關于一類具有負系數的廣義單葉函數性質

何 濤，周海燕，李書海

（赤峰學院數學與統計學院，內蒙古 赤峰 024000）

1 引言

設函數 f（z） 和g（z） 在D ＝ {z:z＜1}內解析，如果存在解析函數w（z）滿足w（0）＝0，w（z） ＜1，使得f（z） ＝ g（w（z）） ，則稱 f（z） 從屬于 g（z） ，記為 f（z） ? g （z）[1].

用S（a，k）表示在單位圓盤D內具有如下形式的解析單葉函數全體函數組成的類.令Ta，k（）表示Sa，k（）中的具有負系數單葉函數的子類:

顯然T（1，2）＝T[2].Vinod Kumar在文獻[2]中引進并研究了T的特殊子類:

定義A 設A，B∈R， －1≤B ＜A≤1.函數f（z） ∈T屬于函數類P（A，B） 當且僅當

文獻[2]中討論函數類P（A，B）的幾何特征，先證明函數類充分條件，得到類中函數的系數不等式、偏差、覆蓋、閉包定理和極值點等性質.國內外學者在文獻[3-17]中分別研究了T的不同子類幾何函數性質，得到重要結果.

以下，在Sa，k（）上引進廣義解析函數類，首先給出積分表達式、充分條件，由此得到類中函數的系數不等式、偏差、覆蓋、閉包定理和極值點等性質，所得結果推廣了文獻[2]中的主要結果.最后還進一步討論函數類的Hadamard卷積的封閉性質和包含關系，得到新結果.

2 定義及有關引理

首先引進函數類:

定義1 設A，B∈R，a ＞0， A≤1， B ≤1，A≠B，0≤λ ≤1.函數f（z） ∈S（a，k）屬于函數類Pk（a，λ，A，B）當且僅當

令

TPk（a，λ，A，B）＝Ta，k（）∩Pk（a，λ，A，B）.

顯然，定義中分別取 a ＝ 1， －1≤B ＜ A≤1，λ ＝ 1 時，P2（1，1，A，B） 和TP2（1，1，A，B） 為文獻[2]中研究的函數類.

引理1 函數fz（）∈Pk（a，λ，A，B）當且僅當

證明:根據從屬關系的定義，f（z）∈Pk（a，λ，A，B） 當且僅當在D中存在解析函數w（z）滿足w（0）＝0，w（z） ＜1，使得（4）式等價于（3）式.證畢.

3 主要結果及其證明

下文中，如無特殊說明，參數k，A，B，a均滿足條件:

k，A，B ∈ R，k≥2，a ＞ 0， A≤1， B≤1，A ≠ B，0 ≤λ ≤1.

定理1 函數 f∈ Pk（a，λ，A，B） （0 ＜ λ ＜ 1） 當且僅當

其中解析函數w（z）滿足w（0）＝0，w（z）＜1，C為任意常數.

證明:設f∈Pk（a，λ，A，B） （0＜ λ ＜1） ，根據從屬關系定義可知，存在解析函數類w（0）＝0，w（z）＜1使得:

由一階非齊次微分方程的求解公式可得

上述證明是可逆的.故函數f∈Pk（a，λ，A，B）當且僅當（5）式成立.

其次，給出系數不等式:

定理2 設函數 f（z） ∈ S（a，k） ，若滿足條件

則f（z）∈Pk（a，λ，A，B）.

證明:設不等式（6）成立.令 z ＝ 1 ，由 f（z） ∈ Tk（a） 和利用（6）得到

因此，利用最大模原理，可得

由引理1可知fz（）∈S?k（a，A，B） .

定理3 設函數 f（z） ∈ T（a，k） ，則

①當－1≤B＜A≤1，B≤0時fz（）∈TPk（a，λ，A，B）的充要條件為

②當－1≤A＜B≤1，B≥0時fz（）∈TPk（a，λ，A，B）的充要條件為

證明:因 TPk（a，λ，A，B） ? Pk（a，λ，A，B） ，所以由定理2 可知，定理3 的充分性顯然成立 . 只需證明必要性即可.先證明①的必要性.

