基于零相差軌跡控制方法提升快速反射鏡性能

張士濤，張 葆，李賢濤，王正璽，田大鵬

(1.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所, 長春130033；2.中國科學院大學,北京 100049)

0 引 言

快速反射鏡(Fast steer mirror, FSM)一般由音圈電機或壓電陶瓷作為致動器，并配合一塊反射鏡組成[1]，具有慣性較小、易于安裝和控制、響應速度快和定位精度高的優點。目前，FSM作為安裝在目標與接受器之間，用以控制光束方向的反射鏡裝置已廣泛地應用在天文望遠鏡、激光通信、圖像穩定、復合軸精密跟蹤、瞄準等光學系統中。

在航空光電偵查系統中[2]，FSM主要用來消除飛機飛行帶來的像移和抑制高頻擾動。其中抑制高頻擾動需要FSM具有較快的響應速度、較高的響應帶寬、較小的超調和相位滯后[3]。目前，通過傳統的PID控制可以在一定程度上達到提高帶寬和減小超調的目的，但是傳統PID控制器作為一種經典的反饋控制器，無法滿足航空光電偵察系統對FSM的高帶寬、高精度和快速性的要求。

Tomizuka[4]提出的零相差軌跡控制(Zero phase error tracking control,ZPETC)方法是一種針對運動軌跡控制的前饋控制方法。這種控制方法建立在對被控對象精確建模的基礎上，基于零極點控制理論，通過在控制環路中加入前饋控制器達到消除零極點或者相位差并盡可能完美復現理想軌跡的目的[5-7]。在FSM的控制系統中引入ZPETC技術，可以起到減小相位延遲，降低控制系統響應時間和抑制超調進而提升控制系統性能的作用。

本文首先介紹了零相位誤差軌跡控制的基本原理。然后給出了被控對象的精確建模過程和零相差控制的仿真試驗。最后進行了仿真驗證，結果表明：相比于傳統PID控制，加入零相差控制器以后，快速反射鏡性能有明顯提升。

1 ZPETC原理

1.1 理想軌跡控制原理

ZPETC方法針對已有的閉環控制環路做了前饋矯正[8]，設被控的閉環控制環路為：

(1)

式中：z-d為閉環系統帶來的d階滯后；Bc(z-1)和Ac(z-1)可以分別表示成如下形式：

Bc(z-1)=bc0+bc1z-1+…+bcmz-m,bc0≠0

Ac(z-1)=1+ac1z-1+…+acnz-n

針對式(1)所示的閉環控制系統，加入一個前饋控制器r(k)：

(2)

式中：yd(k+d)為d階的相位超前用以補償閉環系統引入的d階滯后。

設系統的輸入為yin(k)，輸出為yout(k)，則：

yout(k)=yin(k)r(k)Gclosed(z-1)

(3)

從式(3)可以看出：通過加入前饋控制器r(k)可以消除閉環控制系統中所有的零點和極點，使得系統的整體傳遞函數變成單位1。只要保證初始狀態為零，便可以實現系統輸出對輸入的完美復現，達到理想控制的效果。理想控制的控制結構框圖如圖1所示。

圖1 理想控制結構示意圖Fig.1 Schematic of perfect control structure

理想控制可以達到消除零點和極點，實現完美輸出的目的，但是當被控對象Gclosed(z-1)存在單位圓外的零點時，便不可以直接消除。因為如果直接消除被控對象單位圓外的零點，會在控制器r(k)中引入單位圓外的極點，而單位圓上或者是單位圓外的極點會導致系統震蕩或者不穩定。針對這些不可以直接消除的零點，Tomizuka[4]提出了零相差軌跡控制方法。

1.2 零相差控制原理

針對閉環傳遞函數分子Bc(z-1)中部分零點不可以直接消除的情況，首先把Bc(z-1)分成兩個部分，具體表示為：

(4)

根據式(4)對Bc(z-1)的分解情況，利用r(k)前饋控制器把分子中位于單位圓外的零點消掉。r(k)的具體表達式為：

(5)

加入該前饋控制器之后，輸出與輸入之間的關系為：

yout(k)=r(k)Gclosed(z-1)yin(k)=

(6)

軌跡控制的誤差在頻率域可以分為幅度誤差和相位誤差。設輸入一個正弦函數為：

yin(k)=asin(ωTk),0≤ωT≤π

(7)

