一道立體幾何中翻折問題的多解剖析

☉蘇州市蘇州高新區第一中學 宋 濤

立體幾何的翻折問題是指將一平面圖形翻折后變成空間圖形，然后根據平面圖形的數量關系、位置關系等來研究空間圖形中各元素間的數量關系、位置關系等問題.下面結合實例，將平面圖形翻折，變成空間圖形，再結合題目條件，來解決空間幾何體的空間角（包括異面直線所成的角、線面角、二面角的平面角等）的證明與計算等問題.此類問題往往隨著翻折的變化而產生解決問題角度的變化，切入角度多樣，方法各異.

圖?

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分析：本題涉及立體幾何問題的翻折，在翻折過程中，求解相應變量的取值范圍問題.注意翻折過程中，有些量是不變的，而有些量是改變的.如何根據翻折的過程來確定異面直線所成的角，可以通過異面直線所成角的定義結合幾何性質法、向量法、空間坐標法、極端思維法、特殊模型法等眾多的思維方式來處理.

根據異面直線所成角的定義，利用平行線轉化為平面角，把空間問題轉化為平面問題，利用解三角形來處理與求解.

解法1：如圖3，過點F作FH∥EB交AD于點H，連接HC.

設菱形ABCD的邊長為1，

根據平行線的性質可得∠HFC就是異面直線BE與CF所成的角，

分析：根據向量夾角來轉化異面直線所成的角，把對應的角轉化為向量的夾角問題，利用空間向量的線性運算與數量積來處理與求解，同時注意異面直線所成的角與向量的夾角之間的區別與聯系.

解法2：設菱形ABCD的邊長為1，

分析：通過建立空間直角坐標系，設出二面角A—BD—C的平面角的大小為θ，從而確定點A的坐標為用空間向量的線性運算與數量積來處理與求解，根據向量的坐標表示求解向量夾角問題，同時注意異面直線所成的角與向量的夾角之間的區別與聯系.

圖4

解法3：設菱形ABCD的邊長為1

如圖4，以F為坐標原點，FB、FC所在直線分別為x軸、y軸建立空間直角坐標系F—xyz，設二面角A—BD—C的平面角的大小為θ（θ∈［0，π］），

分析：直接通過題目條件判斷相應異面直線所成角的大小取值范圍的難度比較大，而通過極端思維，根據翻折的極端位置入手，結合翻折時對應的變化帶動點的變化所對應的極端位置來分析，可以很快確定答案.

解法4：設二面角A—BD—C的平面角的大小為θ（θ∈［0，π］），異面直線BE與CF所成角為α.

取極端思維：翻折前，幾乎沒動，此時θ→π，結合平面幾何的性質可得此

繼續翻折，幾乎AD與DC重合，此時θ→0，結合平面幾何的性質可得此

分析：先作出輔助線，確定HF與CF所成的夾角就是異面直線BE與CF所成的角，根據翻折時HF所對應的立體幾何模型的特征，結合圓錐的性質來確定兩直線的夾角問題，從而求解異面直線所成的角.

圖5

解法5：如圖5，過點F作FH∥EB交AD于點H，

根據平行線的性質可得BE∥FH，則HF與CF所成的夾角就是異面直線BE與CF所成的角.

將△ABD沿對角線BD翻折時，HF所對應的軌跡恰好是以HG（G為DC上靠近D點的四等分點）為底面圓直徑、DF為對稱軸的圓錐的母線，

此題是一道立體幾何的翻折問題，但從中我們也能體會到立體幾何的兩個常規思路：非向量方法和向量方法，以此題為例，思考途徑如下圖：

圖?

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