分析和其他學生的釋疑，學生通過數學活動自主探究，猜測有理數加法的運算法則，使得學生從感性的具體運算得到抽象的運算法則，對有理數的運算法則有更清晰的理解，思維過程、結構也得到完善.經過實踐、探究、討論、交流，生成歸納異號有理數的加法法則，也可以用準確的數學語言表述推理證明過程.

3 數學活動經驗在數學理解中的作用

數學理解體現在如何描述對象的涵義以及與之相關的要素的區別和聯系，數學活動經驗在幫助學生理解和解答問題、提供有意義的方式表達解題和向他人描述其解答方法時，起著十分重要的作用[20].學生根據已有的認知經驗，在數學活動中把已有經驗和新知識有機地組織起來，自然地的生成認知策略，用自己的語言對所學知識進行解釋、表達，經歷關系表征、構建知識的活動體驗，獲得該對象的圖式[9].學生經歷“實驗操作發現——歸納概括猜想——證明應用結論”整個學習過程，并根據所學的數學知識，進行判斷、運算、推理、證明，在課堂上展示成果、交流共享，使得問題結構清晰明朗、研究有效，使得學生形成知識網、方法串、思維鏈，使得思維活動容量和學習效果達到了最優化.教師作為學生學習進程的監控者，要細心地引導，巧妙地點撥，使得學生從數學的視角觀察、方法思考、語言表達等層面達成對現有的知識進行加工、改進、革新和創造，使之向有利于意義學習的建構發展[13]，并產生新的認識、新的方法、得出新的結論[17].

3.1 生成知識

數學情境中的知識(經驗)、學習過程和學習者的身份都是生成性的[21]，在輕松、愉快、和諧、有針對性的數學活動中，真正激活了學生的知識經驗的聯結點，使得學生生成了新的經驗，學生提升了學力[22]，明晰了各知識之間的聯系[23]，嘗試使用合適的方法對得到的經驗進行過濾、篩選、處理，重新編碼、組織和鏈接，生成更豐富、更具強有力聯系的、更有凝聚力的知識結構.基于數學知識的內在聯系、結構化和網絡化、學生的思維水平，學生在“做數學”的學習過程中提煉出來的新的數學經驗，把當前學習內容所反映的知識盡量和自己原有的經驗相聯系，并對這種聯系加以理性的分析、思考，使得聯系與思考的過程與小組學習中的協商過程(即交流、討論的過程)結合起來，提升學生建構意義的效率、質量[21]，“聯系”與“理性”是意義構建的關鍵.

例如，在“方差”的教學中，從參加奧運會射擊選手選拔的確定，思考問題的解決方法，就結果進行質疑共同討論.由小組成員進行角色扮演，再進行模擬來決定最后方案的合理性. 此時，老師應進行各組的巡視，適時的提供指導或協助，以提取信息、數據處理、構建模型、進行推斷、獲得結論.

在這過程中，學生認識平均數、方差的意義和應用價值，學會如何和別人合作、如何表達自己的意見、如何用數學語言和他人溝通等等.

3.2 誘發高層次數學思維

數學活動抓住數學思維的本質屬性，體驗“知道怎么做”、“知道為什么這樣做”的價值，用了哪些數學方法、數學思想，如何提升學生的緘默知識結構，使得學生從不同的策略研究問題，不同的意見或觀點在一起碰撞、協商，想法和思路得以明確化和外顯化，對知識的理解更具生成性[17]，理解也更加全面和深刻，讓不同層次的學生各有所獲，共同發展，使學生的個人知識更牢固、更清晰[24]，使得數學知識高度結構化、網絡化．

例如，如圖6，BC為⊙O的直徑，AD⊥BC，重足為D，B=F，BF和AD交于E.求證：AE=BE.

圖6

圖7

圖8

變式一：如圖7，BC為⊙O的直徑，AD⊥BC，重足為D，B=F，BF和AD交于E.(1)求證：AE=BE,(2)若A、F把半圓三等分，BC=12，求AE的長.