式中：a為輸入正弦函數的幅值；T為控制系統的抽樣時間。

經過式(5)所示的前饋控制器和閉環系統之后的輸出響應為：

yout(k)=aMsin(ωTk+φ)

(8)

式中：M、φ分別為控制系統所帶來的幅度增益和相位誤差。

把傳遞函數(式(6))從Z域變換到頻率域：

(9)

由式(8)(9)可以得出：

(10)

由于單位圓上和圓外的零點無法利用理想控制理論直接消除，而這些零點會給系統帶來M倍的幅度增益和φ度的相位誤差。在低頻段，上述兩個誤差值較小，影響不大，但是在高頻段，這些誤差會對控制系統的控制性能造成很大的影響。尤其是相位滯后，φ度的相位滯后量將導致φ/ω秒的時間滯后。因此在不能完全消除掉零點的情況下，可以盡量消掉零點所帶來的相位滯后量，對提高控制系統性能具有重要意義。

針對上述問題，Tomizuka[4]提出了零相差控制方法。在式(5)所示的前饋控制器中加入不可消除零點的共軛，即：

(11)

此時，系統總的傳遞函數變為：

(12)

將其變換到頻域為：

[Re(ω)-jIm(ω)][Re(ω)+jIm(ω)]=

Re(ω)2+Im(ω)2

(13)

式(12)表示的傳遞函數沒有虛數項，因此不會引入相位延遲，解決了不可直接消除零點會帶來相位滯后的問題。零相差軌跡控制的控制結構框圖如圖2所示。

圖2 零相差控制的結構示意圖Fig.2 Schematic of ZPETC structure

2 被控對象建模及仿真結果分析

2.1 被控對象精確建模

通過之前的理論分析可以看出，零相差控制方法可以有效地抑制閉環控制系統的相位滯后，提高系統的控制性能。但是這種方法的實現是建立在精確建模的基礎之上的。如果建模不精確[9-11]，則零相差控制方法的效果將會大打折扣，甚至出現反作用。為了盡可能地保證零相差控制器的性能，本文采用白噪聲掃頻的方法對快速反射鏡進行建模。

圖3為快速反射鏡通過白噪聲掃頻獲得的幅頻響應和相頻響應。從圖3可以看出：在幅頻曲線中存在一個凸起，這是由快速反射鏡模型中二階諧振環節引起的。從圖3中可以看出：諧振頻率約為178 rad/s，峰值大小為-67.7 dB。相頻曲線的第1個相位下降點與幅頻曲線的諧振點幾乎重合，下降幅度為180 rad。另外相頻曲線在高頻段還有一個垂直下降階段,下降的幅度比較大，這部分是掃頻時出現的誤差，在建模的時候應該舍去。

圖3 白噪聲掃頻圖Fig.3 Diagram of white noise sweep

利用Matlab中的Matlab System Idengification Toolbox工具箱結合上面的掃頻獲得數據對快速反射鏡進行擬合建模，擬合出的快速反射鏡模型形式為：

(14)

式中：k、α、β為待定的模型參數，結合白噪聲掃頻獲得的數據可以初步確定參數。

通過Matlab System Idengification Toolbox工具箱擬合出的模型還是一個比較粗糙的模型，并不能很好地與掃頻獲得的響應曲線相符。此時，在這個原始模型的基礎上手動修改各個參數并讓其伯德圖盡可能地與掃頻曲線重合，達到精準建模的目的。通過這種方法確定出3個參數分別為：k=0.5593，α=7.428，β=31500，并畫出其伯德圖如圖4所示。

圖4 快速反射鏡模型伯德圖Fig.4 Bode chart of FSM model

通過對比白噪聲掃頻獲得的頻響曲線和擬合出模型的頻響曲線可以看出：①兩幅圖的諧振頻率基本相同，分別為190和178 rad/s；②兩幅圖的諧振峰值分別為-66.4和-67.7 dB，基本相同；③兩幅圖的相位拐點分別為147.3 rad/s和149 rad/s，基本重合?？偟膩碚f，本文模型基本上復現了快速反射鏡的性能曲線，可以作為后續控制器設計的模型依據。

