基于威布爾分布的電主軸加速壽命試驗時間設計

鄭玉彬，楊 斌，王曉峰，申桂香，趙憲卓，秦猛猛

(1.吉林大學 機械科學與工程學院，長春130022;2.吉林大學 建設工程學院，長春 130026)

0 引 言

電主軸作為機床系統的關鍵部件之一，其性能和可靠性極大地影響了整臺機床的生產效率和精度。而獲取故障信息、故障數據以及進行可靠性評估的首要前提是開展合理的可靠性試驗。但目前機床電主軸樣品往往數量較少、成本高且壽命相對較長，傳統的可靠性壽命試驗難以滿足要求[1]。為此，開展電主軸加速壽命試驗方面的研究勢在必行。

目前，國內、外對電主軸可靠性試驗技術研究得較多，如王平永等[2]針對銑削電主軸，經模型假設、參數估計、假設檢驗等步驟建立了載荷譜的分布模型，并據此設計了五級試驗加載譜。劉瀚文[3]利用所設計的電主軸試驗臺，通過加載系統模擬真實工況的載荷譜，以功率為加速應力，進行恒應力下電主軸加載試驗，依據試驗信息進行可靠性評估，其與步進應力加速壽命相比[4]，試樣失效過程較為緩慢，且其開展試驗所需的樣本量較大。朱德馨等[5]假設機床主軸的壽命服從威布爾分布且機床主軸的特征壽命與試驗載荷之間滿足逆冪率方程時，以恒定應力開展定數截尾試驗，并采用最小二乘法確定其在基準載荷應力下的可靠性壽命特征。Teng和Yeo[6]假設壽命與應力之間滿足對數線性關系，開展定數截尾試驗，建立步進應力加速壽命試驗模型。以上表明，當前研究主要側重于恒定應力加速壽命試驗模型下的壽命模型參數估計及預測精度分析，且主要集中于定數截尾加速試驗的研究。

在實際試驗中，產品往往受到多種應力的復雜影響[7]，很難建立符合實際情況的加速模型，即難以確定壽命特征與應力之間的關系，且機床電主軸價格較高，壽命相對來說較長，所以定數截尾試驗難以滿足要求[8]。

研究表明[9]，機床電主軸的可靠性壽命服從威布爾分布，故本文據此建立了電主軸首次故障時間分布模型，以可接受的可靠度所對應的首次故障時間為基準，建立了電主軸試驗時間與樣本量的關系模型。結合修正后的Miner理論和程序載荷譜建立了加速因子模型，融入加速因子進行機床電主軸試驗時間設計。最后，以某型電主軸為例，進行試驗時間設計，并基于故障率的先驗分布和后驗分布進行本文方法的可信性驗證。

1 基于威布爾分布的電主軸試驗時間設計原理

1.1 基本假設

設電主軸的首次故障時間服從二參數威布爾分布，其分布函數為：

(1)

式中：m為形狀參數，m>0；η為尺度參數，η>0；t為首次故障時間，t>0。

加速壽命試驗時間設計基本假設：①在正常應力水平和加速應力水平下，所有試驗樣本均服從二參數威布爾分布；②試驗結束時，加速應力水平σa下n個試驗樣本的失效時間為Tσai(i=1,2,…,n)，正常應力水平σn下u個試驗樣本的失效時間為tσnj(j=1,2,…,u)，為了方便表述，下文分別用T和t代替；③T和t是獨立同分布隨機變量。

則正常應力水平下，電主軸可靠度函數為：

(2)

加速應力水平下，電主軸可靠度函數為：

(3)

式中：T=Κ-1t，Κ為加速因子，通常Κ>1。

1.2 基于威布爾分布的電主軸試驗時間設計

(4)

假設試驗電主軸的樣本量為n，在時間[0,t]內的故障數為x，已知任一產品的首次故障時間的失效概率為F(x)，則電主軸的故障數x服從二項分布，即x～B(n,F(x))，則：

(5)

