瞬態瑞利波法定量分析二維空洞的形狀參數和位置

郭德平,江剛,李錚,鐘煒華,李金鑫，周小平,5b

(1.敘鎮鐵路有限責任公司,云南 昭通 657900;2.貴州大學 土木工程學院,貴陽 550003;3.重慶市城市建設投資(集團)有限公司,重慶 400015;4.江西應用技術職業學院,江西 贛州 341000;5.重慶大學 a.土木工程學院;b.山地城鎮建設與新技術教育部重點實驗室,重慶400045)

隨著地下工程的大力發展，地質勘探顯得越來越重要?？斩吹拇嬖趯ㄖ锂a生沉降和破壞作用，影響建筑物的正常使用，使公路、鐵路和機場跑道等路基塌陷而導致交通中斷等。在彈性波波場能量中，瑞利波的波場能量占比高達67.3%，且瑞利波在介質中傳播的動態響應能反映出巖土體的物理屬性。因此，筆者采用時頻分析法和頻譜分析法得到空洞的形狀參數和位置。

瑞利波是瑞利(Rayleigh)[1]在1887年發現的彈性波。Stkooe等[2]利用瞬態瑞利波法進行勘探實驗，得到了瑞利波在介質中的相速度分布，并提出了面波頻譜分析方法(SASW)。Park等[3]基于多道面波分析原理得到了瑞利波多階模式的頻散曲線。Nasseri-moghddam等[4-5]提出了瑞利波衰減分析法(AARW)，根據瑞利波傳播過程中的能量模式轉換等的特性分析了空洞的位置和埋深。孫宏祥等[6]采用激光激發瑞利波探測了材料表面缺陷的角度。Xia等[7]利用瑞利波在空洞尖端處的衍射波確定了空洞的位置。周文宗[8]對含有空洞介質中的瑞利波頻散曲線進行了正反演研究。馮治國[9]利用瞬態瑞利波法對巖溶路基注漿質量進行了檢測，并取得了良好的效果。劉中憲等[10]采用間接邊界積分方程法對襯砌隧道中入射瑞利波的二維散射問題進行了分析。Chai等[11]通過數值模擬研究了激勵源和空洞埋深對瑞利波的影響。張獻民等[12]通過數值模擬總結了地下管道的形狀和管徑大小對瑞利波信號的相應規律。Shao等[13]基于夏江海的研究提出了利用廣義S轉換的方法探測空洞的埋深。柴華友等[14]重點分析了表面源激發的瑞利波在層狀介質中的傳播特性。已有研究大部分是理論研究，并沒有對空洞的形狀參數和埋深進行系統分析。

筆者基于上述研究分析了瑞利波的波動特性，并采用有限元方法對含有空洞的介質模型進行了數值模擬，提出了確定空洞形狀參數和位置的計算方法：采用入射瑞利波和反射瑞利波的時間差法確定了空洞的位置和水平尺寸；采用臨界頻率干擾法確定了空洞埋深；采瑞利波衰減率法獲得了空洞豎向尺寸。

1 瞬態瑞利波法

瑞利波能夠應用于空洞檢測，主要是利用瑞利波在介質內傳播的兩個特性：1)瑞利波的勘探深度和能量主要集中在一個波長范圍內，且波長不同，其穿透深度也不同。2)瑞利波沿著介質表面傳播時，遇到空洞會發生反射和透射，同時發生模式轉換。與此同時，由于受到空洞的影響，瑞利波的能量發生衰減。

瞬態瑞利波探測法原理是在地面某一點處施加沖擊力，地面會產生一定頻率范圍且由多個簡諧波組成的瑞利波，用布置在地表上的檢波器采集數據得到瑞利波的時域圖和頻譜，并采用幅值分析法和相位差分析法對瑞利波頻譜處理得到瑞利波的頻散曲線。筆者同時采用時域和頻譜分析法，對接收到的彈性波波形特點和頻譜進行分析，得到空洞形狀參數和位置。

