一類含有平方梯度項的塑性流體數學模型正解的存在性及正則性

侯 冰，張大鵬，徐中海

(東北電力大學 理學院，吉林 吉林 132012)

經典解的存在性及其正則性，其中：f1(t)是定義在(-，+)上的非負且嚴格單調遞增的光滑函數，g(t)和f(t)是定義在(0，+)上的非負且嚴格單調遞減的光滑函數.顯然，在此區域上該問題是一個在邊界上退化的非線性橢圓問題.

問題(P)是用來描述塑性流體的一個經典數學模型，是由守恒律得到的(見文獻[1]～文獻[3]).近年來備受關注，且對于這個問題的研究取得了一些重要成果(見文獻[4]～文獻[15]).

本文假設：

(H1)存在常數a0>0，b0>0，使R(a0，b0)≥r0；

(H2)f1(0)=0，f1(t)>0(t≠0)，且f1(t)在(-，+)光滑，在(0，+)上不減；

(H3)g(t)>0，g(t)在(-，0)∪(0，+)光滑，在(0，+)上不減，且

(H4)f(t)>0(t≠0)，且f(t)在(-，0)∪(0，+)光滑，在(0，+)上嚴格遞減；

本文主要給出如下定理：

注1：具有平方梯度項時，文獻[13]中的處理方法不能直接使用，本文把文獻[13]的結果移植到具有梯度平方項的情況.這不是一個簡單的推廣，本文結果獨特的標志是把解的存在性與問題區域的大小直接聯系起來.

注3：文獻[13]中附錄A的有關證明有漏洞，其修正的證明見文獻[16].

1 基本引理及正則化問題解的基本估計

引理1[7](比較原理)

給定方程：

設方程滿足的邊界條件為：

(1)f1：[0，)×Ω→[0，)，對于區域Ω上的任意點X，f1連續且非減；

(2)g：(0，)×Ω→(0，)，對于區域Ω上的任意點X，g連續且非增；

(3)f：(0，)×Ω→(0，)，對于區域Ω上的任意點X，f連續且非增.

我們進一步假設

則ψ≥u≥φ.

考慮問題(P)的下述正則化問題為(1>ε>0)

(Pε)

根據橢圓方程有關經典理論[17]，可以得到關于如下結論：

命題1問題(Pε)有經典解uε，且當(x，y)∈Ω時，0

證明：①證當(x，y)∈Ω時，uε>0.

顯然0是正則化問題(Pε)的下解，則有uε≥0，且

(Eε)

又若(x0，y0)∈Ω，使得uε(x0，y0)=0，即0為該問題解的最小值，則有uεxx≥0，uεyy≥0.而f(ε)>0，所以在點(x0，y0)處(Eε)式不成立.因此，當(x，y)∈Ω時，uε>0.

②證當(x，y)∈Ω時，uε≤a0.

設Φ(x，y)=w(r)，其中：w(r)是當a=a0，b=b0時，文獻[13]中問題(PP)的解.容易驗證，Φ是問題(Pε)的一個上解.顯然Φ≤a0，則由比較原理可得，uε≤a0.證畢.

命題2設問題(Pε)的經典解為uε.則存在1≥λ0>0及1>ε0>0，使得當0<ε<ε0時，?(x，y)∈Ωd={(x，y)∈Ω：r(x，y)≥d}，都有uε(x，y)≥λ0r2(x，y).

證明：?(x0，y0)∈Ωd，設Ω′={(x，y)：(x-x0)2+(y-y0)2

f1(φ+ε)=f1(λs+ε)≤f1(2)，g(φ+ε)=g(λs+ε)>0，φxx=-2λ，φyy=-2λ.

所以

注意到f的性質，存在1≥λ0>0及1>ε0>0，使得當0<ε<ε0，λ=λ0時，有：

應用比較原理：在Ω′內uε(x，y)≥φ(x，y)；特別取(x，y)=(x0，y0)，則有?(x，y)∈Ωd={(x，y)∈Ω：r(x，y)≥d}，uε(x，y)≥λ0r2(x，y).證畢.

由命題2及橢圓方程經典理論[17]得：

2 定理的證明

只須證明解的存在性

在方程兩邊取ε→0時的極限，有