假定c為被試電主軸產品的判定最大允許故障數，則試驗電主軸產品抽樣方案的可接受概率P為：

(6)

若在試驗時間t內n臺被試產品沒有發生故障，則故障數x=0，c=0，將x和c代入式(6)可得：

(7)

上述抽樣方案中，設置信度為C，工業上常設可接受概率P(tR)與置信度C相等，其中置信度C=1-γ=0.9，由式(7)可得：

(8)

式中：tR為平均首次故障時間MTTFF的檢驗上限；γ為生產方風險。

在《GJB899A—2009》[10]中對參數γ提前規定取值，通常為10%、20%和30%，具體取值根據實際情況進行。根據式(8)可以建立試驗時間與樣本量的關系模型，即：

(9)

1.3 基于Miner理論的加速因子計算

1.3.1 線性疲勞累積損傷理論及其計算

在載荷的作用下，材料不斷累積損傷，性能隨之持續降低，當損傷累積到一定界限時，零部件發生疲勞破壞。在現有多種累積損傷理論中，Miner理論表達式簡單、適用性廣泛，且在多數情況下，應用該理論得出的結果與試驗結果較為接近，目前在國內、外應用最為廣泛。

基于Miner理論，各級應力的頻次與零件應力-壽命(σ-N)曲線上的理論頻次之比的累積值即為零件的損傷量，則總損傷量D為：

(10)

式中：di為試件在σi下產生的損傷分量，σi為應力循環特征r=i時的應力；ni為試件在σi作用下的實際工作循環次數；Ni為在相應零件材料的σ-N線上與σi對應的疲勞極限壽命。

材料σ-N曲線的Basqwin關系式為：

(11)

式中：l、Q為與材料、試樣和加載有關的常數；σr為在給定應力循環特征r下的應力。

同時考慮對稱循環應力σ-1所對應的疲勞極限壽命N0，可得：

(12)

式中：l=-1/b,b為σ-N曲線的斜率。

將式(12)代入式(10)，可得：

(13)

根據Miner理論，當D=1時，材料就發生疲勞破壞。因此，結合各工況下的程序載荷譜就可以計算出電主軸在不同工況下的累積損傷。但是該理論沒有考慮在疲勞持久極限以下載荷對材料損傷的影響，若直接應用Miner理論估計零部件的疲勞壽命，其結果與實際情況存在一定差距。有學者提出用強度系數指數α代替式(11)中的l[11]，其中α=0.81l～0.94l，通常取α=0.85l。則累積損傷的計算公式為：

(14)

在實際生產中，電主軸很少會出現滿載和超載的情況，本文將其分為輕載、輕中載、中載、中重載和重載5種情況，結合電主軸在設計上所能承受的最大載荷，進而確定各級載荷的相對載荷范圍，編制程序載荷譜。這里引入相對切削力矩的概念進行分級處理，統計并記錄各個分級區間內的載荷大小及相應的循環次數。

相對切削力矩Tr是指切削力矩Tc與最大切削力矩Tmax的比值[12]，其表達式為：

Tr=Tc/Tmax

(15)

空運轉或待機時按空載處理；相對切削力矩為0

對于多級程序載荷譜，各級載荷作用下的循環次數為：

(16)

式中：nt為各級載荷作用下的總循環次數，nt=∑ni；fi為σi應力水平下的相對循環次數；ωi為程序載荷譜中對應σi的循環次數。

將式(16)代入式(14)，可得：

(17)

根據Miner理論，當D=1時即發生疲勞破壞，則壽命可按式(18)估算：

(18)

1.3.2 加速壽命試驗加速因子評估

加速因子K是指在可靠性試驗和實際使用中，產品在規定的試驗條件下達到相同故障時，普通工況與可靠性強化工況下的試驗時間之比，即產品在加速環境1和實際環境2下，達到相同損傷時的可靠性壽命nt2、nt1之比，按式(19)計算：

K=nt2/nt1

(19)