2 空洞形狀參數和位置的確定方法

2.1 入射瑞利波和反射利波時間差法

如圖1所示，在激勵源用下，介質中產生3種彈性波：縱波(P)、橫波(S)和瑞利波(R)?？v波傳播速度比較快，但波場能量比較弱，因此，在模擬分析中忽略縱波，橫波和瑞利波的傳播速度非常接近，在短時間內分辨不出。瑞利波沿著介質表面傳播過程中，遇到空洞邊界，一部分波發生反射形成反射瑞利波，一部分波在邊界處積聚并最終消散，一部分瑞利波在邊界處發生模式轉換形成衍射橫波和衍射縱波，另一部分波則直接透射過去形成透射瑞利波。因此，可以利用入射瑞利波和反射瑞利波的時間差來探測空洞的位置(空洞邊界位置)，同時,采用對稱布置的方式來確定空洞水平方向的尺寸。計算式為

(1)

圖1 瑞利波傳播示意圖Fig.1 The diagram of Rayleigh wave

式中：l為接收點與空洞的水平距離；tR為入射瑞利波到達時刻；tRR為反射瑞利波到達時刻；VR為瑞利波傳播速度。

根據接收器接收的波形圖，找到入射瑞利波和反射瑞利波的時間，根據式(1)即可確定空洞的位置和空洞水平方向的尺寸。

2.2 臨界干擾頻率法

研究表明[15]，瑞利波能量主要集中在一個波長范圍之內，因此，探測深度為一個波長。根據瑞利波的這一特性，可以找到瑞利波的頻率與空洞埋深的定量關系。

激勵源采用中心頻率的雷克子波，激勵產生瑞利波的主要頻率在兩倍的中心頻率內，而中心頻率左右的頻率為最優頻率帶?？斩绰裆钤谀骋活l率對應的波長范圍內，則空洞對該頻率的瑞利波產生影響，損耗其能量，空洞埋深超出某一頻率對應的波長，則空洞不對瑞利波產生影響。波長和頻率的對應關系為

(2)

式中：λR為瑞利波波長；f為瑞利波頻率；VR為瑞利波速度。

提出“臨界干擾頻率”的概念，即未被空洞影響瑞利波的臨界頻率。將接收器接收到的時域圖經過FFT變換成頻譜，根據有空洞和無空洞的頻譜對比來找到臨界干擾頻率，反算空洞的埋深。

2.3 能量衰減率法

瑞利波的波場能量衰減除自身的衰減外還有空洞對瑞利波的干擾?？斩磳θ鹄芰康挠绊懼饕侨鹄ǖ姆瓷?，即在空洞邊界處瑞利波能量積聚并最終消散，另外一部分瑞利波發生能量模式轉換形成橫波和縱波。由此認為瑞利波的能量損失主要由靠近激勵源的空洞邊界引起，空洞邊界越長，瑞利波的能量衰減越大，透射瑞利波的能量越小。因此，可以利用瑞利波的能量衰減率推算空洞豎向尺寸。

可以用能量衰減率法定量分析空洞的豎向尺寸。能量衰減率為有空洞和無空洞模型中某接收點處瑞利波頻譜中某頻率對應的幅值差與無空洞瑞利波幅值的比值，即

(3)

式中：Ar(fi)為頻率fi對應的瑞利波衰減率；Ai為有空洞模型中頻率fi對應瑞利波的幅值；A0i為無空洞模型中頻率fi對應瑞利波的幅值。

3 案例分析

借助有限元軟件ABAQUS動力學模塊模擬瞬態瑞利波，對含有空洞的模型進行數值模擬。瞬態動力學能夠用于分析結構的動力響應。

3.1 模型參數設置

3.1.1 激勵源 采用瞬態瑞利波法在野外勘探中，激勵源一般采用落重法來激發彈性波，要求錘擊產生的波由多種地震子波組成，因此，選擇震源形式時，要選擇一個時間脈沖函數子波，其頻譜高于中心頻率，并且能夠迅速減少。雷克子波滿足上述要求，且模擬結果精度高，波形也與野外實測波形非常接近。其具體形式為

F(t)=A[1-2π2f2(t-t0)2]e-π2f2(t-t0)2

(4)

