基于可靠性的圍巖失穩規模預測

陳 武，晏鄂川，崔學杰，陳 前

(中國地質大學(武漢)工程學院，湖北 武漢 430074)

地下工程巖體由于被各類結構面切割而形成形狀各異的鑲嵌塊體，在地下工程開挖后，部分塊體失穩，為了研究這些塊體的塌落和運動規律，Goodman等[1]和石根華[2]分別提出了塊體理論。近年來國內外許多學者對塊體理論進行了多方面的研究[3-6]，對地下工程巖體的穩定性研究起到了一定的推動作用。然而，塊體理論中結構面完全貫穿巖體的假定與實際中結構面的有界性不相符，且未考慮結構面間距對塊體體積的制約作用。趙文[7]指出構成塊體棱錐結構面的長度必須大于所包含棱的長度，由此根據概率論理論給出了跡長負指數分布的關鍵塊體的真正滑落概率計算公式；傅鶴林[8]也指出考慮跡長有界性失穩滑落的關鍵塊體要比塊體理論分析所得關鍵塊體少得多，并表明體積較大的塊體失穩的可能性較小，而臨空面愈小的塊體越易失穩；趙奎等[9]建立了塊體的形成概率與結構面間距、跡長的理論公式，有效解決了小型結構面構成塊體體積的問題；王英學等[10]、孫樹林等[11]分別以結構面間距和塊體三棱錐棱長來表征塊體尺寸，研究了不同尺寸下塊體的形成概率，后者還通過以塊體形成概率對破壞概率進行加權得到的聯合概率用來綜合評價塊體的穩定性；郝杰等[12]通過對有限跡長塊體滑落概率的分析，對塊體的安全系數進行了修正，結果表明修正后的塊體安全系數有46.0%～66.4%的增幅。

上述研究均只是對完全貫通塊體的形成概率和失效概率進行了研究，其默認結構面未完全貫通的巖體均為不可動的無限塊體，即將巖體視為剛體，未能考慮到巖體在外力作用下的受拉破壞。假設三組結構面臨近貫通巖體，可以判斷被切割的巖體后端部面積很小，將承受很大的拉應力，當達到巖體的抗拉強度時，巖體則會在后端部發生拉張破壞而失穩，尤其是直接掉塊時巖體的重力完全由端部的抗拉強度承受，巖體受拉破壞可能性將增大，而上述研究均未能考慮到巖體受拉破壞這種情況,只采用假定結構面完全貫通巖體的塊體理論進行塊體穩定性分析，這會導致失穩塊體過多過大，無法為地下工程施工設計提供可靠的依據。

本文考慮了結構面長度的有限性，構建了巖體受拉破壞失穩的幾何模型和力學模型，并采用Monte-Carlo法分析了潛在失穩塊體的形成概率和失效概率。最后以黃島地下水封洞庫地下工程為例，分析了三組結構面在施工巷道不同部位潛在失穩塊體形成概率和失效概率與巖體尺寸系數的關系，并對施工巷道不同部位形成的潛在失穩塊體的失穩規模(即失穩體積范圍)進行了預測評價，以為地下工程設計與施工提供依據。

1 未完全貫通巖體的失穩模型

塊體理論假定空間上三組結構面和臨空面(開挖面)完全切割巖體形成棱錐體，實則是認為任意兩組結構面的交線長度不小于其所夾棱的長度，由于結構面的有限性，并不一定能完全切割塊體，因此本文主要討論未貫通巖體的穩定性分析模型，而完全貫通塊體則是該模型的一種特例。

1. 1 潛在失穩塊體的幾何模型

切割巖體的結構面的幾何形態采用1978年Baecher等建立的圓盤模型，這也是運用最廣泛的結構面模型[13]。本文假定能發生失穩的巖體的形成條件為三組結構面在臨空面上的跡線不小于所切割的三棱錐在臨空面上各邊的邊長，這與趙文[7]、傅鶴林[8]和郝杰等[12]關于關鍵塊體形成條件的假設相同。

當結構面跡線兩端點與三棱錐在臨空面上的頂點重合時，將對巖體造成最大程度的切割，即為最危險狀態。以最危險狀態分析，J1、J2和J3在臨空面上跡線的兩端點分別為A2和A3、A1和A3、A1和A2，其兩兩相交所形成三條交線的另一個端點分別為P1、P2、P3，由A1、A2、A3和P1、P2、P3構成的不規則棱臺體即是潛在失穩塊體的一般幾何模型(P1、P2、P3三點重合時即為完全貫通的塊體)，如圖1所示。下面求解潛在失穩塊體的幾何參數。

