道路平面線形擬合方法比較研究*

張 航 韋金君 張肖磊

(武漢理工大學交通學院 武漢 430063)

0 引 言

公路平曲線線形逐樁坐標可以通過GPS或全站儀等測量儀器測量獲得.但是如何利用測得的數據獲取平曲線的設計參數，一直困擾著道路設計者[1].尤其在改建舊路的工程中，由于道路長期使用產生疲勞徐變或由施工原因造成舊路的邊坡垮塌、地基塌縮、路基沉降[2]等，都可導致道路線形實際數據與原設計參數有差別.為獲取平面線形參數，一方面設計者基于CAD技術，用短小線段來擬合曲線，使曲線盡量的貼合原有數據，最后逐段讀取線形參數，這種方法既不能保障曲線的光滑性，也帶有很強的主觀性；若使用CAD樣條曲線或圓弧段來擬合曲線，雖然滿足了曲線光滑性，但擬合精度更是取決于原有數據的多少.另一方面，為達到擬合平面線形的精度，充分利用道路中線坐標數據，專家學者們應用拉格朗日插值法、最小二乘法、三次樣條法及路線設計軟件等方法[3-5]，分別就曲線擬合原理及結果進行討論，至于哪種方法更適宜以及哪種成果的擬合精度更高，缺乏針對性的研究和提煉.基于此，本文基于上述方法并結合工程實例，基于數值分析理論，應用Matlab軟件討論平面線形的擬合成果及精度，得出適宜的擬合方法，為道路線形擬合技術推廣以及改擴建工程線形參數獲取提供依據.

1 平面線形擬合

1.1 路線線形曲率

道路平面線形由直線、緩和曲線和圓曲線組成.文獻[6]規定，平曲線半徑不宜大于10 000 m，故當曲率κ≤0.000 1 m-1時，可認為此時曲線為直線，故設置平面線形中直線與曲線點曲率誤差.

當采樣點曲率κ≤0±ε時，點在直線上；當采樣點曲率κ=C±ε(C=1/R為定值)時，點在圓曲線上；當采樣點曲率0±ε≤κ≤C±ε時，采樣點在緩和曲線上.由于路線曲率連續變化，主點位置可按曲率定值間插值得到.

各測量點的曲率：

(1)

式中：y′為測量點的一階導數；y″為二階導數

1.2 曲線線形參數

圓曲線半徑計算值由曲線曲率κ計算所得：

R=1/κ

(2)

曲線轉角：

θ=arctanki-arctanki-1

(3)

式中：k為該點斜率.

緩和曲線參數：

(4)

式中：Ls為緩和曲線長.

緩和曲線長度與橫縱坐標關系：

(5)

(6)

式中：x0，y0為緩和曲線終點坐標.

2 平曲線擬合實例

將分別采用拉格朗日插值法、最小二乘法、三次樣條曲線和緯地路線設計軟件等四種方法，以S型平曲線(兩個基本型首尾反向相接)為例，對道路線形中常見的S形道路路線進行擬合，最后綜合分析各自擬合成果及效果.

例中，曲線轉角α1=53°09′46.2″,α2=28°08′59.7″，圓曲線半徑R1=330 m，R2=350 m，緩和曲線長度Ls1=150 m，Ls2=90 m，平曲線各分段為：直線段1K0+000—K0+054.260，緩和段2K0+054.260—K0+204.260，圓曲線段3K0+204.260—K0+360.456，緩和段4K0+360.456—K0+510.456，直線段5K0+510.456—K0+515.216，緩和曲線段6 K0+515.216—K0+605.216，圓曲線段7K0+605.216—K0+687.174，緩和曲線段8K0+687.174—K0+777.174，直線段9K0+777.174—K0+808.143.

2.1 拉格朗日插值法

在拉格朗日插值法擬合中，由于數據較多或者間隔不均勻等原因可能造成擬合曲線節點之間的插值函數與原數據有較大誤差，使得擬合出的多項式為高次多項式，在擬合曲線中部能夠較好擬合，而在兩端出現較大擺動，即出現龍格現象[7].為了防止龍格現象出現，減小擬合誤差，將曲線分為五段擬合.輸入各段樣點數據，可擬合得出函數表達式為：直線段1(K0+000—K0+054.260)：y=-0.505 1x+453.557 5

緩和段2(K0+054.260—K0+204.260)：

y=0.000 59x4-0.25x3+66.38x2-10 370.47x+719 635.14

圓曲線段3(K0+204.260—K0+360.456)：為了對比在圓曲線段擬合由龍格現象引起的誤差，擬合采用圓曲線段全部樣點數據輸入擬合與中部部分點擬合方法進行對比.

