故障樹分析法的現狀與發展*

□ 郭濟鳴 □ 齊金平 ，3 □ 李興運

1.蘭州交通大學 機電技術研究所 蘭州 730070

2.甘肅省物流及運輸裝備信息化工程技術研究中心 蘭州 730070

3.甘肅省物流與信息技術研究院 蘭州 730070

1 研究背景

故障樹分析法將所要分析的系統問題以圖形的形式進行表達處理，在分析步驟中，將所分析的系統發生故障設為頂事件，將無法再細分的事件稱為底事件，將其余剩下的所有事件稱為中間事件。故障樹分析法將整個系統的最終故障及形成每一級故障的原因通過一個倒置的樹形圖來表達，對于系統處理計算，找出影響較大的環節進行分析，為系統運行和維修提供信息參考，在可靠性處理研究方法中所占的比重逐漸增大。由于該方法對于可靠性分析所具有的很多優勢，因此近幾年國內外各領域不斷對其進行研究，促成其繼續發展。

2 國內外發展歷程

1961年，貝爾實驗室最初以系統可靠性分析方法推出發表了故障樹分析法，自此故障樹分析法被許多學者認可應用，也因此得到了深入發展?，F如今，該方法已經與多種其它學科和理論結合，非常廣泛地應用于不同學科和區域。

1989年，Esary和Smotherman等通過故障樹和馬爾可夫模型結合，對階段性動態進行了建模，以限制系統的靈活性，將相位變化通過分布函數表示，提高了求解速度。1992年，Dugan等以空間站和空中交通管理等系統為研究背景，將馬爾可夫理論與組合數學應用到一起，研發了動態故障樹模型，推算出了三種應用于動態故障樹的模塊化算法，解決了動態故障樹計算速率慢的問題，并為解決關鍵應用程序中容錯計算機程序的可靠性問題，給出了容錯并行處理器、任務航空電子系統和容錯多維數據集三種先進的容錯計算機系統[1]。1996年，Pullum等對硬件、軟件繁雜的計算機系統進行可靠性分析，得出了一種對動態和靜態都可計算的Shade樹方法。1997年，Gulati等通過計算獨立子樹得到的數據，歸納整合處理得出一種混合模塊化方法，對于靜態故障樹應用二元決策圖方案，對于動態故障樹應用馬爾可夫模型方案，同時，采用獨立模塊的獨立解，再將方法結合進行整體處理[2]。

Ragavan為了簡化動態故障樹結構構建系統的表達，推算出更加精準的動態故障樹計算應用算法，增強了針對系統故障問題的動態故障樹框架的有效性，以更加嚴謹地確認故障樹的構成和基本事件，使故障樹得到更準確的表達，分析馬爾可夫模型，提出數值解決方案。2003年，Ou等基于之前已經得出的成果又推理出了計算近似重要度無環馬爾可夫可靠性結構的研究算法，對馬爾可夫鏈計算問題結果進一步化簡，針對非維護關鍵性計算機程序的可靠性，提出一種適用于任何非循環的馬爾可夫鏈可靠性分析模型，通過近似計算來解決動態故障問題[3]。2007年，Boudali等以交互式馬爾可夫鏈為背景，對于輸入和輸出端口進行模塊化，以應對組合過大時計算爆炸和非模塊化的問題，使用輸入輸出交互式馬爾可夫鏈形式來分析動態故障樹。使用這一形式，解決了模塊分析的局限性對于狀態空間爆炸問題的脆弱性問題，以及模塊構建不成熟的問題[4]。

2008年，Marquez等將混合貝葉斯網絡框架用于處理動態故障樹的靈敏性、模糊性和故障率等問題。對于動態離散變量域的近似推理算法，獲得了靜態和動態故障樹結構的故障分布準確逼近。對于已有的最初故障數據和專家判斷先驗信息，得到了參數化的邊緣失效分布后驗估計，得出了混合貝葉斯網絡框架[5]。Duan等針對傳統動態馬爾可夫鏈方法的缺陷，結合線性時間算法，將整個大系統整體劃分為獨立子樹，應用二元決策圖對靜態子樹進行處理，同時用貝葉斯網絡對動態子樹進行分析計算[6]。Kolek等提出了動態故障樹分析法、馬爾可夫鏈和可靠性塊圖，并介紹了一個塊庫，以解決復雜可靠性結構、多種形式軟件和硬件冗余，以及熱冷備份系統等問題。采用蒙特卡羅模擬法，提出了一種基于工業的案例研究，通過故障模式和效果分析，對冗余可編程邏輯控制器系統的關鍵故障進行了識別[7]。

