多模塊浮體ADAMS動力學仿真及連接器對響應特性的影響

徐道臨， 戴 超， 張海成

(湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室， 湖南 長沙 410082)

引 言

隨著陸地資源的過度開發，導致陸地資源和空間不斷減少，各國都把目光投向了豐富的海洋資源。海上超大型浮體(VLFS)正是由此應運而生的一種高端海工裝備，它可以用來開采海底資源，同時可以作為軍事基地使用，也可以營造出和陸地環境相似的人工浮島，從而擴大人類在海上的生存和活動空間[1]。加大對海上大型浮體的研發與制造，有助于推動海洋經濟的發展與海洋工程技術的進步，同時有助于提升中國的綜合實力，并且將創造出全新的人類海上生存與活動模式的形態[2]。

為了更好地開發利用海洋資源，各國加強了對海上大型浮體的研究與制造。20世紀90年代，日本對浮箱式海上大型浮體Mega-Float進行了研究[3]。而后美國提出了一種新的海上大型浮體形式——半潛式可移動海上浮動基地[4](Mobile Offshore Base,縮寫MOB)。除了日本和美國之外，中國[5]、荷蘭[6]、英國[7]、挪威[8]、新加坡[9]、韓國[10]等國家也對海上大型浮體進行了相關研究。

海上大型浮體的研究主要基于兩種結構——浮箱式和半潛式。與尺度以百米計的大型油輪或海洋石油平臺相比，海上大型浮體的尺度要大一個數量級。由于海上大型浮體扁平的結構特征，一般是運用水彈性理論研究其動力學響應[11]。Wu等運用經典薄板理論將浮體簡化為板模型，采用線性波浪理論來研究浮體響應[12]。Watanabe等指出不同于扁平式浮體，對于高度與長度之比大的浮體結構，有必要采用明德林板理論將浮體看成是厚板來研究[13]。以上所提及的浮體結構都是將浮體看成是單一連續結構來研究，但由于海上大型浮體尺度相當巨大，單一連續結構會導致浮體產生較大的中拱彎矩，并且在建造、運輸和安裝過程中也會產生諸多不便。因此有必要采用多模塊浮體通過連接器相互連接來實現超大型浮體?？紤]到連接器與結構自身剛度間的巨大差異，連接器的特性研究就顯得尤為重要。Maeda等運用切片法(strip method)研究了在規則波中一維剛性模塊、剛性連接器浮體的響應[14]。Fu等指出非剛性連接器比剛性連接器能更好地減小水彈性響應，建議采用鉸接或半剛性連接器[15]。Xia等將浮體看作由理想的連接器連接的二維鉸接板模型來研究，理想的連接器是兩個相互獨立的、線性的垂直彈簧和扭轉彈簧。他們的研究表明入射波浪周期和連接器剛度對浮體水彈性響應影響很大[16]。Michailides等研究了一種在橫向和縱向上用柔性連接器連接的箱式浮體的水彈性響應，研究表明連接器的剛度與箱式浮體的水彈性響應有復雜的關系[17]。為了減小浮體的水彈性響應，半潛式浮體平臺是較好的結構形式?？紤]到半潛式平臺結構的復雜性和浮體的大尺度，很難采用精確的有限元模型進行分析，因此Wang和Ertekin等指出在初步設計時應采用剛性結構模塊、柔性連接器的浮體模型[18]。在上述模型中，柔性連接器通常被假定為在幾個自由度方向具有線性剛度的“無長度”彈簧[19]。Tyagi和Paulling介紹了一種由4個半潛式模塊構成的剛體模塊、柔性連接器的浮體模型，其中連接是采用具有彈性和阻尼特性的鉸接形式[20]。關于超大型浮體動力學響應及連接器載荷預報的研究還有很多，這里不一一列舉，但總結以往研究不難發現，傳統研究大部分是采用經典板梁模型或有限元模型對海上大型浮體進行建模，連接器通常采用鉸接和理想解耦的線性彈簧模型，由于浮體模塊和連接器尺度的巨大差異，模塊的運動在連接處會產生較大的位移，由此引起連接器的幾何非線性特性?？紤]這種非線性的影響，文獻[21]通過對非線性和線性化預報結果進行對比，發現傳統線性預報方法低估了系統的響應及連接器載荷。此外，以上研究均集中在對于某種特定連接器而進行的動力學響應及載荷預報，對于不同連接器的對比分析研究鮮有涉及。然而，連接器作為多模塊浮式平臺的關鍵部件，它的結構形式對于大型浮式平臺的動力學響應及穩定性具有重要的影響。因此通過研究不同拓撲構型的連接器的動力學特性，規范出連接器設計準則，具有重要的理論意義和工程指導價值。