方法①：由圓曲線11個點擬合：y=

0.00 089x4-0.39x3+113.65x2-19 419.56x+1 491 192

方法②：由圓曲線中部5個點擬合：y=0.010 9x2-2.104 9x+529.727 6

方法③：由圓曲線中部4個點擬合：y=

-0.001 6x2+2.432 2x-500.778 0

由擬合函數可知：方法①擬合不符合圓曲線函數特點，可直接舍去；方法②、方法③分別由式(2)計算得到R1=331.550 m，R2=712.18 m，可見方法③誤差過大.由此看出，方法②擬合結果符合要求.

緩和段4(K0+360.456—K0+510.456)：

y=-0.03x3+13.73x2-3531.17x+395 320.79

直線段5(K0+510.456—K0+515.216)：

y=-0.49x+843.14

同理，擬合緩和段6(K0+515.216—K0+605.216)、圓曲線段7(K0+605.216—K0+687.174)，緩和段8(K0+687.174—K0+777.174)，直線段9(K0+777.714—K0+808.143)，分別得出緩和段、圓曲線段、直線段表達式，由式(2)，計算得到R2=350.25 m.

由直線段1，5，7 擬合表達式與式(3)，得到路線偏角：α1=53.1 628 389 114°,α2=28.151 464 805°.路線擬合段曲率見圖1.

圖1 拉格朗日擬合法擬合曲線曲率

2.2 最小二乘法

最小二乘法擬合道路線形是指在擬合曲線整個長度范圍內，擬合樣點距離擬合曲線的垂直距離的方差總和達到最小值時，此曲線為最小二乘法擬合的最佳曲線.為便于計算曲線參數，對各段進行分段擬合：

①對K0+000—K0+054.260、K0+510.456—K0+515.216、K0+777.714—K0+808.143段：

直線段1：y=0.51x+74.97

直線段2、3：y=-0.49x+843.14，y=0.03x+260.31

直線段擬合出的曲線都為一次函數，由式(3)可得：α1=53.1 628 389°，α2=28.1 499 232 °

②K0+204.260—K0+360.456、K0+605.216—K0+687.174段為圓曲線：

圓曲線1：y=-0.001 537x2+2.37x-488.04；

圓曲線2：y=0.001 534x2-3.62x+2 440.71；

由式(2)得，R1=330.03 m，R2=353.355 769 m；

③K0+054.260—K0+204.260， K0+360.456—K0+510.456， K0+515.216—K0+605.216， K0+687.174—K0+777.174段為緩和曲線段,擬合曲線分別為：

緩和段1.y=0.006 521x2-3.01x+707.64.

緩和段2.y=-0.000 954x2+1.34x-35.23.

……

各分段函數擬合曲線的曲率圖見圖2.

圖2 最小二乘法擬合曲線曲率圖

2.3 三次樣條曲線

三次樣條曲線在全區間[a,b]上都有連續一、二階導數，具備描述公路基本線形特征[8].圓弧樣條曲線只有一階導數，沒有二階連續導數，三次樣條曲線整條曲線二階連續.輸入個樁號的X、Y坐標，得到各段三次樣條曲線表達式及三次樣條擬合圖，三次樣條曲線表達式為

S(x)=a(x-x1)3+b(x-x1)2+

c(x-x1)+d

(7)

得到各分段表達式后，為更為直觀的表現擬合結果，繪制三次樣條擬合曲率圖，見圖3.

由圖3可知，整條曲線的擬合有可識別的特征點(主點)，判斷主點由每兩個點的三次多項式函數式(7)來計算每個樣點處的曲率，由曲率反推出此點的半徑，若計算得出某段范圍內的曲率小于等于10-5，那么這段就可認為擬合出的樣條曲線為直線段，在某一段的曲率近似為一個固定的相差不大的值，那這段就可認為是圓曲線段，這兩者之間擬合出來的曲率為按定比漸變的一段即緩和曲線段，由此判斷出主點位置.并通過計算每段的參數特征得出曲線的整體參數.

由式(2)～(3)可求得圓曲線各參數如下：R1=330.248 947 m，R2=350.220 040 m，α1=53.1 628 551°，α2=28.1 499 46°.

2.4 緯地路線軟件擬合

緯地道路設計軟件擬合時，使得各個散點盡可能的分布在擬合曲線上，由此得出路線的線形參數.這種方法有很大的主觀性，在擬合過程中需要不斷試算、修改，操作起來較為復雜，對設計人員的專業知識和工作經驗有很高的要求.優點在于線形擬合出來后直接得到線形參數，減少了對數據進行編輯整理的工作量及編輯整理過程中可能出現的誤差.緯地道路軟件擬合成果見圖4.

圖4 緯地軟件擬合曲線圖(R,L 單位：m)

由圖4可知，并不是每個點都精確地在曲線上，特別是圓曲線部分尤為明顯.使用緯地軟件擬合輸出的線形參數：R1=331.994 204 m，R2=348.218 918 m，α1=52°49′54.3″，α2=27°32′16.7″，Ls1=148 m，Ls2=85 m.