圖1 潛在失穩塊體的一般幾何模型Fig.1 General geometric model of potentially unstable block

(1)

式中：bim和bin分別為Jm和Jn在棱線OAi上的截距長度。其中，b12的求解公式為

(2)

其他同理可得。

(2) 潛在失穩塊體體積及各受力面面積。潛在失穩塊體的體積V由下式計算：

(3)

塊體在結構面Ji(i=1，2，3)上的面積Si為

(4)

式中：m、n為{1，2，3}中不為i的兩個不同元素。

塊體受拉面面積Sp及其內法線單位向量n分別由下面公式計算：

(5)

(6)

1. 2 潛在失穩塊體的穩定性分析

地下工程中塊體的運動有單面滑動、雙面滑動和分離掉塊3種模式，其中塊體分離掉塊一般發生在洞室頂板，塊體單面滑動和雙面滑動在洞室頂板和邊墻均有發生。對于未完全貫通的潛在失穩塊體，其后端(P1P2P3)發生拉破壞而與巖體分離，進而發生滑動(或掉塊)，如圖2所示。

圖2 潛在失穩塊體的運動模式Fig.2 Motion mode of potentially unstable block

本文從幾何學的角度來判斷塊體的運動模式，即以塊體受到的重力G在各個結構面法向上進行投影，若結構面上產生非負壓力，則塊體沿該結構面滑動；若結構面上產生負壓力(拉力)，則塊體與該結構面分離。塊體沿結構面Ji滑動的判別式為

ni·nz≥0

(7)

1.2.1 塊體單面滑動

(8)

則塊體單面滑動的安全系數計算公式為

(9)

式中：ζ為塊體的安全系數;σt為巖塊的抗拉強度(kPa);γ為巖塊重度(kN/m3);ci和φi分別為結構面Ji的黏聚力(kPa)和內摩擦角(°);下同。

1.2.2 塊體雙面滑動

(10)

結構面Jm和Jn上塊體受到的支反力Nm和Nn分別采用下面公式計算：

(11)

(12)

(13)

則塊體雙面滑動的安全系數計算公式為

(14)

式中：下標m和n均為塊體滑動依附的結構面的編號；其他符號同上。

1.2.3 塊體分離掉塊

若三組結構面均不滿足公式(7)，則塊體的運動模式為分離掉塊，塊體的運動方向即為塊體重力方向，即

(15)

此時由于塊體直接與各結構面分離而不產生滑動，塊體的抗力則完全由塊體后端部的抗拉力提供，則塊體分離掉塊的安全系數計算公式為

(16)

2 潛在失穩塊體失穩體積的預測

巖體中結構面的空間分布極其錯綜復雜，多組結構面在不同的開挖段上可能形成的塊體體積是不確定的。工程實際中為安全起見，通常采用最大塊體體積作為設計基準，但這較為保守,因此本文提出一種修正的潛在失穩塊體失穩體積的預測方法。

2. 1 修正的最大塊體體積

對于給定產狀的三組結構面與某一臨空面切割巖體所能形成的三棱錐塊體(不考慮結構面的有界性)具有相似性，由于臨空面的有界性以及結構面間距的制約，將形成可能的最大三棱錐塊體，其體積為Vm。

目前普遍使用Unwedge程序求解最大塊體體積。該程序假定結構面貫穿研究區域，且在保持產狀不變的情況下可任意移動，在分析時Unwedge程序會自動搜索出開挖面不同部位最大可能的三棱錐塊體體積。工程實際中受結構面間距的影響，最大塊體體積達不到Unwedge程序確定的最大塊體體積?；诖?，本文對最大塊體體積進行了修正。

根據Unwedge程序獲得臨空面上4個頂點的坐標，據此求得臨空面上各頂點與結構面J1、J2、J3的垂直距離分別為e1、e2和e3，對應三組結構面間距分別為d1、d2和d3，則結構面間距對Unwedge程序搜索的最大塊體的修正比χ可用下式計算：

χ=min{d1/e1,d2/e2,d3/e3,1}

(17)

