基于Copul a的投資組合風險分析

胡青

（北京工商大學理學院，北京100048）

1 引言

Copula函數作為一種新的度量多變量之間的相關結構的工具已受到眾多學者的關注，并在金融領域得到廣泛應用。自Embrechts等首次將Copula函數引用到風險管理領域以來，國內外已有大量的文獻對Copula在金融中的應用做了廣泛的研究。例如，吳振翔等運用Archimedean Copula對基于VaR的外匯投資組合構建問題進行了深入研究；Goorbergh等利用Copula函數的參數與秩相關系數Kendall之間建立了一一對應關系，建立了Copula-GARCH模型，研究了雙標的最優認購期權的定價問題[1]。論文運用Copula函數建立了投資組合之間的聯合分布，并得到了在一定概率下的收益率。

在得到投資組合的聯合分布之后，如何量化地描述投資組合的風險也是學術界較為關注的問題。在實際中人們往往更為關注大的損失，也就是尾部風險，而VaR就是描述尾部風險的一種很好的方法，目前金融機構都在使用VaR方法管理投資組合的風險[2][3]。

2 Copula理論

假設 Y=（Y1，…，Yn），聯合分布函數 FY，其邊際分布函數分別為：均服從[0,1]上的均勻分布，則的聯合分布就稱為Copula。

在Copula中最主要的是橢圓Copula和Archimedean Copula，其中橢圓 Copula包括正態 Copula和 t Copula,Archimedean Copula 包 括 Frank Copula、Clayton Copula 和Gumbel Copula[4]。

2.1 正態Copula函數

正態Copula函數由多元正態分布函數得出，即CG=（u1，…，un）=?（?-1（u1），…，?-1（un））。其中?為n元標準正態分布的聯合分布函數；?-1為單一變量的標準正態分布函數。

二元正態copula函數的表達式為：

二元 Gumbel copula 的表達式為：

其中R12為兩隨機變量之間的相關系數。

2.2 t copula函數

tcopula函數是多元t分布的聯合分布函數，t分布函數是由卡方分布和多元正態分布（卡方分布和多元正態分布相互獨立）構造得到，tcopula函數的形式如下：

二元t copula的表達式為：

2.3 二元Frank copula函數

二元Frank copula的表達式為：CF（u1，u2，α）=exp[-{（-其中 α∈[1，∞）。

2.4 二元Clayton copula函數

二元Clayton copula函數是阿基米德copula函數中較為常用的一種，其表達式為：其中θ∈（0，∞）。

2.5 Gumbel copula函數

3 VaR理論

我們選用VaR指標來度量投資組合的風險[5]。以L表示金融資產的損失函數，對于一個給定的α∈（0，1），置信水平α下的 VaR 定義[6]為：VaR（α）=inf{x：P（L≤x）≤α}

4 實證分析

本文從銳思研究數據庫選取了九只股票，分別為萬科A（000002）、招商地產（000024）、國農科技（000004）、華錦股份（000059）、平安銀行（000001）、世紀星源（000005）、深圳華強（000062）、農產品（000061）、中金嶺南（000060），得到了這九支股票在2001年1月1日到2016年6月1日的日收益率數據，旨在通過對股票日收益率的研究得出投資組合的相關性對投資組合損失的影響。因此，首先利用RStudio軟件得出這九支股票日收益率（單位：%）的相關系數矩陣如下（表1）。

由于收益率數據本身差距較小，于是我們選取差別較為明顯的兩組進行研究，從上表中可以看出000002和000024的相關系數為0.315,000004和000059的相關系數為0.007，因此，我們選擇這兩個投資組合進行研究。下面我們稱前者為組合A，后者為組合B。

表1 九支股票的相關系數矩陣表

圖1 四組日收益率數據的正態QQ圖

圖2 四支股票收益率核密度估計圖

圖3 四支股票日收益率t分布的QQ圖

首先，我們要看一下四只股票日收益率的邊際分布，我們可以通過正態QQ圖的情況來檢驗四組數據的厚薄尾情況，然后根據用數據估計的密度曲線的情況來確定其分布情況（圖1，圖2，圖3）。

通過正態QQ圖，我們可以看到每一支股票的日收益率都是尖峰后尾性的分布，然后通過估計的密度函數圖，我們可以認為四支股票的收益率數據均為尖峰后尾的分布，于是我們考慮t分布，運用t-QQ圖可以看出t分布比正態分布更合適。于是我們運用t分布來擬合這四組數據，并估計出了t分布的參數分別為 000002：（-1.187435e-05 2.425709e-02 3.683019）；000024：（0.002104043 0.043948802 2.465538460）；000004： （0.0009561316 0.0280088659 4.8036371012）；000059：（-0.0004539416 0.0279536113 5.0903586721）。

投資組合可視為兩個隨機變量相加，要看隨機變量的損失情況，首先要得到兩個隨機變量的聯合分布函數，現在，我們雖得到了其邊緣分布，但兩個隨機變量的聯合分布函數還依賴其相依結構。下面我們將選用不同的Copula函數，包括二維t Copula，正態Copula和阿基米德Copula，對兩個邊緣分布進行連接，并用AIC準則選取最好的Copula，得到最優的聯合分布。下面是我們用軟件擬合的組合A和組合B的聯合分布的參數：

表2 四個Copula函數的參數表

下面我們將根據公式

計算兩個投資組合不同Copula的AIC，從而選擇具有最小的AIC值的Copula作為投資組合的聯合分布函數[7]。其中，k為參數的個數，L為極大似然函數值。根據R軟件得到的AIC的值為：

表3 四個Copula的AIC值

根據計算得到AIC值及AIC值越小越好的原則，組合A選擇t Copula,而組合B選擇frank Copula。利用軟件得到：在5%的置信度下，組合A的VaR為-1.72%，即收益率為-1.72%；組合B的VaR為-1.67%，即組合B的收益率為-1.67%，也就是說，在相同的置信度下，組合A會損失1.72%，組合B會損失1.67%。

本文結論表明，在選擇投資組合時，應該選擇相關系數較小的。