2.2 仿真試驗及結果分析

圖5為加入零相差前饋控制器的快速反射鏡控制結構框圖。圖中后半部分是依據白噪聲掃頻方法建立的模型，以及根據模型設計的PID閉環控制器。前半部分則是根據閉環控制結構設計出的零相差前饋控制器。從圖5中可以看出：零相差前饋控制器包含兩個部分：①前饋控制器的被控對象中可以直接消除零極點的部分；②不可以直接消除零極點需要消除相位差的部分。將前饋控制器的輸出r(k)作為后續閉環控制的輸入，與反饋信號作差，并直接給到PI控制器。為了仿真傳感器所引入的噪聲對控制系統的影響，在反饋環路中加入了幅值為0.002的白噪聲。

圖5 快速反射鏡控制結構框圖Fig.5 FSM control block diagram

圖6和圖7分別為單純PID控制下和PID結合ZPETC下快速反射鏡的階躍響應曲線。輸入的階躍信號的響應時間為0 s、終值為0.08 s，擾動幅值為0.002。通過對比兩幅圖可以獲得兩種控制策略的性能差異如表1所示。

圖6 單純PID控制下快速反射鏡的階躍響應Fig.6 Step response of FSM under PI control

圖7 PID和ZPETC下快速反射鏡的階躍響應Fig.7 Step response of FSM under ZPETC and PI contol

表1 PID控制和零相差控制的階躍響應性能比較Table 1 Comparison of step response performance between PID control and ZPETC

結合圖6、圖7和表1可以看出：加入零相差前饋控制器之后，快速反射鏡的性能獲得很大提升。從階躍響應上來看，結合零相差控制方法的輸出曲線在保持穩態誤差不變的基礎上，響應時間變得更短，響應速度獲得大幅度提高，提升了快速反射鏡的控制精度和快速性。

3 試驗驗證

對上述理論在實際快速反射鏡中進行實際試驗驗證，試驗裝置如圖8所示。

圖中，快速反射鏡的制動器為音圈電機可以做兩個自由度運動；位置傳感器用來測量位置反饋信號；控制和驅動芯片的核心控制芯片采用TMS320型DSP，驅動方式為PWM驅動。

圖8 快速反射鏡試驗平臺Fig.8 Experimental platform of FSM

3.1 階躍響應對比試驗

為了測試引入零相差控制器以后系統的響應速度，進行階躍響應試驗。給定的階躍信號終值為0.08 s，分別采集獲得單純PI控制和ZPETC控制下響應曲線如圖9所示。分析圖9中的曲線可以得到兩種控制方法的一些關鍵性能指標，整理如表2所示。

圖9 PI和ZPETC下階躍響應對比曲線Fig.9 Contrast step response curve of FSM under ZPETC and PI contol

表2 PID控制和零相差控制的階躍響應性能比較Table 2 Comparison of step response performance between PID control and ZPETC

觀測圖9和表2可以看出：引入ZPETC方法以后，快速反射鏡的階躍響應時間由原來的50 ms降低到12 ms，響應速度提高了4倍多,證明零相差控制方法有助于提高快速反射鏡的響應速度。但是通過對比表1和表2可以看出，仿真結果與實際試驗結果存在偏差。零相差控制器的響應時間相比于仿真結果有所增加，另外零相差控制方法所帶來的超調量消失，兩種控制方法的穩態誤差也都有所增加。零相差控制方法比仿真結果的響應時間更長是由建模誤差引起的，在試驗過程中，通過不斷改進模型可使實際的階躍響應結果越來越接近理想的仿真結果。圖10給出了模型精校前、后的階躍響應對比曲線，從圖中可以清楚地看到前面所述的趨勢。

圖10 被控模型矯正前、后階躍響應對比曲線Fig.10 Contrast step response curve of FSM under original and corrected model

圖11 PI和ZPETC下正弦響應對比曲線Fig.11 Contrast sinusodial response curve of FSM under ZPETC and PI control

3.2 正弦響應對比試驗

為了測試兩種控制方法的高頻響應特性，進行正弦響應試驗。輸入的正弦信號幅值為0.01，頻率為150 Hz。分別獲得兩種控制方法下輸出曲線如圖11所示。從圖11中可以看出：單純PI控制下的快速反射鏡對于150 Hz的輸入，輸出衰減特別厲害，只能復現輸入的25%左右，衰減幅度達到75%。而加入零相差控制以后，輸出基本復現了輸入，只是由于建模誤差的原因產生了微小的超調。從圖11中還可以看出：單純PI控制下，快速反射鏡的輸出相位滯后比較大，而引入零相差控制器以后相位滯后量有所減小。這一點在第1節零相差控制原理中已經提到，零相差控制器的引入會消除被控對象中的相位差。