作者前期的工作應用非線性網絡動力學理論對海上大型浮體進行研究，提出了一種大型浮體動力學預報的新方法[22]，發現了同步化、階躍和振幅死亡等復雜而豐富的動力學現象[23]。然而，在應用非線性網絡動力學理論對浮體進行研究時，由于高維多自由度耦合產生的復雜非線性數學公式的推導相當復雜，因此有必要探索通過大型商業軟件來簡化推導過程并提高該方法的實用性。本文基于水動力學參數，探索采用ADAMS軟件研究海上大型浮體的非線性動力學特性。運用該商業軟件可以省去連接器力學模型復雜的公式推導過程，便于修改連接器模型，并且具有可視化強等優點。首先采用ADAMS軟件構建了鏈狀拓撲結構的海上大型浮體系統的虛擬樣機模型，通過動力學仿真研究不同的連接器拓撲構型對海上大型浮體的響應和連接器載荷的影響。探討了振幅死亡與連接器剛度和波浪周期之間的關系，并在波浪周期與連接器剛度所構成的二維參數域內繪制了振幅死亡區域圖，為浮體平臺的結構穩定性設計提供了理論指導。

1 海上大型浮體ADAMS網絡動力學建模

本文主要目的是研究各類連接器構型設計對海上大型浮體的穩定性特性影響，采用ADAMS商業軟件平臺可以非常方便地設計和修改連接器模型，無需冗長的數學推導過程。為了探索ADAMS的技術可行性，本文考慮二維簡化模型，如圖 1所示。海上大型浮體是由N個模塊通過柔性連接器組合而成的，在浮體兩端施加有錨鏈約束，所有浮體都自由漂浮于水面，水深為常數h。坐標系定義如下：x軸處于未擾動的自由液面，z軸垂直水平面豎直向上。假設浮體所處水域為理想的液體，浮體為剛體，浮體間采用柔性連接器連接。

圖1 多模塊海上大型浮體簡化模型Fig.1 Sketch of the multi-module very large floating structure

采用線性波浪理論[24]，可以得到第i個浮體的動力學方程

(1)

式中Xi=[xi,zi,βi]T是第i個浮體的位移向量;xi,zi,αi分別代表第i個浮體的縱蕩、垂蕩和縱搖。Mi,Si是第i個浮體的質量和靜水恢復力矩陣[25]。

由線性波浪理論可知，波浪激勵對第i個浮體的速度勢可以分解為入射勢、散射勢與輻射勢。μi和λi是由于輻射勢引起的附加質量矩陣和附加阻尼矩陣，兩者可通過特征值展開匹配法[26]求得?？紤]到浮體間波浪相互作用的復雜性，而為了方便探索ADAMS的技術可行性，簡化波浪載荷模型，只考慮入射波，忽略散射波對浮體的影響，這種處理方法不會影響ADAMS的適用性，則式(1)中的波浪力可寫為

(2)