3 擬合方法分析

3.1 擬合原理對比

1) 三次樣條曲線 曲線擬合時，每相鄰兩個測量數據點均用三次曲線連接，保證了函數表達式二階可導，相鄰一階連續.三次樣條函數的二階導數為一次函數，與回旋曲線曲率變化特點相符；當擬合圓曲線時，曲率為一定值；當擬合直線時，曲率為0.該方法強調點必須在曲線上，即道路中線上.

3) 拉格朗日插值法 拉格朗日插值法是指通過已知樣本點，考慮通過n+1個點的n次插值多項式存在且唯一，按照線性插值、拋物線插值順推至一般情形的一種多項式插值方法.隨著次數的增加，擬合函數通過所有樣本點，但可能在擬合曲線端部產生較為強烈的波動曲線.

4) 緯地路線設計軟件擬合法 緯地軟件擬合是在排除粗差點后，利用已知散點數據在緯地道路輔助設計軟件中逐一輸入并調整路線參數，使得擬合線條貼合數據點，從而得到擬合路線.

3.2 擬合特征分析

1) 擬合曲線光順性 由圖1～4可知，三次樣條和緯地路線軟件的擬合效果較為顯著，也最符合曲線連續并光滑的要求；拉格朗日插值法因龍格現象在分段曲線邊緣處的擬合誤差影響了曲線的整體光滑平順；最小二乘法也出現在分段點處的曲率過渡不良，整體的平順性和曲率漸變性也差.

2) 擬合曲線保真性 對應用于道路改擴建工程的情況，設計要求新建道路盡可能與原路重合.拉格朗日插值法和最小二乘法得到的曲線均不能很好的保持原有曲線的性質；三次樣條曲線能最大限度還原舊路線形；緯地路線軟件的擬合難以保證所有測量點吻合在中線上，曲線易失真.

3.3 擬合結果比較

整理上例擬合結果，見表1.

表1 幾種擬合方法計算結果比較

由表1可知，拉格朗日法用單一的曲線擬合道路平曲線，將平曲線三要素用一個表達式表示，擬合誤差較大；最小二乘法對平曲線進行分段擬合，直線段擬合結果誤差較小，曲線半徑誤差較大；三次樣條曲線擬合時，表達式簡潔而且誤差較小，緯地道路軟件擬合可能出現多種擬合結果，誤差多樣性大.

綜上所述，三次樣條函數擬合結果最好，而緯地擬合誤差最大.

4 工程實例

某省道干線公路，設計速度80 km/h，雙向2車道，由于途徑煤礦產地，貨車通行量大，超載現象嚴重，自建成通車，行車時常沖撞中央分隔帶及防護帶危及行車安全，使得在劇增的交通需求量下交通事故頻發.綜上，考慮公路現狀及運行安全，需要對現有路線進行改擴建.因施工年代較早，道路原有設計資料與現有情況不符，因此在改擴建之前，需獲取道路中線參數，采用GPS與全站儀相結合按樁距20 m對道路中線坐標進行測量；另外在事故多發路段、曲線段等處加測坐標點，對平面線形選用三次樣條擬合.某彎道測量擬合結果見表2.

根據各個曲率變化范圍推算出線形參數.

由表2可知：

表2 三次樣條擬合各段參數特征

1) 擬合段(541.696,1 299.992)～(540.645,1 304.311)，(564.001,1 652.549)～(586.461,1 711.310)為直線段，由(3)式得出，該曲線的偏角為34.725 471 23°.

2) 擬合段(519.202,1 417.743)～(532.334,1 560.809)為圓曲線段，各端點曲率取平均值，由式(2)算出，該彎道半徑為404.044 m.

3) 擬合段(540.645,1 304.311)～(519.202,1 417.743)、(532.334,1 560.809)～(564.001，1 652.549)為緩和段，由式(5)、式(6)有，緩和段長度為LS=118.003 81 m.

5 結 論

1) 討論了拉格朗日插值法、最小二乘法、三次樣條曲線及緯地軟件等幾種擬合方法的應用原理，并結合實例分別進行擬合計算，得出三次樣條曲線較其它方法具有精度高和光滑性好等優勢.

2) 工程實例表明，三次樣條曲線擬合改擴建道路，設計線形達到了預期目的，利用原路段的中線吻合較好，部分線形需改善的路段，獲取了相應的參數，保證了整個線形的平順、流暢.

3) 樣條曲線擬合的曲率個別出現跳躍情形，這與中樁步長取值及外業實施測量時的誤差有關.因此，未來可以著力解決適宜的步長值在擬合平面線形時出現曲率方面的問題,達到曲率光順性和正確性，力使三次樣條曲線在改擴建工程中平面線形設計中得到充分應用.