一種車載小直角棱鏡方位自動測量系統誤差分析

王學根，孫 煜，賀永喜，姜 華

0 引 言

在火箭的方位瞄準系統中，直角棱鏡作為慣性測量組合的方位敏感目標，固連在箭體上，地面瞄準設備通過對直角棱鏡方位信息的測量，完成對火箭慣性測量組合的初始方位瞄準[1,2]。在車載情況下，火箭和瞄準設備都安裝在一輛載車上，其相對位置大致不變，瞄準設備開機后數分鐘內就能完成對箭上直角棱鏡方位信息的測量，不再需要設備架設及其它人為操作，這種瞄準系統就是自動瞄準系統。在自動瞄準系統中，完成對直角棱鏡方位角信息測量的設備通常為高精度自準直測角光管（簡稱“自準直光管”），其光電軸代表瞄準系統的基準方位，自準直光管測出箭上直角棱鏡的方位信息，然后通過解算，確定箭上慣性測量組合直角棱鏡法線的初始方位。

在上述自動瞄準系統中，直角棱鏡固定在火箭上，雖然火箭與自準直光管等瞄準設備都安裝在同一輛載車上，但直角棱鏡和自準直光管的位置關系并不能認為保持不變。原因有以下幾點：一是火箭和載車都不能認為是剛體，二是火箭相對載車要進行起豎和回收，它們之間還有相對運動及減震等環節，每次火箭回收到位后的位置不能完全一致。另外，為了縮短火箭測試準備時間，瞄準設備和箭上慣性測量組合都不進行精確調平，隨載車停放位置的地面不水平度的不同，自準直光管與箭上直角棱鏡也會有姿態的相對變化。為了適應箭上直角棱鏡與自準直光管的位置相對變化并確保直角棱鏡總能處于自準直光管的有效測量范圍內，自準直光管的有效口徑相對較大；另一方面，為了減少體積和重量，箭上直角棱鏡越來越小。此種瞄準系統可以稱為一種小目標直角棱鏡及大口徑自準直光管的方位自動測量系統。由于測量時自準直光管不重新架設、箭上直角棱鏡不調平，其二者之間可能存在著姿態、位置變化等因素，分析小目標直角棱鏡及自準直光管的姿態及位置變化對方位測量的影響，并對其可能帶來的測量誤差[3]采取針對性的控制措施，對提高自動測量系統的精度指標很有必要。由于位置變化引入的誤差可以通過控制自準直光管與小目標棱鏡的相對位置變化量進行抑制，因此本文對此項誤差不再分析。

1 直角棱鏡姿態對方位測量的影響

1.1 直角棱鏡棱線水平時對方位測量的影響

1.1.1 直角棱鏡棱線水平時的反射作用矩陣

圖1為直角棱鏡與自準直光管組成的自動測量系統示意。

圖1 直角棱鏡與自準直光管組成的自動測量系統示意Fig.1 Auto-measuring System Composed of the Prism and Auto Collimating Light Pipe

如圖 1所示，自準直光管和直角棱鏡放置在圖 1中右手螺旋坐標系中，直角棱鏡的棱線與 X軸平行，則直角棱鏡的兩個反射面面1、面2法線的單位矢量N1、N2可分別表示為，

根據平面鏡反射定律，平面鏡的法線矢量為，其反射作用矩陣為R，則：

把1N、2N分別代入式（1），得直角棱鏡反射面1的反射作用矩陣，直角棱鏡反射面2的反射作用矩陣 R2，所以直角棱鏡的反射作用矩陣為

1.1.2 自準直光管水平測量時的影響

假設自準直光管呈水平狀態對直角棱鏡法線的方位進行測量，在圖1的右手螺旋坐標系中，自準直光管測量光束的單位矢量可記為：，測量光束照射到直角棱鏡并經過反射面面1、面2的反射，其返回的光束單位矢量為。

可見自準直光管的測量光束被直角棱鏡原路返回，此種情況不會引入方位測量誤差。

1.1.3 自準直光管傾斜測量時的影響

假設自準直光管與Y軸呈β角（β角的符號根據右手螺旋法則確定）對直角棱鏡法線的方位進行測量，在圖1所示的右手螺旋坐標系中，自準直光管的測量光束的單位矢量可記為：，測量光束照射到直角棱鏡并經過反射面面1、面2的反射，則其返回光束的單位矢量為11′= =A HA

可見自準直光管的測量光束被直角棱鏡原路返回，此種情況不會引入方位測量誤差。

1.2 直角棱鏡棱線傾斜對方位測量的影響

1.2.1 直角棱鏡棱線傾斜θ角時的反射作用矩陣

直角棱鏡棱線傾斜 θ角時，相當于直角棱鏡繞 Y軸轉動θ（θ角的符號根據右手螺旋法則確定）根據矢量繞Y軸轉動θ角的轉動公式[4,5]：

直角棱鏡的反射面面1的法線矢量為=；直角棱鏡的反射面面 2的法線矢量為

將、代入（1），得直角棱鏡反射面面1、面2的反射作用矩陣分別為

所以直角棱鏡棱線傾斜θ時的作用矩陣為

1.2.2 自準直光管水平測量時的影響

自準直光管呈水平狀態對直角棱鏡法線的方位進行測量，自準直光管的測量光束單位矢量可以記為[6]，則測量光束經直角棱鏡反射后，其返回光束的單位矢量為，可見自準直光管的測量光束被直角棱鏡原路返回，此種情況不會引入方位測量誤差。

