模糊模范疇中的余極限

周 鑫

(1. 伊犁師范學院 數學與統計分院, 新疆 伊寧 835000; 2. 東北師范大學 數學與統計學院, 長春 130024)

模糊集[1]用于刻畫客觀事物的不確定性, 定義為: 設X是一個非空集合, 集合X的模糊子集可由隸屬函數A:X→[0,1]刻畫, 其中:X稱為A的承載集, 記為K(A)=X; [0,1]稱為真值集. 為了使模糊集概念能刻畫更一般的事物, Goguen[2]引入了L-fuzzy子集的概念, 其真值集由比[0,1]更一般的完全分配格L替代; Rosenfeld[3]引入了模糊子群的概念, 使得模糊代數有了更深入的發展; Negoit?等[4]引入了模糊模的概念; 潘福錚[5-6]介紹了模糊模范疇, 并研究了該范疇中的有限生成模糊模及正合序列等問題.

極限理論是范疇學中的重要概念之一[7], 目前, 模糊模范疇中關于極限和余極限[8]的研究已有許多結果. 例如: 趙彬[9]研究了分子格范疇中的極限問題; Gunduz等[10]定義了模糊模范疇中的正向系統及反向系統， 并討論了正向系統上的正向極限與反向系統上的反向極限以及兩個極限函子的正合性問題. 由于模糊模構成的反向系統上的反向極限函子不能保持正合序列的正合性, 因此進一步引入了反向極限的第一導出函子. 湯建鋼等[11-12]利用極限理論研究了格值集合范疇的層結構性質, 并證明了集合范疇中L-fuzzy結構與層結構的同構關系; 張曉媛等[13]研究了定向空間范疇DTop的逆極限和余極限, 得到了其逆極限和余極限的一致性結果; Boroński等[14]證明了拓撲圖上模糊動力系統的極限問題可實現為流形上模糊動力系統的吸引子等問題; 文獻[15]討論了L-fuzzy模范疇的極限問題. 本文在文獻[10，15]的基礎上, 利用范疇理論, 將模糊模范疇中的正向系統和反向系統推廣到更廣泛的J型圖, 并給出模糊模范疇中的余極限有點式和無點式刻畫. 對于文獻[10]給出的模糊模范疇中余極限的存在性性質, 本文通過引入模糊模范疇中余積的結構性定理, 進一步得到了余極限的存在性、唯一性和結構性定理, 并討論模糊模范疇中極限與余極限的關系.

1 預備知識

1)A(x+y)≥A(x)∧A(y);

2)A(rx)≥A(x);

3)A(0)=1, ?r∈R,x,y∈A.

則稱A是M的模糊左R-子模, 簡稱為模糊左R-?；蚰：? 當需要指出承載集時, 也記為AM.

圖1 F上的余錐形Fig.1 Cocone on F

圖2 F的余極限Fig.2 Colimit of F

2 模糊左R-模的余極限

圖3 F(L )的余極限Fig.3 Colimit of F(L )

圖4 {Aα}α∈J的余積Fig.4 Coproduct of {Aα}α∈J

圖5 {Mα}α∈J的余積Fig.5 Coproduct of {Mα}α∈J

圖6 不交并為余積Fig.6 Disjoint union is coproduct

圖7 {Mα}α∈J的余極限Fig.7 Colimit of {Mα}α∈J

圖8 {Aα}α∈J的余極限Fig.8 Colimit of {Aα}α∈J

圖9 {Mα}α∈J余極限唯一Fig.9 Uniqueness of colimit of {Mα}α∈J

圖10 {Aα}α∈J余極限唯一Fig.10 Uniqueness of colimit of {Aα}α∈J

則由定理2及引理1, 得

是{Aα}α∈J的余極限.

注2余核、推出、余積及余等值子均為特殊的余極限, 故可根據定義4得到相應的概念.

3 余極限函子的伴隨性

圖11 自然變換τFig.11 Natural transformation τ

圖12 函子τ與μ的交換Fig.12 Commutative diagram of functors τ and μ

則

圖13 自然變換|f|Fig.13 Natural transformation |f|

證明: 由文獻[15]中定理4.4的證明及文獻[19]中引理2.6.6的證明類似可得.

證明: 只證1)的第一部分, 其他類似可得.

定理7設I,J是兩個小范疇, 則余極限與小范疇的順序無關, 即

其中:α∈Ob(I );β∈Ob(J ).

證明: 由定理1和定理5可得.