季會媛將動態故障樹處理分為單獨的靜態子樹和動態子樹，再對其進行二元決斷圖法和馬爾可夫過程計算處理。當動態子樹規模比較小時，系統計算效率會提高。應用馬爾可夫鏈法來得出動態子樹的頂事件發生概率，利用馬爾可夫狀態轉移圖得到故障模式和對整體結構影響最大的事件，使整個系統的處理分析更加容易便捷[8]。朱正福等在狀態轉移圖的基礎上將馬爾可夫鏈劃分為幾個狀態轉移鏈，由于鏈的長度不一樣，因此計算出適用于不同鏈長的失效概率計算公式，避免對于難度較大的方程計算，使現實的案例分析更加可行[9]。李彥鋒應用三角模糊數賦值零部件和系統的故障發生概率，將事先建立的動態故障樹結構用來獲得模糊馬爾可夫結構。結合模糊數學中擴展定理和拉普拉斯-斯蒂爾切斯變換計算處理獲得的結構，獲取系統在特定時間的模糊故障率和模糊可靠度圖像。同時應用貝葉斯網絡和動態故障樹對系統可靠性進行建模，將無效的動態故障樹模型變換為貝葉斯網絡模型，以此將模型求解的復雜度大大化簡[10]。房丙午等通過已知的函數對條件概率表進行描述，解決了組合爆炸問題。由已獲得的備件門故障原因和相應的貝葉斯網絡結構特點,結合指數分布的備件節點故障時間特性，推理出基于動態故障樹的貝葉斯網絡精確算法，應用該算法提出了系統失效分布、部件重要度等概率公式[11]。孫麗娜等將傳統二態性故障樹變形為多態的Takagi-Sugeno模糊故障樹系統，通過結合統計學期望來處理系統多態故障問題，并對底事件和中間事件處理得到多態系統可靠性的分析方法[12]。

3 貝葉期網絡法

貝葉斯網絡最開始是為了解決人工智能存在的因素無法確定的問題。貝葉斯網絡通過圖形表達系統故障間的聯系，能夠得出事件概率。如今,貝葉斯網絡的問題主要在于如何創建、推算貝葉斯網絡，以及學習功能方面。貝葉斯網絡的主要建模方法如下：①根據相關領域專家的經驗直接建模；②根據對網絡訓練數據進行學習來建模；③將專家知識庫和網絡數據學習組合利用后建模。對于系統的特點和條件差異，應用不同的建模方法。建造貝葉斯網絡主要應用的是概率推理，特別是后驗概率的分析。

貝葉斯網絡為有向無環圖，由節點和邊構成。隨機變量通過節點來代替，變量和變量的相互關系通過有向邊來表達。貝葉斯網絡賦予了有向圖中全部變量的特定聯合概率分布，通過獲得節點的聯合概率分布來獲取某一事件的概率。貝葉斯網絡結構成立的前提是隨機變量相對獨立。

貝葉斯網絡中變量的聯合概率分布為：

式中：Pa（Xi）為節點Xi的所有父節點變量集。

聯合概率分布的連續函數形式為：

要想得到指定變量的邊緣概率分布，需要得到聯合概率分布。例如，假設有兩個離散隨機變量X和 Y，X 有 m 個狀態，X={a1，a2，…am}，Y 有 n 個狀態，Y={b1，b2，…，bn}，得到聯合概率分布 P（X，Y），則能計算出X的邊緣概率分布P（X）：

式（3）的連續形式為：

4 動態邏輯門的貝葉斯網絡表示

4.1 優先與門

如果節點事件A在節點事件B前失效，那么節點事件X與節點事件B同時失效。如果節點事件B在節點事件A前失效，那么節點事件X在將來無窮遠的時間失效，如圖1、圖2所示。

圖1 優先與門

圖2 優先與門貝葉斯網絡圖

優先與門輸出的條件概率密度函數為：

節點的故障概率分布函數為：

考慮 x＜∞，δ(x-∞)=0，則 X 在時間段[0，t]的故障發生概率為：

有n個輸入事件的故障樹與門，則X在時間段[0，t]的故障發生概率為：

4.2 優先或門

優先或門表示只有當第一個輸入門，也就是故障樹最左邊輸入門失效時，整個門才輸出失效，如圖3、圖4所示。由圖2、圖4可見，優先與門和優先或門的貝葉斯網絡圖一致。

圖3 優先或門

圖4 優先或門貝葉斯網絡圖

優先或門輸出的條件概率密度函數為：

優先或門輸出的邊緣概率分布函數為：

δ（x-∞）=0，則 X 在時間段[0，t]的故障發生概率為：

有n個輸入事件的故障樹或門，則X在[0，t]時間段的故障發生概率為：

5 馬爾可夫鏈法

由于真實工程系統中零部件故障的形成很復雜，彼此間有很多聯系，有的是靜態的，有的是動態的，而且部件故障還存在發生順序的問題，因此傳統的靜態故障樹是無法準確表達零部件失效的原因和結果的，需要馬爾可夫模型方法來解決這些問題。應用馬爾可夫鏈法處理動態子樹，先要將動態子樹處理為對應的馬爾可夫鏈，繼而根據動態故障樹狀態轉移圖，獲得故障模式和傳遞線路。對于狀態轉移圖，若馬爾可夫鏈最后的狀態為系統故障，那么該鏈上的全部事件故障的轉移關系稱為系統的一種故障。從系統故障的狀態開始，順著馬爾可夫鏈返回追蹤，能夠得到動態故障樹系統的全部故障狀態。