式中：A為激振力最大振幅，用來調整激振力大??；f為中心頻率；t0為瑞利波滯后時間。圖2為頻率f=30 Hz的時域圖。

圖2 雷克子波

3.1.2 邊界條件設置 采用均勻半無限空間介質的模型，為了降低邊界條件對模擬結果的影響，采用劉晶波等[16]提出的等效二維一致粘彈性人工邊界對模型邊界進行處理。

3.2 空洞水平位置確定

為了與野外實地檢測條件相符，模型尺寸為：L=100 m，H=50 m，空洞為邊長2 m的方形，空洞上邊界與模型表面的垂直距離(即空洞埋深)h分別設置為2.0、2.5、3.0、3.5、4.0、4.5、5.0、5.5、6.0、6.5、7.0 m共11種工況，空洞設置在距離激勵源40 m處。激勵源與空洞距離為40 m，中心頻率為30 Hz，幅值為a=1×10-11m。根據采樣定律得到數據的采樣時間間隔為5×10-4s，總采樣時間為3.0 s。接收器設置在距離激勵源右側10 m處。網格采用等邊三角形，邊長為0.5 m。模型邊界采用粘彈性人工邊界。介質材料為灰巖，密度為ρ=2 500 kg/m3，彈性模量為E=1.89 GPa，泊松比為μ=0.3，則根據式(5)～式(7)可以得到縱波、橫波和瑞利波的傳播速度，分別為VP=1 008.8 m/s、VS=539.23 m/s、VR=500.24 m/s。

(5)

(6)

(7)

具體模型如圖3所示。

圖4所示為接收器接收的波形圖。當介質中無孔洞時，波形圖只有一個比較大的峰值點p。因為彈性波中瑞利波的波場能量最強，認為此峰值為入射瑞利波達到接收器的時間點。介質中存在空洞時，波形圖出現兩個峰值點p和q，p點即為入射瑞利波的接收時間點，q點則為反射瑞利波的接收時間點。因為在彈性波中瑞利波的波場能量最強且衰減最慢，故在反射波中，反射瑞利波的波場能量也最強。

圖4 波形圖

由圖4可知，反射瑞利波到達接收器的時間不受空洞埋深的影響。因此，提取計算波形圖中入射瑞利波和反射瑞利波的時間，并計算空洞的位置，計算結果誤差分析如圖5所示，不同埋深的空洞水平位置計算誤差均在2.0%以下，滿足實際工程的精度要求。

圖5 水平位置計算誤差Fig.5 Calculation error of horizontal

另外，由瑞利波的波動方程可知，瑞利波的振幅隨著深度的增加而衰減，瑞利波的波場能量隨深度增大而減弱。因此，由于能量減少的原因，空洞加深，其檢測精度會降低，相對誤差變大。

3.3 空洞埋深確定

模型尺寸設定為：長L=100 m，高H=50 m。震源為中心頻率50 Hz的雷克子波，t0為0.02 s，振幅大小為1×10-11m，作用在距離模型左邊界40 m處。網格采用等邊三角形，邊長為0.5 m，吸收邊界采用等效粘彈性人工邊界。采樣時間間隔為Δt=0.2 ms，采樣總時間為t=1.5 s，空洞大小為2 m×2 m，空洞設置在距離模型左邊界55 m處(空洞形心與模型左邊界的距離)，空洞埋深為5 m，具體模型如圖6所示。

圖6 模型示意圖Fig.6 The schematic diagram of the numerical

將接收到的波形圖(時域圖)應用FFT變換成頻譜，并將無空洞和空洞埋深為5 m的頻譜作對比，找出臨界干擾頻率(圖中交點所對應的頻率)。由于接收器距離空洞太近，受雜波影響大，因此，去掉接收器1和2的數據，模擬結果如圖7所示。

圖7 頻譜圖

根據圖7中各接收器處的頻譜圖，找出有空洞和無空洞頻譜交點所對應的頻率，該頻率即為臨界干擾頻率，然后根據臨界干擾頻率計算空洞埋深。

由圖8可知，各接收器處計算得到的空洞埋深誤差均在10%以下，由4個接收器處的臨界干擾頻率均值計算得到空洞埋深為4.7 m，誤差為6%，精度達到工程要求，說明該方法可行。