為了對比研究不同連接器拓撲構型對浮動平臺動力學特性的影響，本文提出了5種不同的連接器拓撲構型，分別是平行鉸接式、中間鉸接交叉式、中間鉸接復合式、交叉式和復合式，如圖2所示。平行鉸接式連接器由2根水平彈簧組成，水平彈簧兩端分別與相鄰的兩個浮體鉸接；中間鉸接交叉式連接器由4根斜彈簧組成，4根彈簧一端與浮體鉸接，另一端均鉸接于同一點；中間鉸接復合式連接器是平行連接式和中間鉸接交叉式連接器的組合；交叉式連接器是由2根斜彈簧組成，斜彈簧兩端分別與相鄰的2個浮體鉸接；復合式連接器是平行連接式和交叉式連接器的組合。5種連接器均能限制浮體的縱蕩、垂蕩和縱搖運動。不同構型連接器在浮體上鉸接點的垂向間距為δ2，浮體間初始間距均為δ1。

圖2 不同連接器構型示意圖Fig.2 Sketch of different connector configurations

采用ADAMS軟件能夠方便快捷地構建多剛體動力學模型，避免連接器復雜的幾何非線性公式推導，同時能夠反映連接處的強幾何非線性特性，也可以通過這種技術路徑來驗證網絡動力學方法。

在ADAMS軟件中進行建模，每個浮體質心處所受的力如式(2)所示，其中力的幅值和相位均作參數化處理。連接器中的彈性元件可由相同剛度特性的彈簧來替代，彈簧剛度也同樣進行了參數化，這樣使得之后修改參數優化模型更加方便快捷。

結合式(1)，可以得到海上大型浮體一般的動力學模型表達式

(3)

式中Ki為第i個浮體所受到的錨鏈力的剛度矩陣，本文所考慮的模型只有第1個浮體和第5個浮體上施加錨鏈約束，錨鏈力的剛度矩陣是依據參考文獻[25]求得的。Fi是連接器施加在第i個浮體上的力，本文采用ADAMS軟件建模，避免了連接器復雜的表達式推導，使得建模過程簡單方便。通過定義浮體的連接點，可以快速實現對任意拓撲結構連接器的設計和改型，這是使用ADAMS軟件平臺的方便之處。

2 連接器對多模塊浮體動力學響應特性影響

對浮體ADAMS模型進行動力學仿真，分析不同連接器模型在不同波浪周期和連接器剛度設置情況下對浮體動力學響應特性的影響。以此為基礎，探討階躍、振幅死亡和同步化協同效應這些非線性動力學響應特性。

2.1 海上大型浮體參數設置

本文選取浮體的總數為N=5，單浮體的幾何參數參照文獻[28]中的模型數據，選取浮體長度L=200 m，型高D=8 m，吃水深度d=5 m，浮體單位長度質量m0=5 125 kg/m，水深h=50 m，波浪周期T=10 s，波幅a=3 m進行動力學仿真。在ADAMS軟件中仿真類型為動力學仿真，仿真時長為1000 s，積分步長為0.01 s。

2.2 多模塊浮體非線性響應特性

圖3展示了各浮體縱蕩、垂蕩和縱搖響應幅值隨平行鉸接式連接器剛度的變化。圖 3(a)給出了使用ADAMS和MATLAB對海上大型浮體進行動力學仿真結果對比，其中，MATLAB仿真結果是依據網絡動力學理論建立的數學模型通過數值仿真得到的[21]?？梢钥闯?，使用ADAMS和MATLAB對海上大型浮體進行動力學仿真結果是大體相同的，不同之處在于浮體振動處于大振幅振動狀態時的響應，而當浮體處于微幅振蕩狀態時，兩者結果完全吻合，并且兩者跳躍點可以互相吻合。因為本文主要關注浮體微幅振蕩的參數域，即振幅發生跳躍時的波浪參數和連接器剛度參數，所以使用ADAMS對海上大型浮體進行動力學仿真分析是可行的。

通過圖 3(a),(b),(c)可以看出，在連接器剛度kc≈0.60×105N/m時，浮體縱蕩、垂蕩和縱搖響應幅值有一個大幅增大的階躍現象；而在kc≈1.4×105N/m時，浮體的振動響應有一個大幅跌落的現象，在0.60×105N/m