三組結構面間距均大于對應的垂直距離時，可能形成的最大塊體即為Unwedge程序搜索得到的最大塊體。

(18)

則最大塊體體積為

(19)

2. 2 基于可靠性的潛在失穩塊體的失穩體積預測

由于固定產狀的結構面的空間位置仍具有不確定性，其切割巖體會形成各種尺寸的相似三棱錐塊體，最大的塊體即為上述修正的最大三棱錐塊體。而且由于結構面直徑的限制，其對不同尺寸的三棱錐塊體有不同的切割程度(同一尺寸三棱錐塊體可能被切割成不同體積的棱臺體)。通過對不同尺寸的潛在失穩塊體的形成概率和失效概率進行分析，可預測塊體的失穩體積范圍。

2.2.1 潛在失穩塊體形成概率和失效概率的計算方法

能切割形成潛在失穩塊體的結構面的直徑應不小于所切割的三棱錐在臨空面上各邊的邊長。采用ε來判斷潛在失穩塊體是否能形成，其表達式如下：

(20)

式中：li為塊體在臨空面與結構面Ji所夾的邊長;Di為結構面Ji的直徑；h(x)為階躍函數，當x≥0時，h(x)取1，當x<0時，h(x)取0。

當ε=1時，能形成塊體，即潛在失穩塊體的形成概率Pe(即為ε=1的概率)為：

Pe=P(ε=1)

(21)

以安全系數ζ=1為塊體穩定與破壞的界限，定義潛在失穩塊體的失效概率Pf為

(22)

式中：f(ζ)為安全系數ζ的概率密度函數。

在塊體失穩體積的不確定性分析模型中，一般選取Di為隨機變量。結構面直徑Di的概率分布函數一直是結構面研究領域的難題，2000年Zhang等[14]推導出由結構面跡長分布參數確定對數正態分布、負指數分布和伽瑪分布型的結構面直徑分布參數的求解公式，其中對數正態分布型結構面直徑的分布參數為

(23)

(24)

式中：μl和σl分別為結構面跡長平均值和標準差的參數;μD和σD分別為結構面直徑平均值和標準差的參數。

采用Monte-Carlo方法進行可靠性分析可以視作確定性分析模型的多次重復計算，該方法概念簡單、直觀，對于功能函數的非線性和復雜性沒有任何要求，無需對隨機變量進行正態化，且在樣本量充足的情況下，可以獲得高精度的失效概率估計值[15]。因此，本文選取Monte-Carlo方法計算潛在失穩塊體的形成概率和失效概率。

在Matlab軟件中輸入參數μD和σD,即可生成結構面直徑Di的隨機數，利用下面公式計算形成概率μ和失效概率η的估計值：

(25)

(26)

式中：N為Monte-Carlo法隨機模擬的總樣本數;Ne為形成塊體的總數;Nf為失效樣本的總數，失效樣本為安全系數ζ≤1的隨機樣本。

2.2.2 不同尺寸潛在失穩塊體的形成概率和失效概率計算

以上述修正的最大三棱錐塊體為基準，取尺寸系數k∈(0,1](k=1時對應修正的最大三棱錐塊體)，則當k取不同值時，三棱錐塊體各棱長變為

(27)

為契合基于隨機抽樣的Monte-Carlo法，需要將連續變量k進行離散化處理?？紤]到地下巖體結構面在空間上分布的隨機性和模糊性，即單個結構面在任意空間位置的可能性相等，故在連續區間k∈(0,1]中均勻抽取Nk個點，即

ki=i/Nk(i=1,2,…,Nk)

(28)

(29)

(30)

由此可計算得到潛在失穩塊體不同體積下的形成概率和失效概率，以目標失效概率η0作為塊體失穩體積預測的閾值，即可預測得到潛在失穩塊體的失穩體積范圍。

3 實例應用與分析

黃島地下水封洞庫地下工程包括施工巷道、主洞室、豎井和水幕巷道。2條施工巷道入口位于洞庫南側，設計標高均為70 m，分別沿洞庫東西兩側向北延展，至洞庫北端交匯；巷道走向為355°，終端設計標高為-30 m，平均坡降約為13.3%；巷道洞跨為9 m，洞高為8 m。