圖8 空洞埋深計算誤差(h=5 m)Fig.8 Calculation error of depth of

為了使該方法具有普遍性，另外設置空洞埋深分別為6 m和7 m的模型進行分析，其計算結果如圖9所示。從圖9可以看出，空洞埋深計算誤差不超過11%，誤差均在允許范圍內。

圖9 空洞埋深計算誤差Fig.9 Calculation error of depth of

3.4 空洞豎向尺寸確定

為了找到空洞豎向尺寸與瑞利波衰減率的定量關系，設置空洞埋深為5 m，空洞的幾何形心與激勵源的水平距離為20 m，空洞大小分別為2.0 m×2.0 m、2.5 m×2.5 m、3.0 m×3.0 m 、3.5 m×3.5 m、4.0 m×4.0 m、4.5 m×4.5 m、5.0 m×5.0 m 共7種工況。接收器設置3個，分別為接收器1、接收器2和接收器3，3個接收器距離空洞形心的水平距離分別為5、15、30 m。其他模型參數同4.3節中的模型參數。

將各接收器得到的時域圖經FFT變換成頻譜圖，并從頻譜圖中提取頻率為40、50、60 Hz的瑞利波幅值，將瑞利波的衰減率繪制成如圖10所示。

圖10 衰減率與空洞大小關系Fig.10 Relationship between attenuation

從圖10可以看出，接收器3處的瑞利波不管是低頻還是高頻其衰減率比較穩定且比較相近，因此，選用接收器3處的瑞利波衰減率來定量分析空洞豎向尺寸的大小。選用中心頻率為50 Hz對應的瑞利波進行分析。

將接收器3處的50 Hz對應的瑞利波的衰減率曲線進行擬合，得到式(8)。

Ar(50 Hz)=0.096 89d-0.109 63

(8)

式中：Ar為瑞利波衰減率；d為空洞豎向尺寸。

式(8)的擬合方差為0.974 27，擬合效果較好，說明用式(8)定量計算空洞豎向尺寸合理。

為了驗證式(8)的準確性，現設置埋深為5 m，空洞大小為2.25 m×2.25 m、2.75 m×2.75 m、3.25 m×3.25 m 、3.75 m×3.75 m 的4種工況進行分析，計算結果如圖11所示。

圖11 空洞豎向尺寸計算誤差Fig.11 Calculated error of vertical size of the

從圖11可以看出，由式(8)計算得到的空洞豎向尺寸誤差均在6%以下，有較高的準確度。

4 工程實例

項目為擬建的地下管道，深度4 m左右。采用瞬態瑞利波法探測地下管道。為了能夠與地層結構區分，設置了131個采樣點。采集到的原始波形圖如圖12所示。

圖12 瑞利波信號

從圖14可以找到地下管道。該測線中1～56道為無異常體的地層結構反應；56～66道范圍內在9 ms時出現了明顯弧形反射信號帶，信號帶頂端在第60道。提取第60道的入射瑞利波和反射瑞利波的時間，代入公式得到管道的水平位置。同時，對時域圖進行FFT變換得到頻譜，估算管道埋深。經查閱地下管道施工圖，對比分析結果，由于地下管道周邊為回填土，對信號產生一定的影響，誤差相對較大，但驗證了該方法的正確性。

5 結論

對均勻半無限空間介質中的瑞利波的產生和波動特征進行了理論分析，運用有限元軟件ABAQUS對含空洞模型進行數值模擬，得到如下結論：

1)瑞利波沿著介質表面傳播過程中，遇到空洞邊界，一部分波發生反射形成反射瑞利波，一部分波在邊界處積聚并最終消散，一部分瑞利波在邊界處發生模式轉換形成衍射橫波和衍射縱波，另一部分波則直接透射過去，形成透射瑞利波。

2)采用入射瑞利波和反射瑞利波的時間差能夠比較準確地計算空洞具體位置，相對誤差較小。

3)將瑞利波時域經FFT變換成頻譜，根據頻譜及瑞利波的傳播規律提出了采用臨界干擾頻率法定量分析空洞的埋深。結果表明，其計算誤差較小，該方法具有比較高的準確性。

4)提出了能量衰減率法，定量分析了空洞豎向尺寸，將得到的數據進行擬合，其計算結果誤差較小，有較高的精度。