圖3 浮體響應幅值隨平行鉸接式連接器剛度變化(T=10 s)Fig.3 The response amplitudes of floating structures change with the stiffness of paralleled hinged connector(T=10 s )

2.3 連接器形式對浮體動力特性的影響

2.3.1 不同連接器設計對浮體動力響應的影響

圖 4展示的是浮體響應幅值隨不同連接器的剛度變化。圖 4(a),(d),(g),(j),(m)表示5種連接器的浮體縱蕩響應，大幅振動所對應的連接器剛度區間分別為平行鉸接式：0.60×105N/m

圖4 浮體響應幅值隨不同連接器的剛度變化(波浪周期T=10 s ；平行鉸接式：(a)～(c);中間鉸接交叉式：(d)～(f)；中間鉸接復合式：(g)～(i)；交叉式：(j)～(d))；復合式：(m)～(o)Fig.4 The response amplitudes of floating structures change with the stiffness of different connector(wave period T=10s ; paralleled hinged connector: (a)～(c); middle articulated cross connector: (d)～(f); middle articulated composite connector: (g)～(i); cross connector: (j)～(l); composite connector: (m)～(o)

由于海上大型浮體所處的海洋環境是變化的，即入射波波浪周期是變化的，因此本文繪制了浮體響應幅值隨不同的波浪周期變化圖，如圖5所示。從圖5(b),(e),(h),(k),(n)可以看出，不同連接器對浮體垂蕩響應基本沒有影響，響應曲線基本類似，這說明5種連接器對于浮體垂蕩方向上的約束作用大體相同。浮體垂蕩響應有4個大振幅區間，分布于4個波浪周期頻段內，在T=19.8 s 達到最大值。從圖5 (a),(c)可以看出，由平行鉸接式連接器連接的浮體，其縱蕩響應有3個大振幅區間，縱搖響應有4個大振幅區間。從圖5(d),(f)可以看出，由中間鉸接交叉式連接器連接的浮體，其縱蕩響應有2個大振幅區間，縱搖響應有4個大振幅區間。從圖5(g),(i)可以看出，由中間鉸接復合式連接器連接的浮體，其縱蕩響應有4個大振幅區間，縱搖響應有4個大振幅區間。從圖5 (j),(l)可以看出，由交叉式連接器連接的浮體，其縱蕩響應有2個大振幅區間，縱搖響應有4個大振幅區間。從圖5 (m),(o)可以看出，由復合式連接器連接的浮體，其縱蕩響應有4個大振幅區間，縱搖響應有4個大振幅區間。從圖5(d)～(f)和(j)～(l)可以看出，中間鉸接交叉式連接器和交叉式連接器連接的浮體的振動響應是類似的；從(g)～(i)和(m)～(o)可以看出，中間鉸接復合式連接器和復合式連接器連接的浮體的振動響應是類似的。由此可知，連接器中間是否鉸接對于浮體的振動響應影響是比較小的。

圖5 浮體響應幅值隨不同的波浪周期變化(連接器剛度kc=1.0×105 N/m；平行鉸接式：(a)～(c);中間鉸接交叉式：(d)～(f)；中間鉸接復合式：(g)～(i)；交叉式：(j)～(l)；復合式：(m)～(o)Fig.5 The response amplitudes of floating structures change with different wave periods(stiffness of connector kc=1.0×105 N/m; paralleled hinged connector: (a)～(c); middle articulated cross connector: (d)～(f); middle articulated composite connector: (g)～(i); cross connector: (j)～(l); composite connector: (m)～(o)

2.3.2 不同連接器的非線性載荷特性分析

連接器載荷對于海上大型浮體安全性至關重要，因此本文做出了不同連接器載荷隨連接器剛度變化，如圖6所示。從圖6 (a),(b)可以看出，平行鉸接式連接器的載荷隨剛度變化情況與相同條件下浮體響應(參照圖 4(a),(b),(c))相同，它們的峰值區間均為0.60×105N/m

