加速退化模型及外推結果準確度的定量驗證方法

周源，王浩偉，蓋炳良

1. 海軍航空大學 3院，煙臺 264001 2. 海軍工程大學 兵器工程學院，武漢 430032

掌握產品的可靠度變化規律對于有效開展預防性維修、避免裝備的災難性故障至關重要，開展可靠性試驗是獲取產品可靠度變化規律的重要途徑[1]。傳統的可靠性試驗是通過獲取產品的失效時間數據推斷可靠性指標，這種方式的可靠度評估精度相對較高，然而試驗時間較長。當今社會的產品更新換代加快，對可靠性試驗的時效性要求很高，傳統的可靠性試驗在時效性方面難以滿足產品研發需求。為了提高可靠性試驗的效率，可靠性試驗發展了性能退化試驗類型，針對某些性能參數緩慢劣化最終導致失效的產品，通過對性能參數退化量的變化規律進行準確建模，勿需產品失效即可預測出產品的失效時間[2-4]。某些性能退化產品的性能退化速率受溫度、電壓、振動等環境應力的影響，提高環境應力水平可以加速產品的性能退化過程，從而進一步縮短可靠性試驗的時間，根據此原理又發展了加速退化試驗類型[5-7]。

目前對加速退化試驗的研究主要集中在退化試驗方案優化設計[8-9]和加速退化建模[10-11]兩大方向，但對于加速退化模型與外推結果的驗證方法缺少深入研究，尚未形成一套較為科學的驗證方法。加速退化試驗本質上是犧牲部分可靠度評估精度換取可靠度評估效率，外推到常應力下的可靠度結果通常會與真實值存在一定的偏差，因此需要驗證此偏差是否在可接受的范圍內?？紤]到產品可靠度的真實值無法直接測量得出，可利用常應力下的可靠性數據建立驗證標準。Zhang等[12]在開展某型發光二極管加速退化試驗時，利用常應力下的性能退化數據建立了產品平均壽命的驗證標準，通過比對加速試驗外推的平均壽命值與驗證標準值，定性驗證了外推結果的準確性。然而，工程實踐中往往難以獲取常應力下的可靠性數據，這是驗證工作經常面臨的難題[13]。針對此情況，Yao等[14]將最低加速應力水平下的退化數據作為驗證標準，驗證外推到低加速應力下可靠度結果的準確性。另外一些研究工作將加速退化模型與加速退化數據的擬合優劣作為驗證標準，例如Ling等[10]基于Gamma隨機過程建立了3種加速退化模型用于預測發光二極管剩余壽命，認為擬合最優的加速退化模型具有最準確的外推結果；Wang等[15]對碳膜電阻器加速退化數據進行統計分析，通過比較AIC(Akaike Information Criterion)值判斷各加速退化模型的擬合優劣。以上研究工作實現了預測評估結果的定性驗證，但并沒有提出有效的定量驗證方法，驗證結論缺乏說服力。

Ling和Mahadevan[16]歸納總結了預測模型的各類定量驗證方法，將其分為假設檢驗法和非假設檢驗法兩大類，具體包括經典假設檢驗法、Bayesian假設檢驗法、可靠性指標法、面積指標法4個分支。許丹等[17]提出了一種常應力下性能退化模型的驗證方法，結合波動閾值一致性檢驗與空間形狀相似性一致性檢驗進行驗證。然而，以上只是研究了常應力下預測模型與預測準確度的驗證方法，不能解決加速退化模型與外推結果的準確度驗證問題。為了提供一套較為科學的加速退化模型與可靠度評估結果的驗證方法，本文首先根據可靠性建模的步驟設計了驗證流程，然后結合Wiener-Arrhenius加速退化模型構建了驗證技術框架，并通過實例應用展現了技術框架的可行性與有效性。

1 驗證流程

通過加速退化試驗可以高效獲取產品在多個應力水平下的性能退化數據，從而建立產品的加速退化模型，進而外推出產品在常應力水平下的可靠度模型，基于加速退化數據的可靠度評估流程如圖1所示。由于錯誤建立的性能退化模型結合錯誤建立的加速模型在某些情況下的外推結果也比較接近真實值，驗證外推結果準確度之前需要首先驗證所建立各模型的合理性。根據以上分析，設計了加速退化模型及外推結果準確度驗證流程(見圖1)。

本文在以上驗證流程的基礎上構建了一套驗證技術框架，包括基于假設檢驗的模型驗證方法，及基于面積比的外推結果驗證方法，以下結合Wiener-Arrhenius加速退化模型對驗證技術框架進行闡述。

2 Wiener-Arrhenius加速退化模型

對于大多數產品來說，掌握其失效機理并據此建立失效物理模型是比較困難的，特別是對于缺乏可靠性信息的新型產品更是如此，目前在建立退化失效型產品的可靠度模型時大都采用基于退化數據擬合的建模方法[18]。Wiener等連續時間隨機過程模型不僅具備優良的統計特性，而且適合描述產品退化的不確定性，因此被廣泛用于性能退化建模。利用加速退化數據推導產品在常應力下的可靠度模型，首先要建立產品的性能退化模型。假定某產品的性能參數具有退化特點并且其性能退化量Y(t)服從Wiener過程，則可將Y(t)表示為