4 結束語

零相差控制方法作為一種前饋控制方法，可以引入到現有的PID控制中，以達到提升控制系統的性能的作用。通過一系列仿真試驗證明了其理論上的可行性。針對快速反射鏡對于快速性和高帶寬的要求，在現有PI控制器的基礎之上引入ZPETC方法，并通過試驗驗證在引入零相差控制器之后，快速反射鏡的響應速度提高了4倍多，高頻響應更加趨近于輸入而且相位滯后明顯減小，達到了提升快速反射鏡性能的目的。但同時零相差控制方法的實現有過分依賴于被控對象建模精度的弱點，這也是導致本文中仿真結果與實際試驗結果存在差異的主要原因。

參考文獻：

[1] 周子云,高云國,邵帥,等. 采用柔性鉸鏈的快速反射鏡設計[J]. 光學精密工程,2014,22(6):1547-1554.

Zhou Zi-yun,Gao Yun-guo,Shao Shuai, et al. Design of fast steering mirror using flexible hinge[J]. Optics and Precision Engineering,2014,22(6):1547-1554.

[2] 李賢濤,張葆,趙春蕾,等. 基于自適應的自抗擾控制技術提高擾動隔離度[J]. 吉林大學學報:工學版,2015，45(1):202-208.

Li Xian-tao,Zhang bao,Zhao Chun-lei,et al. Improve isolation degree based on adaptive active disturbance rejection controller[J]. Journal of Jilin University(Engineering and Technology Edition),2015,45(1):202-208.

[3] 胡松濤. 自動控制原理[M]. 5版. 北京:科學出版社,2007:76-93.

[4] Tomizuka M. Zero phase error tracking algorithm for digital control[J]. ASME Journal of Dynamic System, Measurement, and Control,1987,105(1):65-68.

[5] 趙希梅,郭慶鼎,孫宜標. 基于數字前置濾波器優化的ZPETC在伺服跟蹤控制中的應用[J]. 電工技術學報,2005,20(5):30-34.

Zhao Xi-mei,Guo Qing-ding,Sun Yi-biao. Application of ZPETC based on optimal design of digital prefilter in servo tracking control[J]. Transactions of China Electrotechnical Society,2005,20(5):30-34.

[6] 曲永印,趙希梅,郭慶鼎. 基于零相位誤差跟蹤控制器的輪廓誤差交叉耦合控制[J]. 中國機械工程,2006,17(11):1135-1137.

Qu Yong-yin,Zhao Xi-mei,Guo Qing-ding. Cross coupling control of contour error based on zero phase error tracking controller(ZPETC)[J]. China Mechanical Engineering,2006,17(11):1135-1137.

[7] 趙希梅,郭慶鼎. 基于ZPETC和DOB的永磁直線同步電機的魯棒跟蹤控制[J]. 中國電機工程學報,2007,27(30):60-63.

Zhao Xi-mei,Guo Qing-ding. Robust tracking control based on ZPETC and DOB for permanent magnet linear synchronous motor[J]. Proceedings of the CSEE,2007,27(30):60-63.

[8] Haack B,Tomizuka M. The effect of adding zeroes to feedforward controller[J]. ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control,1991,113(1):6-10.

[9] 張春紅,劉強. 直線電機伺服系統模糊零相差跟蹤控制[J]. 華僑大學學報:自然科學版,2009,30(6):614-618.

Zhang Chun-hong, Liu Qiang. Fuzzy zero error tracking control for linear motor servo system[J]. Journal of Huaqiao University (Natural Science),2009,30(6):614-618.

[10] 陳興林,劉川,周乃新,等. 基于ZPETC-FF和DOB的精密運動平臺控制[J]. 哈爾濱工業大學學報,2014,46(1):1-6.

Chen Xing-lin,Liu Chuan,Zhou Nai-xin,et al. Controller design based on ZPETC-FF and DOB for precision motion platform[J]. Journal of Harbin Institute of Technology,2014,46(1):1-6.

[11] 王福超,田大鵬,王昱棠. 基于DOB和ZPETC的PWM驅動快速反射鏡控制方法研究[J]. 機電工程,2015,32(7):903-908.

Wang Fu-chao,Tian Da-peng,Wang Yu-tang. Control of fast-steering mirror driven by PWM based on DOB and ZPETC[J]. Journal of Mechanical & Electrical Engineering,2015,32(7):903-908.