圖6 連接器載荷隨不同連接器的剛度變化(波浪周期T=10 s；平行鉸接式：(a),(b);中間鉸接交叉式：(c),(d)；中間鉸接復合式：(e),(f)；交叉式：(g),(h)；復合式：(i),(j)Fig.6 Load of connector changes with the stiffness of different connectors(wave period T=10 s ; paralleled hinged connector: (a),(b); middle articulated cross connector: (c),(d); middle articulated composite connector: (e),(f); cross connector: (g),(h); composite connector: (i),(j)

從圖7(a),(b)可以看出，平行鉸接式連接器載荷響應有3個峰值區間，最大峰值達到8.2×105N。從圖7 (c),(d)可以看出，中間鉸接交叉式連接器載荷除了在波浪周期為8 s和11 s附近比較小，其他波浪周期參數下載荷均比較大，最大載荷達到5.2×105N。從圖 7 (e),(f)可以看出，中間鉸接復合式連接器載荷響應有4個峰值區間，最大峰值達到7.3×105N。從圖7 (g),(h)可以看出，交叉式連接器載荷除了在波浪周期為8 s和11 s附近比較小，其他波浪周期參數下載荷均比較大，最大載荷達到1.09×106N。從圖7 (i),(j)可以看出，復合式連接器載荷響應有4個峰值區間，最大峰值達到8.2×105N。對比圖7中5種連接器的載荷隨波浪周期的變化特性可以得知，中間鉸接交叉式和交叉式連接器載荷響應峰值區間較大，5種連接器載荷隨波浪周期變化都比較大。同一種連接器，第1、第2個浮體之間的連接器同第2、第3個浮體之間的連接器，其載荷響應基本相同，即峰值區間分布相同，峰值區間載荷大小基本相同。同時，不同連接器之間載荷響應并不相同。當固定一個連接器的剛度，從不同波浪周期的變化導致的載荷峰值水平來看，并不能判斷不同連接器性能的優劣。

2.3.3 不同連接器對浮體系統的振幅死亡特性影響

研究浮體的微幅振動狀態對浮體系統的穩定性設計十分重要。由圖 3浮體的響應幅值曲線可知，浮體在0.60×105N/m

圖7 連接器載荷隨不同的波浪周期變化(連接器剛度kc=1.0×105 N/m；平行鉸接式：(a),(b);中間鉸接交叉式：(c),(d)；中間鉸接復合式：(e),(f)；交叉式：(g),(h)；復合式：(i),(j)Fig.7 Load of connector changes with different wave periods(stiffness of connector kc=1.0×105 N/m; paralleled hinged connector: (a),(b); middle articulated cross connector: (c),(d); middle articulated composite connector: (e),(f); cross connector: (g),(h); composite connector: (i),(j)

由于連接器剛度和入射波波浪周期對大型浮體的穩定性有至關重要的影響，故本文繪制了5種連接器在連接器剛度和波浪周期所構成的二維參數域內的振幅死亡圖譜，如圖 8所示。因為本文所考慮的浮體系統是相互耦合的，所以浮體響應呈現出網絡協同效應，即浮體的響應模式是一致的，因此只需要考察浮體系統中某個浮體響應的振幅死亡特性，本文考察的是第3個浮體縱蕩響應。圖中橫坐標是波浪周期，參數區間為8 s

圖8 不同連接器浮體振幅死亡參數域(AD表示振幅死亡區域，Others表示混沌或大幅振蕩響應)Fig.8 Amplitude death parameter domains of floating structure with different connectors (AD stands for amplitude death area, others stand for chaos or large oscillation response)

