基于永磁同步直線電機的新型滑?？刂撇呗匝芯?/h1>
2018-11-16 01:25
傳感器世界 2018年2期
北京信息科技大學，北京100192
一、引言
在高精度快速進給的數控機床中，傳統的旋轉電機加滾珠絲杠已難以滿足大推力、快速進給的性能要求，永磁同步直線電機（Permanent Magnet Linear Synchronous Motor, PMLSM）相對于傳統的旋轉電機加滾珠絲杠的傳動機構，具有輸出力矩大、響應速度快、結構簡單等優點，已在數控機床主軸的直線進給驅動中取得了非常廣泛的應用。
直線同步電動機是由相應的旋轉電動機演化而成，永磁直線同步電機與永磁旋轉同步電機類似，在動子通入三相電流后，在氣隙中產生運動磁場，只是這個磁場是沿直線平移而不是圓形旋轉磁場，稱為行波磁場。行波磁場和定子永磁體相互作用產生電磁推力。由于磁極磁場由永磁體提供，磁極動子無需外加電源勵磁，使電動機的結構得到簡化，電機的整體效率提高，但磁極磁場不可調。
但是由于直線電機本身結構的原因，其兩端磁路斷開并產生較大畸變，加之機械安裝、制造精度、定子下線等問題，使得動子和定子之間的間隙不均，使得永磁同步直線電機產生較大的波動力，造成直線進給速度的波動，嚴重影響加工精度。
文獻[1]分析了直線電機參數的非線性引起的波動力，并用自適應內?？刂茖ζ溥M行補償提高了控制精度，文獻[2,3,8,9]將神經網絡、推力觀測器等控制方法和滑?？刂葡嘟Y合，明顯削弱了抖振問題。文獻[10-13]對辨識補償波動力進行了大量研究，取得了明顯的成果，但是所有研究都是基于波動力表現出來之后進行的補償。
由于滑?？刂撇恍枰刂茖ο缶_的數學模型，且具有快速響應和較強的魯棒性，所以本文在分析波動力產生的數學機理的基礎上，用新型的電流滑?？刂破饕种芇MLSM非線性電參數引起的波動力的影響，仿真結果表明了該方法的優越性和有效性。
二、永磁直線同步電機數學模型
三相永磁同步直線電機的數學模型首先經過Clark變換和Park變換得到d-q坐標系（如圖1）下的PMSLM的數學模型，以實現轉矩電流和永磁體磁鏈的解耦，其變換矩陣為[5]：
式中，θe—電角度。
d-q坐標系下的PMLSM的數學模型[1]為：
式中，ud、uq—d-q軸定子電壓分量；
id、iq—d-q軸定子電流分量；
R—定子電阻；
Ld、Lq—d-q軸定子電感；
τ—定子極距；
ψf—永磁體磁鏈；
ωr—電角速度；
ξd、ξq—d-q軸電機參數非線性對應的電壓分量。
由于PMLSM參數本身的非線性以及受系統工況等未知的影響因素，造成對d-q軸電壓擾動分量ξd、ξq，其可以表示為：
式中，ΔR、ΔLd、ΔLq、Δψf—分別為電機參數的非線性的變化量。
正是由于電機這些參數的非線性變量，導致當電機的輸入電壓一定的情況下，會出現電流的波動，進而產生力的波動。由于PMLSM這些電參數的非線性不宜測得，所以視這些參數的非線性為未知擾動，根據文獻[4,6]可知，PMLSM力的周期性波動，同時電機電參數的非線性也是位置的周期性函數，其干擾主要作用在伺服系統中的電流環中，所以PMLSM的伺服系統中的電流環控制要有很強的抗擾性、魯棒性、快速響應的能力。
三、電流環滑?？刂破?/h2>1、狀態空間方程
在電流環控制系統中，定義d-q軸的電壓ud、uq為控制輸入，定子電流id、iq的誤差為狀態變量，表示為 ：
由式（2）、式（3）可得電流環控制系統的狀態方程：
其中，視E1、E2為外部擾動和參數攝動的總擾動，所以這就要求電流環控制器要有較強的抗擾性、魯棒性和快速響應的能力。