Y(t)=μΛ(t)+σB(Λ(t))

(1)

式中：μ為漂移參數；σ>0為擴散參數；Λ(t)=tΛ為關于時間的函數，Λ為形狀參數；B(·)為標準布朗運動[19-20]。產品性能參數的退化速率與溫度、電壓、振動、濕度等因素有關，反映在性能退化模型中為模型參數μ、σ、Λ中的至少一個與環境應力相關，與環境應力相關的參數可利用加速模型描述參數值與應力水平之間的關系[21]。然而，目前普遍根據工程經驗或主觀判斷假定哪些模型參數與環境應力相關，應用最廣泛的假定為μ與環境應力相關而σ、Λ與環境應力無關[22-23]，另一種應用較多的假定為μ、σ與環境應力相關而Λ與環境應力無關[24-25]，文獻[26]證實采用此兩種假定獲取的可靠度評估結果具有較大差異。為了避免以上假定的風險，文獻[26-27]采用加速因子不變原則推導出μ、σ與環境應力相關而Λ與環境應力無關，并且μ、σ值應該隨應力水平呈比例變化。據此以絕對溫度T為協變量，對μ、σ建立基于Arrhenius方程的加速模型,具體表達式為

μ(T)=exp(γ1-γ2/T)

(2)

σ(T)=exp(γ3-0.5γ2/T)

(3)

式中:γ1、γ2、γ3為待估系數。進而建立Wiener-Arrhenius加速退化模型為

Y(t;T)=exp(γ1-γ2/T)tΛ+

exp(γ3-0.5γ2/T)B(tΛ)

(4)

(5)

進而推導出產品的可靠度模型為

exp(2Dexp(γ1-2γ3))·

(6)

式中:Φ(·)為標準正態分布函數。

為了確定產品的可靠度模型，需要估計出模型參數向量θ=[γ1γ2γ3Λ]。根據Wiener過程的統計特性，獨立增量ΔY(t;T)服從如下形式的正態分布：

ΔY(t;T)～N(exp(γ1-γ2/T)ΔΛ(t)，

exp(2γ3-γ2/T)ΔΛ(t))

(7)

(8)

以上介紹了Wiener-Arrhenius加速退化模型建立方法及參數估計方法，同樣可以結合Eying、Power law等加速模型建立Wiener-Eying，Wiener-Power law加速退化模型。

3 加速退化模型驗證方法

3.1 基于加速退化數據的驗證方法

(9)

(10)

則說明此產品的性能退化數據服從Wiener退化模型。設零假設為H0：式(10)成立；備選假設為H1：式(10)不成立，可采用Kolmogorov-Smirnov檢驗法、Anderson-Darling檢驗法等驗證式(10)是否成立。顯著性水平設為α=0.05，當p≥α時不能拒絕零假設，認為產品的性能退化數據服從Wiener退化模型，否則認為產品的性能退化數據不服從Wiener退化模型。Kolmogorov-Smirnov檢驗法與Anderson-Darling檢驗法的p值計算方法見文獻[30-31]。

(11)

所用到的假設檢驗方法亦為Kolmogorov-Smirnov檢驗法、Anderson-Darling檢驗法。

3.2 基于常應力可靠性數據的驗證方法

隨著時間的推移，能夠累積一些產品在常應力下的可靠性數據，將這些可靠性數據作為標準對建立的加速退化模型進行準確度驗證。產品在常溫度水平T0下的可靠性數據分為3種情況：① 僅有失效時間數據；② 僅有性能退化數據；③ 同時具有性能退化數據與失效時間數據。針對此3種情況分別提出驗證方法:

(12)

則說明建立的加速退化模型是準確的。采用Anderson-Darling檢驗法驗證式(12)是否成立。

2) 設產品在T0下的性能退化數據為yij、tij(i=1,2,…,H；j=1,2,…,N),設

(13)

如果zij服從標準正態分布，則說明建立的加速退化模型是準確的，采用Anderson-Darling檢驗法驗證式(13)是否成立。

4 外推結果驗證方法

4.1 建立標準可靠度模型

1) 設產品在常溫T0下的失效時間數據為ξj(j=1,2,…,J),由逆高斯分布建立標準可靠度模型為

(14)

(15)

式中：δ為逆高斯分布的均值參數；λ為逆高斯分布的尺度參數。

2) 設產品在常溫T0下的性能退化數據為yij、tij(i=1,2,…,H;j=1,2,…,N),建立標準可靠度模型為

(16)

(17)

3) 設產品在T0下同時具有失效時間數據ξj與性能退化數據yij、tij，建立標準可靠度模型為

(18)

(19)

