三并聯萬向節數控磨床的球銑刀后刀面建模

趙 林

（河南中煙工業有限責任公司安陽卷煙廠，河南安陽 455000）

0 引言

刀具的大量使用使得刀具刃磨越來越受到重視，尤其是復雜結構刀具的重新刃磨對于企業提高生產效率，降低生產成本顯得至關重要，球銑刀作為一種復雜結構刀具，其刃磨困難，刃磨成本高。國內外生產廠家與高?？蒲袡C構均研發出不同類型的刀具刃磨機床，但是這些機床幾乎都是串聯結構，并聯結構形式的刀具刃磨機床鮮有實際應用?；跂|北大學自主設計制造的三并聯萬向節數控刃磨機床[1]，進行螺旋刃球銑刀后刀面建模研究，為后續編程刃磨實驗做好理論基礎。

1 三并聯萬向節數控磨床簡介

三并聯萬向工作頭數控磨床（圖1）由5個伺服電機驅動。并聯桿電機控制2個并聯支鏈分別實現等量伸縮進而使工作頭繞X軸的擺動，也可以控制2個并聯支鏈同步等量伸縮實現工作頭繞Z軸的擺動，若并聯支鏈的伸縮不等量則可以實現工作頭繞xOz平面內任意方向擺動。橫向滑移電機和縱向滑移電機可以使工作頭實現橫向與縱向進給。主軸電機可控制工件繞擺動以后的主軸方向轉動。當工作頭擺動一定角度之后，縱向進給方向并不是沿工作頭末端執行器的軸線，而是保持原來方向不變。

2 球頭立銑刀刃口曲線的數學模型

根據現有三并聯萬向節數控機床的運動特點及結構特點，在參考已有的球頭銑刀數學模型[2-6]的基礎上重新建立螺旋刃球銑刀球頭部分刃口曲線的數學模型，如圖2所示。

圖1 三并聯萬向節數控磨床

O點為萬向節的擺動中心，O—XYZ為銑刀結構坐標系。O1—X1Y1Z1為銑刀的球面坐標系，O1為銑刀球頭中心，R為球面半徑。P為球面上任意一磨削點，P1為點P在球面底面圓環上的投影，θ為刃口曲線上磨削點P與X1Y1平面的夾角，φ為P1與X1軸的夾角，H為2個坐標原點間的距離，λ為點P1與Z軸的夾角，l為OP的長度。

基于三并聯萬向節數控機床的球面螺旋線磨削可看作這樣一種運動：點P在坐標系O1—X1Y1Z1中的擺動和繞Z1軸的轉動相互作用形成球面螺旋線，桿長O1P保證了球面半徑為R。形成球銑刀刃口曲線的過程中，并聯機床的兩根并聯桿做完全相反的勻速伸縮運動，使得桿OP繞擺動中心勻速擺動，擺角為λ，同時縱向滑臺進給η，根據相對運動，可看作滑塊沿桿OP滑動，桿OP長度縮短η，即λ角和長度l時刻在變化。在坐標系O1—X1Y1Z1中球面刃口曲線可表示為：x1=Rcosθcosφ，y1=-Rcosθsinφ，z1=Rsinθ，其中，θ與 φ 存在一定的函數關系。

圖2 球頭銑刀刃口曲線數學模型

在坐標系O—XYZ中銑刀球面刃口曲線可表示為：x=lsinλcosφ，y=-lsinλsinφ，z=lcosλ，其中，φ，l均與 λ 存在一定的函數關系。在坐標系O—XYZ中正交螺旋面可表示為：x=Rzcosφ，y=-Rzsinφ，z=Pzφ/2π+H。在三角形 OPO1中，由余弦定理可知，cosλ=（l2+H2-R2）/2lH，即 l2-2lHcosλ+H2-R2=0。解得：l=Hcosλ±，當λ=0時l=R+H，因此可將負號解排除，所以l=又因為 η=R+H-l，故 η=R+H-Hcosλ+聯立 x=lsinλcosφ，y=-lsinλsinφ，z=lcosλ 和 x=Rzcosφ，y=-Rzsinφ，z=Pzφ/2π+H 可得：Pzφ/2π+H=lcosλ。解得，φ=（lcosλ-H）tanβ/R，其中，β為銑刀螺旋角（與軸線夾角），tanβ=2πR/Pz，其中，Pz為導程。在坐標系O—XYZ中銑刀球面單側刃口曲線可表示為（1）式。

另一側刃口曲線根據球銑刀的對稱性可求出，在此不再列出。設 R=5 mm，H=20 mm，β=30°，刃口曲線如圖3所示，呈現明顯的S形，其中左圖為刃口曲線主視圖，右圖為刃口曲線俯視圖。

圖3 刃口曲線

3 后刀面數學模型

采用圓柱砂輪邊緣刃磨球銑刀后刀面，后刀面成形原理如圖4所示。其中，O—XYZ為球頭立銑刀結構坐標系；O3—X3Y3Z3為坐標系O—XYZ繞Z軸旋轉角度φ后形成的坐標系；O4—X4Y4Z4為坐標系 O3—X3Y3Z3繞Y3軸旋轉角度λ后形成的坐標系，此時砂輪剛好與球面相切于P點。為能刃磨到P點，此時銑刀坐標系已繞Z軸和Y3軸分別旋轉了角度φ和λ。后刀面與砂輪邊緣接觸線在坐標系O4—X4Y4Z4中可表示為（2）式。

圖4 后刀面刃磨示意圖

將其轉化到坐標系O3—X3Y3Z3中，得到（3）式。

在球銑刀結構坐標系O—XYZ中后刀面可表示為（4）式。

式（2）中，α為銑刀球面刃后角，lα為后刀面直紋線MN上任意磨削點距刃口曲線的距離，0≤lα≤d，d為后刀面寬度。聯立（2）、（3）、（4）式可得第一后刀面方程，見（5）式。

球銑刀兩部分后刀面關于軸線對稱，另半部分后刀面為式（6）。

設 R=5 mm，H=20 mm，β=30°，d=0.5 mm，α=15°，所得后刀面如圖5所示。

圖5 球銑刀第一后刀面

通過球銑刀第一后刀面的仿真圖可以看出，圖形與球銑刀第一后刀面的實際形狀吻合，說明所建立的第一后刀面數學模型正確。

4 結論

在參考球頭銑刀數學模型的基礎上，建立了適合三并聯萬向節數控磨床運動特性的球銑刀刃口曲線和第一后刀面數學模型，并通過matlab仿真驗證了數學模型的正確性，為后續刃磨程序的編寫做好基礎。