2、滑模面設計
如果設計成普通的滑模面，在跟蹤指定信號時，控制系統遇到外部擾動時，可能會使系統產生靜差，致使系統無法達到較高性能指標的要求。所以選擇積分滑模面，既可以使狀態變量不會出現二階導數，提高控制系統的穩定性，同時還能減小系統的穩態誤差，提升控制精度。但是當系統突加給定或突然加大外部擾動時，致使出現積分飽和的現象，使系統產生超調、振蕩，影響系統的穩定性，所以本文使用積分分離的積分滑模面，即當系偏差大于給定閥值時，消除積分的作用，以避免積分環節出現飽和效應，其積分滑模面可表示為：
式中，ed(max)、eq(max)—分別代表d軸、q軸電流積分分離滑模面的閥值；
a1、a2—待定正參數。
3、趨近律設計
在20世紀90年代高為炳院士提出趨近律的概念，其典型的趨近律由等速趨近律、變速趨近律、指數趨近律、一般趨近律等。
其中指數趨近律可表示為：
式中，η—指數趨近律系數；
ε—等速趨近律系數。
單獨的指數趨近律會使滑模帶成為帶狀，最后不能趨近零點，使系統在趨近原點附近產生抖振，激發高頻未建模特性。雖然引入了等速趨近律，但是過大的ε會增加趨近運動過程的抖振，此方法滑模面上的運動存在速度和抖振的矛盾。所以本文采用一種時變切換增益系數的新型指數趨近律，其可以表示為：
式中，σ是一個較小的正數。
所以可以保證時變切換增益系數ε′永遠小于原切換系數ε，從而可以使系統在滑模面運動時有效的削減抖振現象；與此同時ρ(x)還會隨著狀態變量x的減小而趨近于0，這樣就可以保證系統的滑模運動最終可以收斂于原點。
4、優化切換函數
正是由于存在切換函數sgn(s)才是控制系統有較強的抗擾性，但是由于其切換特性造成高頻抖振。為了防止其高頻抖振，在控制器中采用平滑函數con(s)代替式（14）中的符號函數，con(s)可表示為：
式中，Δ是一個較小的正數。
采用平滑函數con(s)的本質是：當s較大時，其滑?？刂平魄袚Q控制，加快趨近運動的速度；當s較小時，采用連續的反饋控制，以此來降低控制系統在滑動模態的時候快速切換產生的抖振。但是當Δ太小的話，其效果不好，當Δ太大的話，又會影響趨近運動的動態響應速度，所以使用平滑函數的時候需要權衡利弊選取Δ的值。
5、求取控制律
結合式（11）、式（12）、式（14）、式（16），將E1、E2視為擾動，可以求得新型指數趨近律的電流環的滑?？刂坡桑?/p>
6、魯棒性分析
根據Lyapunov穩定性判據，滑動模態和趨近模態的存在性與可達性判據為：
其中，—d軸電流環控制器中指數趨近律函數中的等速趨近律系數；
η1—指數趨近律系數。
由式（20）可知，只要滿足ε′1-E1≥0，就可以滿足系統滑動模態和趨近模態的可達性與存在性條件。同理亦可驗證q軸的穩定性。
7、低通濾波器
雖然通過使用平滑的切換函數代替了符號函數，但是電流環滑?？刂破鞯妮敵鲆廊粫嬖谳^大的噪聲，為了減小滑?？刂戚敵鲈肼暤母蓴_，通常情況下會在控制器的輸出連接一個低通濾波器，對輸出結果進行濾波：
式中，τ—濾波器時間常數。
濾波器時間常數的值越大，其輸出波動越小，但是會增加系統的延遲時間，反之如果濾波時間常數越小，其濾波效果不好，所以在設計低通濾波器時間常數的時候要權衡以上兩點。
四、仿真與結果分析
在Simulink環境下搭建伺服系統的仿真模型。PMLSM的參數如下：定子相電阻R=0.7Ω，直軸電感Ld=0.013H，交軸電感Lq=Ld，永磁體磁鏈ψf=0.046Wb，極對數Pn=10，動子長度L=0.2m，動子質量m=0.01kg，其速度環全部采用PI控制，本文針對不同方法的電流環控制器的抗擾性、魯棒性進行討論。