結合式(18)的壽命估算表達式，即可建立電主軸加速壽命試驗加速因子的數學模型：

(20)

式中：nt1、nt2分別為試驗和實際環境中的估算壽命；σi1、σi2分別為試驗和實際環境中的各級應力；ωi1、ωi2分別為試驗和實際環境中對應σi1、σi2的循環次數。

(21)

(22)

式中：D1、D2分別為試驗和實際環境中的損傷因子統計量；ω1、ω2分別為試驗和實際環境中的總循環次數；fi1、fi2分別為試驗和實際環境中的相對循環次數。

則加速因子為：

(23)

本文采用步進應力進行加速壽命試驗，基于輕載、輕中載、中載、中重載、重載進行分級，并結合試驗數據得到試驗的程序載荷譜，代入式(21)即可求得試驗中的損傷因子統計量。結合式(23)即可求得不同試驗條件下的加速因子。

另外，若考慮各工況所占比例βi及各工況下的加速因子Ki，則在式(23)的基礎上可求組合工況下的加速因子KΣ為：

(24)

1.4 加速壽命試驗時間設計及可信性驗證

1.4.1 加速壽命試驗時間設計

建立加速因子模型后，可以進一步確定加速壽命試驗條件下的試驗時間。加速壽命試驗中不同加速因子下的試驗時間T等于實際運行情況下的試驗時間t與相應加速因子K之比，即：

(25)

若取樣本量n=1，且C=R=0.9時，有：

T=tR/K

(26)

1.4.2 加速壽命試驗時間設計可信性驗證

設n臺電主軸可靠性試驗故障數據為t1,t2,…,tx，x≤n，試驗中的故障數x服從二項分布，則：

(27)

式中：pi為電主軸的故障率。

結合共軛分布先驗，二項分布對應的共軛分布為貝塔分布B(a,b)，由于貝塔分布與二項分布具有相同形式的核，則故障率的后驗分布也為貝塔分布，因此采用貝塔分布作為故障率的先驗分布[14]，即：

π(pi)～B(a,b)∝θa-1(1-θ)b-1

(28)

若已知樣本量n和故障數x，只要確定先驗分布的超參數值，就可求出同為貝塔分布的后驗分布的參數，據此即可進行可信性驗證。

(29)

(30)

(31)

(32)

據此，由式(33)(34)可以求得B(a+x,b+n-x)分布的方差和后驗分布故障率的方差，兩者之差的絕對值越小，說明試驗時間設計越合理。

(33)

(34)

2 案例分析

以某型電主軸為例，結合其在企業運行期間采集的可靠性數據，分析并建立電主軸切削加工載荷譜，據此基于修正后的Miner理論進行加速壽命試驗加速因子評估。下面以銑削加工為例展開計算，其載荷服從二參數威布爾分布，據此構建五級程序載荷譜，如表1所示。

若主軸材料系數l=2.941，則α=0.85l=2.5。由式(21)可得試驗損傷因子統計量D1=64913.79，由式(22)可得實際損傷因子統計量D2=31612.72；則加速因子K=D1/D2=2.05。

3 結 論

(1)假設電主軸試驗樣本的壽命服從威布爾分布，以可接受的可靠度所對應的首次故障時間為基準，提出基于威布爾分布的試驗時間與樣本量的關系模型。

(2)考慮到機床主軸加速壽命試驗載荷與實際工作載荷存在一定差異，基于修正后的Miner疲勞累積損傷理論，建立了加速壽命試驗加速因子模型。

(3)基于試驗時間與樣本量的關系模型及加速壽命試驗加速因子模型，進行考慮加速因子的加速壽命試驗時間設計；并基于故障率的先驗分布和后驗分布進行了可信性驗證。

(4)以某型電主軸為例開展加速壽命試驗，基于載荷分布模型建立程序載荷譜，定量地確定了加速因子，并考慮了可接受的可靠度所對應的首次故障時間進行試驗時間設計，同時對其可信性進行驗證，因標準差為4.8%，故可認為試驗時間設計合理。

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