4.2 基于面積比的定量驗證

利用加速退化數據外推得出的產品在T0下的可靠度模型記為

設利用加速退化數據外推出的可靠度曲線R(t;T0)與標準可靠度曲線R(3)(t)如圖2所示。

文獻[16]利用兩種可靠性曲線之間的面積表征可靠度評估結果的累計誤差，如圖3中展示的紅色區域，計算公式為

s(R(t;T0),R(3)(t))=

s(R(t;T0),R(3)(t))雖然能夠定量給出外推可靠度結果的誤差，然而難以據此做出外推結果是否準確的判斷。為解決此難題，提出利用面積比r定量表征外推結果的相對誤差，并且指定一個閾值ε，如果r≤ε則認為外推結果是準確的。r的計算公式為

步驟1選取一個較大的橫坐標值，如t*=2 000，使得R(t*;T0)=0,R(3)(t*)=0。

步驟2每次通過設t=UNI(0,t*),R=UNI(0,1)(UNI表示均勻分布)，在圖2所示的綠色區域內選一個隨機點(t,R)。

步驟3判斷(t,R)是否落入R(3)(t)與橫坐標之間的區域(圖3的藍色區域)或R(t;T0)與R(3)(t)之間的區域(圖3的紅色區域)。

步驟4執行步驟2和步驟3共計L次，統計(t,R)落入藍色區域的次數K1，及落入紅色區域的次數K2；當L足夠大的時候，如下關系式成立:

(20)

(21)

(22)

以上工作是驗證整條可靠度曲線的準確性。工程實踐中在某些情況下更看重可靠度曲線的上半部分是否準確，從而能夠更精確地計算出產品t0.9、t0.8等可靠壽命，根據此需求可建立如下驗證模型

(23)

式中:t0.5由R(3)(t0.5)=0.5計算得出。

5 案例分析

某慣導系統伺服電路在長期貯存過程中具有性能退化現象，表現為電路電壓逐步降低，根據產品設計規范，伺服電路的電壓測量值x相對于初始值x0的相對百分比變化量y=100|x-x0|/x0到達失效閾值D=10時，產品失效。溫度的長期作用能夠導致伺服電路的電路參數漂移、磁性減弱，是伺服電路電壓值降低的主要環境敏感應力。伺服電路電壓在常溫T0=298.16 K下的退化過程較為緩慢，為了高效評估出此產品的可靠性，設計了溫度應力加速退化試驗用于加速產品的退化過程。隨機抽取的22個試驗樣品被分配到3組加速溫度(T1=323.16 K,T2=348.16 K,T3=368.16 K)下進行加速退化試驗，各溫度下樣品的退化數據y如表1～表3所示,表中#1～#22為樣品編號。

表1 T1下樣品的退化數據Table 1 Degradation data of samples under T1

表2 T2下樣品的退化數據Table 2 Degradation data of samples under T2

表3 T3下樣品的退化數據Table 3 Degradation data of samples under T3

5.1 基于加速試驗數據的加速退化模型驗證

5.2 基于常應力可靠性數據的加速退化模型驗證

收集了4個產品在T0下的失效時間數據為ξj=70 070，65 836，87 609，80 803 h以及2個產品在T0下的性能退化測試數據，如表4所示。

首先利用Anderson-Darling檢驗方法驗證ξj是否滿足式(12)指定的關系式，計算得p值為0.431，在顯著性水平α=0.05下不能拒絕關系式(12)成立的零假設；然后利用Anderson-Darling檢驗方法驗證表4中兩個產品的性能退化數據是否滿足zij～N(0,1)，被檢樣本zij對標準正態的擬合情況如圖5所示，計算得p值大于α，也不能拒絕關系式成立的零假設，說明所建立的加速退化模型通過常應力可靠性數據的驗證。

表4 常溫下退化數據Table 4 Degradation data under normal temperature

5.3 基于常應力可靠性數據的評估結果驗證

5.4 對其他Wiener-Arrhenius加速退化模型的驗證

標準可靠度曲線R(3)(t)與外推出的可靠度曲線R*(t;T0)如圖8所示，計算出兩類面積比為r>45.45%，遠大于閾值ε=0.2，說明此外推的可靠度結果不準確。

6 結 論

1) 設計了加速退化模型及外推結果準確度驗證的技術流程，結合Wiener-Arrhenius加速退化模型構建了具體的驗證技術框架，通過實例應用展現了技術框架的可行性與有效性，為解決加速退化試驗中的驗證問題提供了重要參考。

2) 提出了基于假設檢驗的模型驗證方法，利用Kolmogorov-Smirnov檢驗法、Anderson-Darling檢驗法能夠客觀、科學地驗證建立的Wiener-Arrhenius加速退化模型是否合理、準確。

3) 提出了基于面積比的外推結果驗證方法，利用蒙特卡羅仿真解決復雜可靠度函數積分問題，用于定量表征外推結果的準確度，通過面積比閾值判定是否接受外推結果，此方法具有較好的工程實用價值。

4) 研究工作為解決加速退化試驗中的驗證難題做出了有益的探索，所設計的驗證技術流程及各種定量驗證方法具有一定的理論價值。