根據勘察資料，施工巷道圍巖為二長花崗巖，發育多組結構面，巖體破碎—較完整。據統計，該區域內主要發育4組優勢結構面，本文選取其中三組結構面進行研究。其中，結構面J1產狀為86°∠52°，跡長服從對數正態分布，均值為1.16 m，標準差為0.16 m，間距約3.68 m；結構面J2產狀為204°∠68°，跡長服從對數正態分布，均值為1.08 m，標準差為0.17 m，間距約5.54 m；結構面J3產狀為140°∠83°，跡長服從對數正態分布，均值為1.36 m，標準差為0.23 m，間距約5.24 m。由3組結構面的跡長分布，根據公式(23)和(24)計算得到3組結構面直徑的分布參數為：J1，μD1=1.42 m，σD1=0.27 m；J2，μD2=1.30 m，σD2=0.31 m；J3，μD3=1.67 m，σD3=0.34 m。巖體的物理力學參數見表1。

表1 巖體物理力學參數表

3. 1 最大塊體體積的確定

根據深部巖體優勢結構面和施工巷道幾何形狀參數，本文運用Unwedge程序對巷道圍巖進行隨機關鍵塊體搜索，找出各個開挖面上可能出現的最大塊體，其搜索結果見圖3。

圖3 Unwedge程序搜索的最大塊體Fig.3 Largest blocks from Unwedge program

由Unwedge程序搜索得到施工巷道開挖面各部位最大塊體的體積如下：巷道頂板和底板均為101.632 m3；巷道兩邊墻均為3.947 m3；巷道前后端墻均為1.307 m3。由于施工巷道前后端墻形成的最大塊體體積很小，而底板上的塊體為穩定塊體，以下不再對其進行分析。

根據Unwedge程序獲得棱錐體各頂點坐標，求得開挖面上各點到各結構面的垂直距離ei，再根據結構面間距并利用公式(17)和(18)對塊體尺寸進行修正，最后利用公式(19)計算修正后的最大塊體體積，從而得到施工巷道頂板、左邊墻和右邊墻上可能形成的最大三棱錐塊體的修正結果，詳見表2。

表2 施工巷道各部位可能形成的最大三棱錐塊體體積的修正結果

3.2 不同尺寸潛在失穩塊體的形成概率和失效概率計算與分析

對施工巷道頂板和兩邊墻上的塊體分別進行可靠性分析，相似比(尺寸系數)ki以0.05的間隔在(0,1]上均勻取值，對應每一個值，對結構面直徑進行10 000組隨機抽樣，計算潛在失穩塊體的體積和安全系數，并記錄。對于施工巷道頂板、左邊墻和右邊墻3個部位分別產生總數為200 000的樣本量。

圖4 不同尺寸潛在失穩塊體形成概率的累積分布曲線Fig.4 Cumulative distribution curves of the formation probability of potentially unstable block of different sizes

圖5 不同尺寸潛在失穩塊體失效概率的累積分布曲線Fig.5 Cumulative distribution curves of the failure probability of potentially unstable block of different sizes

概率密度形式的形成概率μ和失效概率η反映了不同尺寸潛在失穩塊體形成概率和失效概率的相對大小，實際中裂隙巖巷道開挖過程中總是會形成各種尺寸的塊體，μ和η無法反映其整體穩定性，累積形成概率fμ和累積失效概率fη分別表示小于某尺寸所有塊體的形成概率和失效概率，可更貼合實際地反映結構面切割巷道圍巖的穩定性。

3. 3 巷道圍巖失穩體積的預測

參考陳祖煜等[16]的研究，對于大多數巖土工程問題，控制可靠度指標為3.10、對應破壞概率為0.001是合適的。本文以0.001作為目標失效概率η0，對施工巷道不同部位潛在失穩塊體的失穩體積范圍進行可靠性分析，其結果見表3。

表3 施工巷道不同部位潛在失穩塊體失穩體積范圍的可靠性分析

綜上分析可知，結構面切割圍巖在施工巷道上不同部位形成了潛在失穩塊體，在巷道頂板上發生掉塊失穩，巷道左邊墻發生單面滑動失穩，巷道右邊墻發生雙面滑動失穩；以0.001作為目標失效概率，預測巷道頂板上發生失穩的最大塊體體積為10.900 m3，巷道左邊墻和右邊墻上發生失穩的最大塊體體積分別為1.681 m3和1.630 m3。該分析結果可為地下工程設計、施工等提供可靠的依據。

