改進希爾伯特-黃變換在電力系統諧波中的應用

李 晨，李 川，姜 飛，張長勝

(昆明理工大學 信息工程與自動化學院，云南 昆明 650500)

隨著電力系統的發展和廣泛應用，電能對人們的生產和生活都有不可替代的作用。但是在電力系統中，由于大量電子設備和非線性負載的存在，使相關的電流和電壓波形產生較大程度的畸變，即諧波污染[1-3]。近年來，諧波對電網的影響也越來越受到電力部門的重視，國內外的專家、學者均對電力諧波的影響[4-5]、計量[6-7]和抑制[8]進行廣泛的研究。1999年，張伏生等人[9]，通過FFT(Fast Fourier Transform，FFT)加窗插值方法提高諧波測量的精度，但都存在一定程度上的頻譜泄露和柵欄效應。2012年，房國志等人[10-11]，提出基于FFT和小波包變換的綜合檢測方法，利用傅里葉變換識別諧波分量，再使用小波包對諧波進行定位和提取，有效的減少了信號提取的運算量，但對于高頻信號分辨率較低易造成信號頻帶混疊現象。

本文針對HHT在進行信號處理時所出現的端點效應問題和模態混疊問題提出了改進方法，采用包絡極值延拓法來減少端點“飛冀現象”，通過對原始信號加入白噪聲輔助分析來消除模態混疊現象。最后，進行實驗仿真。結果表明，改進的希爾伯特-黃變換方法對于暫態擾動信號有更精確的分析和定位。

1 HHT變換原理

希爾伯特-黃變換(Hilbert-Huang Transform，HHT)是1998年Norden E.Huang等人[12]提出的一種經驗數據分析方法，并引入Hilbert譜的概念和Hilbert譜的分析方法。HHT是分析非線性非平穩信號的時頻分析方法，其中包括兩個部分。第一部分為經驗模態分解(Empirical Mode Decomposition，EMD)假設任何復雜信號都可以分解為有限數目且具有一定物理定義的固有模態函數(Intrinsic Mode Function，IMF)，并且能夠依據信號特點將信號從高到低分解成不同頻率的一系列IMF，在自適應獲取信號基函數的同時也造成了模態混疊問題。第二部分為Hilbert譜分析(Hilbert Spectrum Analysis，HSA)，將用Hilbert求得的每一階IMF的瞬時頻率和瞬時幅值，既Hilbert譜。IMF需滿足兩個條件[13-14]：(1) 信號極值點的數量與零點數相等或相差是1；(2) 信號的由極大值定義的上包絡和由極小值定義的下包絡的局部均值為零，即IMF的上下包絡線關于時間軸對稱。

1.1 經驗模態分解(EMD)

(1) 給定任意信號f(t)，得到信號的極值點(至少兩個)，用三次樣條插值法分別擬合信號f(t)的極小值和極大值得到上下兩條包絡線v(t)和u(t)，計算上下兩條包絡線每點對應的均值mi(t)即mi(t)=[ui(t)+vi(t)]/2；

(2)在每點所對應的fi(t)，用fi(t)減去每點所對應的均值mi(t)得到hi(t)=fi(t)-mi(t)。

用得到的hi(t)檢驗是否滿足IMF的兩個條件，若滿足則hi(t)為f(t)的第一個IMF即IMF1；若不滿足則hi(t)作為原始數據fi(t)重復步驟(1)和(2)得到hij(t)，直到hij(t)滿足IMF的兩個條件。

(3)將信號f(t)用EMD分解得到的第一個IMF分量c1，r(t)作為新的原始數據得到r(t)=f(t)-c1。

重復步驟(1)、(2)、(3)得到信號f(t)的第2個IMF分量c2，循環n次得到信號f(t)的第n個IMF分量

(1)

式中rn代表函數的平均趨勢，是信號的殘余分量，其曲線為單調函數或定值。各個IMF分量cn表示了信號的特征尺度，體現非線性非平穩信號的內在模態特征。

1.2 Hilbert譜分析(HSA)

將式(1)中信號的IMF分量ci做希爾伯特譜變換

(2)

得到信號f(t)的解析信號Yi(t)=ci(t)+jHi(t)，由此得到瞬時頻率、瞬時相位和瞬時振幅為

(3)

(4)

(5)

所以f(t)的解析信號可表示為

Yi(t)=ci(t)+jHi(t)=ai(t)ejφi(t)=ai(t)ej?φidt

(6)

以上公式表示了信號f(t)頻率、相位和幅值之間的關系。信號f(t)的幅值可以用時間和頻率的函數H(ω,t)表示

(7)

對時間進行積分即可得到信號的邊際譜

(8)

其中，H(ω,t)是對整個信號的幅值在頻率上隨時間變化規律的描述；而h(ω)是信號在頻率上的總振幅(總能量)。

2 HHT在電力諧波中的應用

基于實際電網中諧波源的不斷變化，造成諧波信號的次數、幅值也隨之變化。本文采用高次衰減電壓突變諧波信號模型f(t)[15-16]。

f(t)=

(9)

其中，設采樣頻率為3 200 Hz，采樣點數N=2 048。在采樣周期內，3次諧波在0.06 s處開始衰減幅值由217 V降到87 V，在0.14 s的時候恢復到217 V；9次諧波在0.16 s處開始衰減幅值由93 V降到56 V，在0.24 s恢復到93 V。原始信號波形及其頻譜圖如圖1所示。

