大位移井井下鉆柱耦合動力學分析研究

楊堯焜， 蔣宏偉， 袁志平

(1中國石油集團工程技術研究院有限公司 2中國石油集團長城鉆探工程有限公司 3川慶鉆探工程有限公司鉆采工程技術研究院)

大位移井鉆業環境惡劣，工況復雜，更容易發生井下鉆具振動[1]，井下鉆柱振動主要原因在于中和點以下鉆頭劇烈跳動引起鉆柱軸向力的改變，軸向力的驅使鉆具離心，鉆具質量不均勻容易產生橫向振動，橫向振動極易引發扭轉振動，井下鉆柱振動加劇鉆柱的疲勞破壞[2]，影響鉆具井下安全鉆進，然而分析鉆柱橫向、縱向、扭轉單向振動并不能完全解釋井下鉆具振動的規律，因此需要研究井下鉆具橫向、縱向、扭轉相互耦合的振動規律，結合實際作業工況，考慮鉆壓、轉速等因素對耦合振動的影響。

針對大位移井鉆柱非線性耦合振動形式，傳統的線性微元法很難對其求解[3]，可采用有限元方法求解動力學表達式。本文主要采用有限元方法對大位移井鉆進過程中鉆柱的耦合力學模型，并結合矩陣變換進行求解，考慮了波動鉆壓、轉速等因素對耦合振動的影響進行分析，并根據興古7-H173現場采用鉆具組合進行試驗，現場試驗證實了井下鉆具耦合振動的規律。

一、大位移井井下鉆柱動力學模型

為了研究大位移井鉆進情況下鉆柱耦合力學模型，建立非線性有限元表達式，結合復雜的邊界條件，建立大位移井鉆柱耦合動力學有限元如下[4]：

(1)

式中：[M]—單元鉆柱的質量矩陣；[K]—單元鉆柱的剛度矩陣；[C]—鉆井液單元阻尼矩陣；[F]—單元鉆柱的外載荷矩。

1.模型求解

為了求解大位移井耦合動力學有限元表達式的質量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣[5]。模型假設：①鉆具結構一體化，不考慮其復雜結構；②只考慮鉆柱本體的受力變形，不考慮接觸外力；③旋轉鉆進過程中建立井下鉆柱單元，忽略大位移井鉆柱上端與平臺等發生力學行為，不考慮井口鉆柱位移。

建立三維位移坐標系，如圖1。固定兩端端點為i和j，單元方向由i指向j，ix′，iy′軸與iz′軸構成新的坐標系，其中i和j為圓心。

圖1 三維位移新坐標系

u(x,t)=a1(t)+a2(t)x

v(x,t)=a3(t)+a4(t)x+a5(t)x2+a6(t)x3

(2)

w(x,t)=a7(t)+a8(t)x

式中：an(n=1,2,…，8)—系數；u(x,t)，v(x,t)，w(x,t)—新坐標系下的三維振動關于時間變化的位移方程。

邊界條件：

(3)

(4)

式(3)、式(4)帶入式(2)整理可以得到：

u(x,t)=(N1N2)[Ui(t)UJ(t)]T=NUδU

(5)

v(x,t)=(N3N4N5N6)(VIVj)=NVδV

(6)

w(x,t)=(N7N8)(WiWj)=NWδW

(7)

鉆柱單元的位移矩陣和彈性矩陣[6]：

δ=(UiViWiUjVjWj)

(8)

N=[N1N2N3N4N5N6N7N8]

(9)

鉆柱單元速度可表示為

(10)

鉆柱單元動能為：

(11)

鉆柱單元勢能為:

(12)

2.固有頻率求解

根據勢能和動能方程帶入即可求得大位移井鉆柱單元質量矩陣[mi]和剛度矩陣[Ki]，假設不考慮阻尼矩陣和外載荷下，簡化為：

(13)

為了建立整體鉆柱的動力學方程，需要將鉆柱單元的剛度矩陣和質量矩陣在局部坐標系下的形式轉化為在整體坐標系下的形式，轉換矩陣[7]為：

(14)

式中：α—井斜角，直井cosα=1；φ—方位角。

由此振動位移矩陣可以表示為：

[δ]=[T][δ′]

(15)

因此，質量矩陣[M]和剛度矩陣[K]在整體坐標系下：

[M]=[T]-1[mi][T]

(16)

[K]=[T]-1[Ki][T]

(17)

利用迭代疊加方法[8]，可以表示出n×n整體坐標下的質量矩陣和剛度矩陣。整理求得振動頻率矩陣：

[ω2]=[K][M]-1

(18)