4 分析與討論

(1) 現有研究關于塊體的形成有以下兩種判斷方法：①結構面跡長大于棱錐底面各邊長，如趙文[7]、傅鶴林[8]、郝杰等[12]提出的方法；②結構面直徑大于棱錐各側面外接圓直徑，如孫樹林等[11]提出的方法。將本文方法與上述兩種方法作比較，以施工巷道頂板上的塊體為例，分析不同尺寸潛在失穩塊體的形成概率，得到各種方法的潛在失穩塊體累積形成概率fu與尺寸系數k的關系曲線，見圖6。

圖6 不同方法潛在失穩塊體累積形成概率與尺寸系數的關系曲線Fig.6 Relationship of the cumulative formation probability and the size coefficient of potentially unstable block by different approaches

由圖6可見，潛在失穩塊體的累積形成概率大小排序為：本文方法>方法①>方法②，即表明本文方法更安全可靠。

(2) 結構面間距限制了形成塊體的最大尺寸，通過結構面間距修正比χ與Unwedge程序搜索的關鍵塊體確定潛在失穩塊體的最大體積。本案例結構面間距選取的是統計平均值，而實際上結構面間距是有一定變幅的。為了探討結構面間距對上述可靠性分析結果的影響，本文以頂板塊體為例，分別以結構面間距修正比χ=0.480和χ=0.680作兩組重復隨機計算(前述頂板塊體χ=0.580)，其計算不同結構面間距修正比下潛在失穩塊體的失穩體積范圍，結果見圖7。

圖7 不同結構面間距修正比下潛在失穩塊體的失穩體積范圍預測Fig.7 Prediction of the volume range of potentially unstable block with different correction ratios

根據目標失效概率為0.001，預測結構面間距修正比分別為0.480和0.680時潛在失穩塊體的失穩體積區間，經計算分別為(0,10.514] m3和(0,11.145] m3，與前述χ=0.580時的(0,10.900] m3相差很小。而從累積形成概率來看，當χ=0.480、χ=0.580和χ=0.680時，巷道頂板上累積形成概率預測值分別為0.704、0.580和0.490，相差較大。

綜上分析可知，結構面間距對潛在失穩塊體失穩體積范圍的預測結果影響較小，而對其累積形成概率有明顯的影響，表現為結構面間距越小，累積形成概率越大；當χ=0.480時，預測得到的潛在失穩塊體失穩體積最大值已臨近可能形成的最大塊體體積，且當結構面間距更小時，最大塊體體積的預測值將完全由結構面間距控制。

5 結 論

由于結構面長度的有限性，地下巖體被切割形成完全貫通巖體和未完全貫通巖體，后者中一部分為可能發生后端受拉破壞而失穩的棱臺形塊體。本文以完全貫通塊體和上述近棱臺形塊體作為可能失穩的潛在失穩塊體，建立了潛在失穩塊體的幾何模型和力學模型，推導出潛在失穩塊體安全系數的計算公式，并給出了一種預測潛在失穩塊體失穩體積范圍的預測方法，即：該方法首先根據開挖面尺寸和結構面間距求得三組結構面可能形成的最大棱錐體；然后再運用Monte-Carlo法分析不同尺寸潛在失穩塊體的形成概率和失效概率的變化規律;最后以目標失效概率為閾值預測潛在失穩塊體的失穩體積范圍。

本文通過運用上述方法對黃島地下水封洞庫施工巷道潛在失穩塊體進行可靠性分析，并研究了結構面直徑呈對數正態分布的三組結構面在巷道各部位切割形成潛在失穩塊體的形成概率和失效概率與巖體尺寸系數的關系，結果表明：巖體尺寸系數越大，潛在失穩塊體的形成概率和失效概率越低。以0.001的目標失效概率預測了施工巷道各部位潛在失穩塊體的失穩體積范圍，結果為：巷道頂板為0～10.900 m3,預測左邊墻為0～1.681 m3,巷道右邊墻為0～1.630 m3。同時，還討論了結構面間距對潛在失穩塊體失穩體積范圍預測結果的影響，結果表明：當結構面間距修正比大于0.48時，對預測結果無明顯影響；當結構面間距修正比小于0.48時，其對預測結果有控制作用。此外，將本文方法與已有方法的預測結果進行了比較，結果表明：本文方法獲得的預測結果是安全可靠的，該預測結果可為地下工程設計、施工等提供可靠的依據。