圖2是考慮PMSLM電參數非線性因素帶來的電壓擾動的情況下電流環傳統PI控制、傳統滑?？刂?、新型滑?？刂频乃俣软憫?，可見傳統的滑?？刂葡啾萈I控制對電機參數的非線性的不良影響，有較好的抑制效果，但是依然存在小幅的高頻抖振，采用新型的滑?？刂泼黠@消弱了速度的高頻抖振。
圖3是電流環PI控制、新型滑?？刂芇MLSM的三相電流響應曲線，可以看出新型的電流環滑?？刂戚^PI控制的三相電流平穩度非常好，因此也降低了電機能量的損耗。
圖4是電流環滑?？刂平浀屯V波器前后的輸出，可見其經過低通濾波器之后，明顯消弱了電流環輸出的抖振，因此也減弱了驅動器計算和開關管的負擔。
圖5表示當PMSLM加載時的速度響應曲線，可見電流環采用新型的滑?？刂坪蚉I控制，伺服系統依然擁有較好的抗擾性，響應速度。
五、結語
為了解決數控機床主軸進給驅動中隱極PMLSM電參數的非線性引起的波動力不良影響，本文提出了新型滑?？刂破骷拥屯V波器的電流環控制器。本文的滑?？刂破鞯幕Ｃ娌捎梅e分分離的滑模面消除傳統滑模面的穩態誤差，同時還消弱了積分帶來的超調的問題；采用時變增益系數的指數趨近律和平滑切換函數解決了趨進速度和滑動模態抖振之間的矛盾；采用低通濾波器減弱了電流環滑?？刂戚敵龅亩墩穹?。仿真實驗結果，證明了新型的電流環滑?？刂频膬炘叫院陀行?。
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但是由于直線電機本身結構的原因，其兩端磁路斷開并產生較大畸變，加之機械安裝、制造精度、定子下線等問題，使得動子和定子之間的間隙不均，使得永磁同步直線電機產生較大的波動力，造成直線進給速度的波動，嚴重影響加工精度。
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id、iq—d-q軸定子電流分量；
R—定子電阻；
Ld、Lq—d-q軸定子電感；
τ—定子極距；
ψf—永磁體磁鏈；
ωr—電角速度；
ξd、ξq—d-q軸電機參數非線性對應的電壓分量。
由于PMLSM參數本身的非線性以及受系統工況等未知的影響因素，造成對d-q軸電壓擾動分量ξd、ξq，其可以表示為：
式中，ΔR、ΔLd、ΔLq、Δψf—分別為電機參數的非線性的變化量。
正是由于電機這些參數的非線性變量，導致當電機的輸入電壓一定的情況下，會出現電流的波動，進而產生力的波動。由于PMLSM這些電參數的非線性不宜測得，所以視這些參數的非線性為未知擾動，根據文獻[4,6]可知，PMLSM力的周期性波動，同時電機電參數的非線性也是位置的周期性函數，其干擾主要作用在伺服系統中的電流環中，所以PMLSM的伺服系統中的電流環控制要有很強的抗擾性、魯棒性、快速響應的能力。
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其中，視E1、E2為外部擾動和參數攝動的總擾動，所以這就要求電流環控制器要有較強的抗擾性、魯棒性和快速響應的能力。
2、滑模面設計
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式中，ed(max)、eq(max)—分別代表d軸、q軸電流積分分離滑模面的閥值；
a1、a2—待定正參數。
3、趨近律設計
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其中指數趨近律可表示為：