3 結 論

本文采用非線性網絡動力學理論，運用ADAMS軟件建立了鏈式結構海上大型浮體的參數化虛擬樣機模型。通過修改相關參數和改變連接器拓撲結構，即可對不同拓撲結構的大型浮體進行動力學仿真分析。通過動力學仿真，研究了5種連接器構型在不同連接器剛度和不同入射波波浪周期下，對大型浮體縱蕩、垂蕩和縱搖響應以及連接器載荷的影響。通過分析仿真結果，探討了海上大型浮體模塊間的網絡協同作用和振幅死亡現象。在此基礎上，本文繪制了5種連接器在連接器剛度和波浪周期所構成的二維參數域內的振幅死亡區域圖，探討了5種連接器在不同參數下對浮體振動狀態的影響，對于海上大型浮體穩定性設計具有重要參考價值。

[1] Gao R P, Tay Z Y, Wang C M, et al. Hydroelastic response of very large floating structure with a flexible line connection[J]. Ocean Engineering, 2011, 38(17): 1957—1966.

[2] 吳有生，田 超，宗 智，等. 波浪環境下超大型浮式結構物的水彈性響應研究[C].第25屆全國水動力學研討會暨第12屆全國水動力學學術會議文集(上冊).中國浙江舟山:海洋出版社，2013：1—13.

WU You-sheng, TIAN Chao, ZONG Zhi, et al. Hydroelastic investigation on dynamic response of VLFS under wave environment near ocean island[C].The Twenty-fifth National Hydrodynamics Seminar and Corpus of the Twelfth National Hydrodynamics Conference(Volume one). Zhoushan, Zhejiang Province, China: China Ocean Press, 2013: 1—13.

[3] Wang C M, Tay Z Y, Takagi K, et al. Literature review of methods for mitigating hydroelastic response of VLFS under wave action[J]. Applied Mechanics Reviews, 2010, 63(3): 030802.

[4] Mcallister K R. Mobile offshore bases—an overview of recent research[J]. Journal of Marine Science and Technology. 1997, 2(3): 173—181.

[5] 崔維成, 吳有生,李潤培. 超大型海洋浮式結構物開發過程需要解決的關鍵技術問題[J]. 海洋工程, 2000, 18(3): 1—8.

CUI Wei-cheng, WU You-sheng, LI Run-pei. Technical problems in the development of very large floating structures[J]. Ocean Engineering, 2000, 18(3): 1—8.

[6] Pinkster J A. Mean and low frequency wave drifting forces on floating structures[J]. Ocean Engineering, 1979, 6(6): 593—615.

[7] Bishop R E D, Price W G, Wu Y. A general linear hydroelasticity theory of floating structures moving in a seaway[J]. Philosophical Transactions of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 1986, 316(1538): 375—426.

[8] Faltinsen O M, Landrini M, Greco M. Slamming in marine applications[J]. Journal of Engineering Mathematics, 2004, 48(3-4): 187—217.

[9] Koh H S, Lim Y B. The floating platform at the Marina Bay, Singapore[J]. Structural Engineering International, 2009, 19(1): 33—37.

[10] Kim B W, Hyoung J H, Hong S Y, et al. Influences of stiffness distributions on hydroelastic responses of very large floating structures[J]. Journal of the Society of Naval Architects of Korea, 2005, 42(3): 220—232.

[11] Watanabe E, Utsunomiya T, Wang C M. Hydroelastic analysis of pontoon-type VLFS: a literature survey[J]. Engineering Structures, 2004, 26(2): 245—256.

[12] Wu C, Watanabe E, Utsunomiya T. An eigenfunction expansion-matching method for analyzing the wave-induced responses of an elastic floating plate[J]. Applied Ocean Research, 1995, 17(5): 301—310.

[13] Watanabe E, Utsunomiya T, Wang C M, et al. Benchmark hydroelastic responses of a circular VLFS under wave action[J]. Engineering Structures，2006, 28(3): 423—430.

[14] Maeda H, Maruyama S, Inoue R, et al. On the motions of a floating structure which consists of two or three blocks with rigid or pin joints[J]. Naval Architecture and Ocean Engineering, 1979, 17: 91—98.