一條鏈在Δt時段內，事件發生概率為λij，狀態i轉移到狀態j的轉移概率為：

狀態i的自身轉移概率Pij（Δt）為：

鏈長為1的狀態轉移鏈如圖5所示。

圖5 鏈長為1狀態轉移鏈

令Pj（t）是該轉移鏈使系統在時刻t處于鏈長為1狀態的概率，那么，P（t）=（P0（t），P1（t））符合下列微分方程組及初始條件：

對于系統的狀態轉移鏈，由0到j若有鏈長為1的狀態轉移鏈T1，則Pj（t）在T1上的分量為：

式中：λ00＞0；λjj≥0。

鏈長為2的狀態轉移鏈如圖6所示。

圖6 鏈長為2狀態轉移鏈

由0到j若有鏈長為2的狀態轉移鏈T2，則Pj（t）在T2上的分量為：

鏈長為n的狀態轉移過程如圖7所示。

圖7 鏈長為n狀態轉移鏈

式中：j=1，2，…n；λkk＞0；λjj≥0。

當 j=n 時，λnn=0，則有：

6 優缺點比較

6.1 貝葉斯網絡法

貝葉斯網絡所具有的條件獨立的特性可以降低系統計算的難度，尤其適用于分析擁有隨機性質的不確定動態時序系統。在計算的過程中，避開了組合爆炸，且所求得的計算結果精度會有所提高。同樣也可以應用于對動態復雜系統備件節點失效的處理，因為可以表達系統的多態性和不確定性。

在應用貝葉斯網絡時，會因為其固有的不確定性事件之間因果關系的缺陷，而需要確定事件間的關聯概率，因此增大了網絡構成的難度。對于建模的過程，需要相關科研人員不斷進行改進，但處理過程可能反而變得麻煩。

6.2 馬爾可夫鏈法

馬爾可夫鏈法是利用狀態空間矩陣的方法來描述系統中各個狀態轉移的隨機過程，可以充分描述系統故障的順序相關性、功能相關性、優先性等動態特點，具有對不確定性進行推理的能力。

應用馬爾可夫鏈法處理分析較大的動態故障系統時，隨著底事件及中間事件數量的增加，計算量會變得很大，而且應用馬爾可夫鏈法是需要一定前提的，只有組成系統的所有部件的壽命和維修時間都滿足指數分布時，才可以對其進行分析和處理。因此，馬爾可夫鏈法無法在實際系統中得以廣泛推廣應用。

7 結束語

將故障樹分析法應用于分析故障系統時，僅僅對系統總體采用了故障樹建模，而未對系統每一個部分進行定性定量分析，因此還需要細化延伸對各模塊分別處理。對于智能化分析的要求，也沒有特定完善的故障樹分析軟件。

對于兼顧分析模糊不確定性和動態失效特性等條件下的故障樹處理，現有成果仍然欠缺，因此導致應用現有研究手段來處理獲得的數據與現實情況不匹配，甚至有很大的出入。于是，針對結合零部件動態故障特征和模糊無法確定的系統可靠性處理方法，其發展有很大空間。

針對上述有待改進的問題，相關學者提出可以從模塊化的思維入手來對系統故障樹建模，使所建立的故障樹模型結構更加符合實際要求。將過于巨大的系統進一步細化分解，最終重新將故障樹各個模塊子樹組合成整體進行分析。此外，對于分析處理某些效率較低的算法，出現計算機系統處理無法匹配的現象，算法設計者可以應用多線程并行處理計算的方法來攻克這些問題。

目前我國對于應用計算機作為輔助來建立故障樹和計算機自行處理計算的研究還不是十分完善，普遍只是應用于試驗階段的單一制圖，尚無法直接對故障樹定性和定量處理。個別研究領域的學者開發出的軟件只能應用于自身所在領域所特定的故障樹定性和定量處理，尚無法隨著系統條件的改變而隨意更改故障樹。由于存在諸多尚未解決的問題，因此故障樹分析法還無法突破領域間的界限。

無論是馬爾可夫鏈法，還是貝葉斯網絡法，都是用于處理不確定問題的方法，可以在此基礎上考慮研究結合其它不確定理論及處理方法，從而在多種類別問題上構造出更為適合不確定問題，且可以應用于更大范圍的通用解決方法。

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