設fz（）∈TPk（a，λ，A，B），由引理1得到

由于對于任意復數z，滿足的 Rez≤z，所以

使用z→1－時，從（9）可得到 （7）式.

用相同的方法容易（8）成立.如果取函數

則（7）和（8）式均能達到準確值.證畢.

下面利用系數不等式討論函數類TPk（a，λ，A，B）的基本性質.

定理4 若 f∈ TPk（a，λ，A，B） ， z＝ r，則①當 － 1≤B ＜ A≤1，B ≤0時，有

證明:①設 f∈ TPk（a，A，B） ，由定理 3 中①可知

因此

從而①成立.用相同的方法證明②.證畢.

定理5 設函數f（z）∈TPk（a，λ，A，B ），則函數

也屬于函數類 TPk（a，λ，A，B ）.

證明:由（10）式，得到

因f（z）∈TPk（a，λ，A，B ），分兩種證明.當 －1≤B ＜A≤1，B≤0時利用定理3中①可知

由定理3推出，F（z）∈TPk（a，λ，A，B ）.同理，當 －1≤A＜B≤1，B≥0時，利用定理3中②容易證明F（z）∈TPk（a，λ，A，B）.證畢.

定理6 設c是實數且c＞ －1，k≥2，又設F（z）∈TPk（a，λ，A，B ），則（10）式定義的函數f（z），在z＜R?是單葉的，其中

證明:設

由（10）式，得到

要得到結果，只要在 z ≤R?時，需滿足條件f′（z）－a＜a或

如果

則有 f'（z） － a ＜ a，而有定理3，得

因此，如果

或者

（10）式將滿足，f（z）在z＜R?為單葉函數.

如果取函數

就能達到準確值.證畢.

定理7 設k∈R，k≥2，a ＞0，如果函數

屬于類 TPk（a，λ，A，B） ，則當，函數 h（z） ＝也屬于 TPk（a，λ，A，B） 類.

證明:由于f（ z）∈TPk（a，λ，A，B） ，由定理3可得到

因此

由定理3 推出 h（z） ∈ TPk（a，λ，A，B） . 證畢.

定理8 設

則函數 f∈ TPk（a，λ，A，B） 的充要條件為

證明:（充分性）:設

因此

因此由定理3 可知 f∈ TPk（a，λ，A，B） .

（必要性）:設 f∈ TPk（a，A，B） ，由定理3 推出

設

因此

證畢.

注:定理3-定理8中分別取a＝1，－1≤B ＜A≤1，λ ＝1，時.就得到文獻[2]中的全部結果.

最后，討論類中函數的Hadamard卷積的封閉性和包含關系.

設 fi（z） ＝∈ T（a，k） （i ＝ 1，2） 則函數 f1（z） 和 f2（z） 的 Hadamard 卷積定義為:

定理9 設

若 A－B ≤（1－ λ ＋kλ） （1 ＋ B ），則 （ f1? f2）（z） ∈ TPk（a，A，B） .

證明:因為fi（z）∈TPk（a，λ，A，B）（i＝1，2） ，由定理3可得到

要證明 （ f1? f2）（z） ∈ TPk（a，λ，A，B） ， 只需證明

利用Cauchy-Schwarz不等式，從（12）得到

即（13）式成立.證畢.

定理10 設0 ≤λ1≤λ2≤1 ，則

證明:設fz（）∈TPk（a，λ2，A，B），分兩種證明.

當 －1≤B ＜A≤1，B≤0時，利用定理3中①可得

由于λ1≤λ2，且1－λ＋nλ為關于λ的增函數，則有

即fz（）∈TPk（a，λ1，A，B），（15）式可證.同理，當－1≤A＜B≤1，B≥0時，利用定理3中②容易證明TPk（a，λ1，A，B） ? TPk（a，λ2，A，B） . 證畢 .

4 小結

首先，利用從屬關系和微分方程方法討論了該類TPk（a，A，B）中函數的積分表達式和系數不等式，其次，研究其幾何特征和極值問題，得到較廣義的結果推廣相關結論.該類函數中還有優化問題、對數系數以及映射區域面積等有很多待進一步研究的有趣問題，需要我們深入探究.