[15] Fu S, Moan T, Chen X, et al. Hydroelastic analysis of flexible floating interconnected structures[J]. Ocean Engineering，2007, 34(11): 1516—1531.

[16] Xia D, Kim J W, Ertekin R C. On the hydroelastic behavior of two-dimensional articulated plates[J]. Marine Structures，2000, 13(4): 261—278.

[17] Michailides C, Loukogeorgaki E, Angelides D C. Response analysis and optimum configuration of a modular floating structure with flexible connectors[J]. Applied Ocean Research，2013, 43(5): 112—130.

[18] Wang D, Ertekin R C, Riggs H R. Three-dimensional hydroelastic response of a very large floating structure[J]. International Journal of Offshore and Polar Engineering，1991, 1(04):307—316.

[19] Riggs H R, Ertekin R C. Approximate methods for dynamic response of multi-module floating structures[J]. Marine Structures, 1993, 6(2): 117—141.

[20] Paulling J R, Tyagi S. Multi-module floating ocean structures[J]. Marine Structures, 1993, 6(2): 187—205.

[21] 徐道臨，盧 超，張海成. 海上浮動機場動力學建模及非線性動力響應特性[J]. 力學學報, 2015, 47(2): 289—300.

Xu Daolin, Lu Chao, Zhang Haicheng. Dynamic modeling and nonlinear characteristics of floating airport[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2015, 47(2): 289—300.

[22] Zhang H C, Xu D L, Xia S Y, et al. Nonlinear network modeling of multi-module floating structures with arbitrary flexible connections[J]. Journal of Fluids and Structures, 2015, 59: 270—284.

[23] Zhang H, Xu D, Lu C, et al. Amplitude death of a multi-module floating airport[J]. Nonlinear Dynamics, 2015, 79(4): 2385—2394.

[24] Stoker J J. Water Waves: The Mathematical Theory With Applications[M]. John Wiley & Sons, 2011.

[25] Sannasiraj S A, Sundar V, Sundaravadivelu R. Mooring forces and motion responses of pontoon-type floating breakwaters[J]. Ocean Engineering, 1998, 25(1): 27—48.

[26] Zheng Y H, You Y G, Shen Y M. On the radiation and diffraction of water waves by a rectangular buoy[J]. Ocean Engineering, 2004, 31(8): 1063—1082.

[27] Zhang H C, Xu D L, Lu C, et al. Network dynamic stability of floating airport based on amplitude death[J]. Ocean Engineering, 2015, 104: 129—139.

[28] 王志軍，李潤培，舒 志. 箱式超大型浮體結構在規則波中的水彈性響應研究[J]. 海洋工程, 2001, 19(3): 9—13.

WANG Zhijun, LI Runpei, SHU Zhi. Study on hydroelastic response of box shaped very large floating structure in regular waves[J]. Ocean Engineering, 2001, 19(3): 9—13.

[29] Xu D L, Zhang H C, Lu C, et al. Analytical criterion for amplitude death in nonautonomous systems with piecewise nonlinear coupling[J]. Physical Review E, 2014, 89(4): 42906.

[30] Saxena G, Prasad A, Ramaswamy R. Amplitude death: the emergence of stationarity in coupled nonlinear systems[J]. Physics Reports, 2012, 521(5): 205—228.

[31] Karnatak R, Punetha N, Prasad A, et al. Nature of the phase-flip transition in the synchronized approach to amplitude death[J]. Physical Review E, 2010, 82(4): 46219.

[32] Zhai Y, Kiss I Z, Hudson J L. Amplitude death through a Hopf bifurcation in coupled electrochemical oscillators: Experiments and simulations[J]. Physical Review E, 2004, 69(2): 26208.

[33] Resmi V, Ambika G, Amritkar R E. General mechanism for amplitude death in coupled systems[J]. Physical Review E, 2011, 84(4): 46212.