1.2.3 自準直光管傾斜測量時的影響

同1.1.3節，自準直光管的測量光束單位矢量可記為，經直角棱鏡反射后，其返回光束的單位矢量為。比較 A3與A3′，可見自準直光管測量光束被直角棱鏡反射后不再原路返回。其在坐標系XY面內與Y軸之間的夾角為

在小角度情況下，2θ ≈sin(2θ)，tan(α)≈α，因此式（5）可簡化為

式（6）即是直角棱鏡棱線傾斜且自準直光管有俯仰角測量的工況下引入的方位測量誤差，誤差值大小與直角棱鏡棱線的傾斜角θ、自準直光管的俯仰角的正切值tanβ成正比，誤差值的正負號取決于直角棱鏡棱線傾斜角θ的定義。

2 光管光軸不水平帶來的方位影響

自準直光管隨瞄準設備安置在載車上，在載車靜止后，根據地面情況對載車橫向進行大致調平，調平精度在5′以內，由于載車長、寬尺寸都比較大，其不能作為一個剛體看待。因此自準直光管總是存在俯仰和橫滾兩個方向不水平度的姿態，下面分別分析自準直光管俯仰和橫滾兩種不水平姿態對方位測量的影響。

2.1 自準直光管俯仰姿態對測量的影響

如圖1所示的測量系統，自準直光管與Y軸成β角測量直角棱鏡法線的方位時，自準直光管測量光束的單位矢量記為，直角棱鏡棱線水平時的情況分析如1.1.3節；直角棱鏡棱線有傾斜時的情況分析如1.2.3節。

2.2 自準直光管橫滾姿態對測量的影響

自準直光管橫滾工況是指自準直光管繞 Y軸有個小角度Ψ轉動，此時自準直光管繞X軸存在有轉動和無轉動兩種工況，下面分別進行分析。

2.2.1 自準直光管繞X軸無轉動

自準直光管繞X軸無轉動，僅繞Y軸有Ψ角（Ψ角的符號根據右手螺旋法則確定）轉動，在自準直光管坐標系下其測量光束的單位矢量記為根據矢量轉動式（3），矢量A5繞直角棱鏡坐標系的 Y軸轉動-Ψ角后，即轉換到直角棱鏡的XYZ坐標系，在XYZ坐標系下其單位矢量為，可見A5′與Y軸平行，其水平入射到直角棱鏡。

a）直角棱鏡棱線水平時。

直角棱鏡的反射作用矩陣如式（2）所示，則 A5′經直角棱鏡反射后的單位矢量為再經過矢量轉動公式，變換到自準直光管坐標系下，在自準直光管坐標系下其單位矢量為，因此可得與A5方向相反，該工況不會引入方位測量誤差。

b）直角棱鏡棱線有θ角時。

直角棱鏡的反射作用矩陣如式（4），則 A5′經直角棱鏡反射后的單位矢量[7]為，再經過矢量轉動式（3），變換到自準直光管坐標系下，在自準直光管坐標系下其單位矢量為 A5′ = Sy,ψA5′′=， 因 此 可 得 A5′′ 與A5方向相反，該工況不會引入方位測量誤差。

2.2.2 自準直光管繞X軸轉動β角

在該工況下，自準直光管即繞Y軸有Ψ角轉動，又繞X軸有β角轉動，Ψ角、β角的符號均根據右手螺旋法則確定。自準直光管測量光束的單位矢量在自準直光管坐標系下為[7]：

A6繞Y軸轉動-Ψ角后，轉換到小直角棱鏡所在的XYZ坐標系后其單位矢量為

a）直角棱鏡棱線水平時。

直角棱鏡的反射作用矩陣如公式（2），則 A6′經直角棱鏡反射后的單位矢量為， A6′′再經過矢量轉動公式，變換到自準直光管坐標系下，在自準直光管其單位矢量為

A6′′與A6不再平行，此工況帶來的方位測量誤差為

在小角度情況下，2ψ ≈sin(2ψ)，tan(α)≈α，所以：

比較式（6）、式（7）可知，在自準直光管有俯仰角情況下，自準直光管橫滾工況等效于直角棱鏡棱線的相對傾斜工況，其引入的方位測量誤差公式是一樣的。

b）直角棱鏡棱線傾斜θ角時。

直角棱鏡的反射作用矩陣如式（4），則 A6′經直角棱鏡反射后的單位矢量為

A6′′再經過矢量轉動公式，變換到自準直光管坐標系下，在自準直光管坐標系其單位矢量[2]為

A6′′與A6不再平行，此工況帶來的方位測量誤差為在小角度情況下，2(θ +ψ )≈ s in2(θ +ψ)，tan(α)≈α，所以：

式（8）進一步證實：自準直光管橫滾帶來的方位測量誤差等同于直角棱鏡棱線傾斜帶來的方位測量誤差。由式（8）可知，在小角度情況下，自準直光管橫滾及直角棱鏡棱線傾斜引入的方位測量誤差值大小，與直角棱鏡棱線的傾斜角θ及自準直光管橫滾角Ψ的代數和、自準直光管的俯仰角的正切值tanβ成正比。

3 結 論

在小角度情況下，自準直光管橫滾帶來的方位誤差等效于直角棱鏡棱線不水平時測量帶來的方位測量誤差，在自準直光管存在俯仰角測量時二者引入的方位測量誤差公式是一致的。通過測量出直角棱鏡的棱線不水平度、自準直光管的橫滾角及俯仰角可以對這項誤差進行精確補償。如果直角棱鏡的棱線不水平度無法給出，則自準直光管仰角要接近0°測量，才能消除該項方位測量誤差。

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