圖1 原始信號波形及頻譜圖

由圖1信號的頻譜圖可知，原始信號中分別包含頻率為50 Hz、150 Hz、和450 Hz的基波、3次諧波和9次諧波。

2.1 模態混疊

對信號進行EMD實際就是把信號的頻率從高到低的一個分解過程。在分解過程中由于基波幅值分量遠大于諧波幅值分量，可能會產生尺度交叉現象，其結果會導致模態混疊現象。如圖2所示。

圖2 原始信號的EMD分解

由圖2可以看出，對原始信號進行EMD分解，生成各個IMF分量，其中IMF1的波形在0.16 s時產生了壓降在0.24 s時恢復，IMF2波形在0.06 s時，9次諧波衰減至3次諧波，在0.16 s時恢復。IMF3和 IMF4中兩端波形都有變形，在下面IMF的幅頻曲線圖中更直觀的表現出。

2.2 端點效應

對原始信號進行EMD分解后所得到的IMF分量進行Hilbert譜分析時，無法保證端點恰好為極值點。如果在進行Hilbert譜分析時把端點當作極值點處理，則在兩端會造成信號的失真，出現明顯的“飛冀”現象?？稍贗MF的瞬時頻譜圖中清晰的看出，如圖3所示。

圖3 各個IMF的瞬時頻率

3 改進HHT的仿真分析

3.1 包絡極值延拓法

通過包絡極值延拓法來消除分解過程中出現的端點“飛冀”現象。在分解IMF分量時，信號的極值點分別構成上包絡線和下包絡線。因此為了消除端點現象，依據極值點包絡線的特征分別向左右兩端進行延拓，同時考慮IMF所需要滿足的兩個條件，所以分別向左右兩端延拓兩個極值點。

設有一組信號數據X(T)，其中X(T)中有m個極大值點，有n個極小值點，采樣周期為Ts，采樣點數為N。

左延拓：設左端的第一個包絡波形特征值為l1

(10)

得向左延拓極值的位置和數值分別為

Tm0=Tm1-l1T;Xm(0)=Xm(1)

(11)

Tm-1=Tm1-2l1Ts;Xm(-1)=Xn(1)

(12)

Tn0=Tn1-l1Ts;Xn(0)=Xn(1)

(13)

Tm0=Tm1-2l1Ts;Xn(-1)=Xn(1)

(14)

右延拓：設右端的第一個包絡波形特征值為l2

(15)

得向右延拓極值的位置和數值分別為

Tm+1=Tm+l2Ts;Xm(m+1)=Xm(m)

(16)

Tm+2=Tm+2l2Ts;Xm(m+2)=Xm(m)

(17)

Tn+1=Tn+l2Ts;Xn(n+1)=Xn(n)

(18)

Tn+2=Tm+2l2Ts;Xn(n+2)=Xn(n)

(19)

當左右兩端的函數值小于鄰近端點的極值時，為防止極值在包絡線以外，需對其進行特殊處理

Tm0=T1,Xm(0)=X(1);X(1)>Xm(1)

(20)

Tn0=T1,Xn(0)=X(1);X(1)

(21)

Tm+1=Tn,Xm(n+1)=X(n);X(n)>Xm(m)

(22)

Tn+1=Tn,Xn(n+1)=X(n);X(n)

(23)

由于分別向左右延拓了4個極值點，最后在進行EMD分解時可以左右兩邊各去掉幾個采樣點數以消除延拓對實際信號的影響。

3.2 平均經驗模態法

分解時產生的模態混疊現象一方面是和EMD算法有關，另一方面也和原始信號的頻率特征有關。當原始信號的時間尺度存在階躍性變化時，則分解的IMF分量包含不同時間尺度特征分量。針對這一現象，本文采用平均經驗模態法來抑制模態混疊現象。在進行EMD分解時相當于一個二階濾波器組，當信號出現間斷點等情況時濾波器無法對信號準確分解。因此采用EEMD方法對信號進行噪聲輔助分析，噪聲輔助信號方法就是在原始信號中加入白噪聲來平滑脈沖干擾，而加入的白噪聲對各個固有模態分量的分解并沒有影響。白噪聲的頻譜均勻散落在信號整個時頻空間上，由于EEMD能夠自適應對信號進行分解，所以不同時間特征的信號會自適應的分布到合適的時間尺度上。并且由于加入的白噪聲具有零均值噪聲的特性，所以各個固有模態分量在經過多次平均后可消除白噪聲。

3.3 改進HHT的仿真

采用改進的HHT算法對式(9)信號模型仿真進行對比。圖4為原始信號中加入均值為0、方差為1時正態分布的隨機數。

圖4 原始信號加噪聲

對加入隨機白噪聲的原始信號進行EEMD分解得到的各個IMF分量，由圖5和圖6可以看出加入的隨機白噪聲被很好的分解出來，原始信號中的高次衰減電壓突變也得到了很好的處理，IMF2是加入的噪聲的余量，其中IMF8的波形接近正弦波形。

圖5 信號的IMF1-IMF4分量

圖6 信號的IMF5～IMF8分量

圖7 信號的IMF1～IMF4的瞬時頻率

圖8 信號IMF5～IMF8的瞬時頻率

由圖7和圖8可以觀察到，在曲線的兩端端點“飛冀”問題，可通過包絡極值延拓法得到良好的抑制。

4 結束語

本文針對希爾伯特-黃算法在電能諧波分析中出現的端點效應和模態混疊問題，提出用包絡極值延拓法和平均經驗模態法來改善。利用Matlab建立一個高次衰減電壓突變的典型諧波信號模型，對該模型進行仿真。通過改進前后的希爾伯特-黃算法，比較經驗模態分解得到的各個IMF分量及其幅頻曲線，改進后的希爾伯特-黃算法明顯改善了端點效應和模態混疊問題。