式(18)求得的固有頻率平方的矩陣[ω2]：

(19)

將[ω2]開平方根[9]，可以求得ω1，ω2，…，ωn。把求得的ω按照大小順序排列下來，ω1<ω2<…<ωn，即可以知道鉆柱一階到n階固有頻率的大小，求解的固有頻率大小可以為井下鉆柱非線性耦合振動規律提供相應依據[10]。

3.鉆壓波動方程

考慮鉆壓和轉速對井底周期性振動的影響，假定鉆壓波動方程為：

F=p0+ptsinωt

(20)

(21)

根據建立的鉆壓波動方程，帶入式(19)求得的振動頻率，可以得到考慮了鉆壓波動條件下的井下鉆柱振動規律，進而可以計算出隨鉆壓、轉速變化的振動頻率。

二、實例計算分析

采用興古7-H173大位移井鉆井參數計算分析，如表1，基于以上模型和方法，考慮了鉆壓波動條件下轉速、鉆壓對井下鉆柱振動的影響因素分析，主要假定鉆壓幅值、轉速為變量，實際現場的振動頻率主要在固有的鉆柱一階、二階固有頻率幅值之間波動，因此對鉆柱一階、二階固有頻率幅值進行求解并分析規律。

表1 相關基本數據

鉆壓幅值為80 kN，轉速為50 r/min、200 r/min鉆柱一階、二階振動頻率幅值如圖2。

轉速50 r/min，鉆壓幅值50 kN、100 kN鉆柱的一階、二階振動頻率幅值如圖3。

圖2 轉速50 r/min、200 r/min鉆柱振動頻率

圖3 鉆壓幅值50 kN、100 kN鉆柱振動頻率

圖2可以發現，考慮了鉆井液內外對鉆柱的作用，低轉速50 r/min的鉆柱振動周期較長，高轉速200 r/min的振動周期明顯縮短，振動次數不斷增加，頻率故而變高。轉速50 r/min，200 r/min對鉆柱固有振動頻率ω1的大小沒有明顯的影響，但耦合共振頻率在第一階共振頻率ω1和第二階共振頻率ω2之間波動范圍變小，容易達到共振幅值。

圖3可以發現，鉆壓幅值越大鉆壓波動越劇烈，波動頻率也隨之增大，但鉆壓大小并未對鉆柱的振動周期發生改變，共振頻率在第一階振動頻率ω1和第二階振動頻率ω2之間波動范圍變小，容易達到共振幅值。

三、現場試驗分析

針對興古7-H173大位移井采用三開鉆具組合如下：?311.2 mm鉆頭+MWD+減振器+?228.6 mm鉆鋌+?311.2 mm穩定器+測試短節+?228.6 mm鉆鋌+?203.2 mm鉆鋌+震擊器+?203.2 mm鉆鋌+?139.7 mm加重鉆桿+?139.7 mm鉆桿。采用測試短節測試BHA的三維振動加速度隨時間的變化。

采點間隔：采樣周期為30 min，每隔15 min采集2 min。

第一次測試井段2 835～3 104 m，鉆壓120～140 kN，轉速120～130 r/min；第二次測試井段3 315～3 527 m，鉆壓80～100 kN，轉速80～100 r/min；測試結果如圖4。

圖4 鉆柱三軸振動加速度

從圖4(a)看出針對井段2 835～3 104 m，可以看出在高鉆壓、高轉速條件下X軸振動出現粘滑振動現象，Y軸振動很劇烈，X，Y，Z三軸的振動規律存在一定的周期性變化，這種周期性的無規律振動加速鉆具的疲勞破壞，及時調整鉆壓、轉速的大小，避開粘滑振動。從圖4(b)3 289～3 425 m井段轉速和鉆壓降低以后，X，Y，Z軸的振動加速度明顯下降，粘滑振動消失，此時鉆具組合在正常鉆進時持續的平穩井下振動。

四、結論

(1)通過數值模擬發現，井底鉆壓波動越大，井下鉆柱耦合振動頻率幅值越大，但振動周期未發生明顯改變；而轉速越高，波動周期明顯加快，共振頻率在一階固有頻率與二階固有頻率幅值之間波動范圍變小，容易達到共振幅值。

(2)通過現場試驗可以發現，井下鉆柱振動存在周期性波動，高鉆壓、高轉速條件下井下鉆柱振動明顯加強，而降低鉆壓、轉速，振動明顯減弱，與模型數值模擬計算規律接近，具有一定適用性。