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ε—等速趨近律系數。
單獨的指數趨近律會使滑模帶成為帶狀，最后不能趨近零點，使系統在趨近原點附近產生抖振，激發高頻未建模特性。雖然引入了等速趨近律，但是過大的ε會增加趨近運動過程的抖振，此方法滑模面上的運動存在速度和抖振的矛盾。所以本文采用一種時變切換增益系數的新型指數趨近律，其可以表示為：
式中，σ是一個較小的正數。
所以可以保證時變切換增益系數ε′永遠小于原切換系數ε，從而可以使系統在滑模面運動時有效的削減抖振現象；與此同時ρ(x)還會隨著狀態變量x的減小而趨近于0，這樣就可以保證系統的滑模運動最終可以收斂于原點。
4、優化切換函數
正是由于存在切換函數sgn(s)才是控制系統有較強的抗擾性，但是由于其切換特性造成高頻抖振。為了防止其高頻抖振，在控制器中采用平滑函數con(s)代替式（14）中的符號函數，con(s)可表示為：
式中，Δ是一個較小的正數。
采用平滑函數con(s)的本質是：當s較大時，其滑?？刂平魄袚Q控制，加快趨近運動的速度；當s較小時，采用連續的反饋控制，以此來降低控制系統在滑動模態的時候快速切換產生的抖振。但是當Δ太小的話，其效果不好，當Δ太大的話，又會影響趨近運動的動態響應速度，所以使用平滑函數的時候需要權衡利弊選取Δ的值。
5、求取控制律
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其中，—d軸電流環控制器中指數趨近律函數中的等速趨近律系數；
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式中，τ—濾波器時間常數。
濾波器時間常數的值越大，其輸出波動越小，但是會增加系統的延遲時間，反之如果濾波時間常數越小，其濾波效果不好，所以在設計低通濾波器時間常數的時候要權衡以上兩點。
四、仿真與結果分析
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圖2是考慮PMSLM電參數非線性因素帶來的電壓擾動的情況下電流環傳統PI控制、傳統滑?？刂?、新型滑?？刂频乃俣软憫?，可見傳統的滑?？刂葡啾萈I控制對電機參數的非線性的不良影響，有較好的抑制效果，但是依然存在小幅的高頻抖振，采用新型的滑?？刂泼黠@消弱了速度的高頻抖振。
圖3是電流環PI控制、新型滑?？刂芇MLSM的三相電流響應曲線，可以看出新型的電流環滑?？刂戚^PI控制的三相電流平穩度非常好，因此也降低了電機能量的損耗。
圖4是電流環滑?？刂平浀屯V波器前后的輸出，可見其經過低通濾波器之后，明顯消弱了電流環輸出的抖振，因此也減弱了驅動器計算和開關管的負擔。
圖5表示當PMSLM加載時的速度響應曲線，可見電流環采用新型的滑?？刂坪蚉I控制，伺服系統依然擁有較好的抗擾性，響應速度。
五、結語
為了解決數控機床主軸進給驅動中隱極PMLSM電參數的非線性引起的波動力不良影響，本文提出了新型滑?？刂破骷拥屯V波器的電流環控制器。本文的滑?？刂破鞯幕Ｃ娌捎梅e分分離的滑模面消除傳統滑模面的穩態誤差，同時還消弱了積分帶來的超調的問題；采用時變增益系數的指數趨近律和平滑切換函數解決了趨進速度和滑動模態抖振之間的矛盾；采用低通濾波器減弱了電流環滑?？刂戚敵龅亩墩穹?。仿真實驗結果，證明了新型的電流環滑?？刂频膬炘叫院陀行?。
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