變式二：如圖8，BC為半圓O的直徑，F是半圓上異于B、C的一點，A是 BF的中點，AD⊥BC于點D，BF交AD于點E.(1)求證：BE·BF=BD·BC,(2)試比較線段BD與AE的大小，并說明道理.

通過發掘數學問題所隱含的數學知識點、數學關系，發現問題、提出問題，把未知的問題轉化成熟悉的問題，對問題類比、聯想、引申、擴展、推廣等等，揭示知識的內在聯系[25]，凸顯數學問題的認知過程，探索和表述論證的過程，建構自己對于圓的弦、圓周角等知識的理解，將離散的知識點鏈接，使得過程性的知識點連接形成知識網絡，提煉得出數學模型，同時，元認知體驗得到進一步加深[26].

3.3 提升數學理解水平

數學活動經驗基于學生的操作活動、思考、心理的“圖式”操作，擴展學生的認知基礎，凸顯學習的數學化[27].學生依據已有的數學經驗和知識去對所學的內容做出辨析、解釋，從自己的經驗和其他的渠道(如媒體)中提取有用的信息，識別數學對象的外部表征，根據數與形的關系研究問題，構建抽象的數學認知結構，能用自己的語言來準確地表述數學問題解決的過程，形成理解解決問題的圖式結構，提升數學直觀素養.

學生通過思考、討論、表征和交流，經歷了數學模型的發現和應用過程，體驗了過程性知識的內隱性和動態性，達到解釋性理解和探究性理解[17]，提高數學思維品質，形成數學思想方法，這是在活動過程中知識積淀、凝結、內化的結果[28]，是數學知識獲取過程的最高境界.

3.4 提升數學核心素養

“創新力來自知識積累、經驗積累和思維訓練”(史寧中)，在學習共同體中，基于認知現象在認知主體和環境間分布的本質，學生按組間同質、組內異質的形式進行數學活動，學生通過數學化地思考對任務形成自己的理解和初步的求解思路，在情境中、在實踐中進行數據處理，形成基于證據的解釋，有助于學生在更深刻的層次上理解[29]．在交互性、社會性的真實活動中學習和應用數學知識，學生的情感、態度和學習方式發生了明顯變化，真正體驗到數學的應用價值.

學習小組中的每位同學都在用數學的方式思考、表達和交流的過程中涌現出新的觀點和思維方式，用數學的知識、方法解釋生活中的問題，都是學習過程中某個部分問題的專家，通過各自不同的專長以及協商，提升歸納、演繹推理能力，發展理性思維，提升數學觀念.

4 討論與思考

數學活動是問題研究的基礎，數學活動經驗它把數學知識分解和簡化為基本的單元和組塊，經過改進、革新和創造連結在一起，生成和建構新的數學知識，實現經驗從底層次思維到高層次思維的超越，把層次分明的數學知識內化為學生頭腦中有條理化、有序化和網絡化的結構[10]，形成合理而深刻的關系表征和觀念表征[9].

通過具體的數學活動，幫助學生形成有條理、縝密的思維方式，清晰地表達和解釋問題解決的思考過程與結果，展現積極的數學情感.學生積累的數學活動經驗具有緘默性，是在經歷了問題、探究、挑戰、挫折的過程后抽象、提煉、生成了數學概念，展示技能發展中的理性思維過程，更是在數學表征和數學應用中的體驗意義建構、感悟數學思想方法的過程.

在生態和諧的數學活動中，學生以數學活動經驗為載體，厘清聚焦數學知識核心的架構，把學習資源轉化為學生容易理解的認識，獲得豐富的、理性的過程性知識，感悟“理解水平”之間的遞進關系，提升數學核心素養.學生數學活動經驗的積累，有效降低了認知負荷水平(內部)，不僅理解它“是什么”、“為什么”、“如何做”、“做的怎樣”，使知識得到廣泛的遷移，達到會用數學的眼光觀察思考問題、數學的思維方式研究問題、數學的語言表征問題，而且使得數學活動經驗的積累成為轉化為數學核心素養的過程，形成優良的數學觀念、數學人文精神.

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