一種低軌雙星雷達信號無模糊頻差估計算法

姚山峰，賀 青，歐陽鑫信，夏暢雄

(盲信號處理重點實驗室，成都 610041)

0 引 言

低軌雙星時/頻差定位體制是一種高精度定位體制，它利用兩顆衛星接收到的目標信號具有不同傳播路徑形成的到達時間差(Differential time offset, DTO)與低軌衛星高速運動產生的多普勒頻移差[1]進行定位，綜合了時差定位技術與頻差定位技術的優點，具有定位精度高、時效性好、靈敏度高、衛星姿態要求低等優點。在定位系統建設確定以后，雙星時/頻差定位系統的定位精度主要取決于時/頻差估計精度。因此，提高時/頻差估計精度是提高雙星時/頻差定位精度的關鍵。然而，對于雷達信號而言，單個脈沖持續時間相對較短，不利于頻差精確測量，同時脈沖的周期性極易導致頻差估計出現模糊，這些因素導致雷達信號頻差估計精度較低甚至無法有效估計，系統定位能力受限。

文獻[2]研究分析了低軌雙星時/頻差定位算法與定位誤差，仿真結果表明，頻差對定位精度的影響較之時差更為顯著。因此，對雷達信號頻差的高精度無模糊估計，成為了低軌雙星雷達信號定位中的瓶頸問題。不少文獻對多普勒頻移的精確估計進行了研究[3-5]，文獻[6]通過多脈沖相干積累對雷達輻射源進行時/頻差直接定位以改善定位精度，然而，這些文獻未考慮脈沖串信號的周期模糊特性。文獻[7]推導給出了脈沖串信號的時/頻差模糊特性，對于頻差估計，模糊間隔等于信號PRF，文中針對高脈沖重復頻率(High PRF, HPRF)信號，提出利用無模糊的頻差與頻差變化率進行粗定位來消除時差模糊。然而，這種方法適用于PRF大于低軌雙星頻差取值范圍的信號，對于LPRF雷達信號，無法克服LPRF帶來的頻差模糊問題。文獻[8]提出了基于相參脈沖積累的頻差測量方法，由修正Rife算法[9]對多個脈沖分別進行頻率估計，然后對下變頻后的相參脈沖串每個脈沖內部的樣點累加求和提升信噪比，以利于精確的頻率估計，最后直接相減兩路信號的頻率獲得頻差測量值。這種方法有效的前提是頻率粗估的誤差必須小于PRF的一半，試驗表明，頻差測量精度可以達到赫茲量級。

本文首先從低軌雙星定位系統的定位原理出發，分析了相參脈沖串信號的模糊特性；利用基于二階統計量的互相關法獲得高精度的時差測量值，再根據時差差分可以獲得無模糊的頻差粗估值，提出了一種基于時差差分解頻差模糊的方法；最后，仿真試驗將算法有效性進行了校驗，并通過Monte-Carlo仿真對本文算法性能與理論CRLB[10]進行了對比分析，結果表明當信噪比高于15 dB時，頻差估計精度優于50 mHz，逼近克拉美勞下界。

1 信號時差/頻差模型

低軌雙星時/頻差定位系統由相鄰的兩顆低軌衛星組成。由于主星和鄰星物理位置不同，導致信號的傳輸路徑不同，兩顆衛星接收到的信號具有不同的時延，形成到達時間差DTO；同時，由于兩顆衛星的運動使得衛星速度矢量在目標源與地面接收站之間的徑向方向上的投影不同形成多普勒頻率差DFO。通過測量地面/海面輻射源信號到達兩顆衛星的到達時間差與頻率差，利用到達時間差、頻率差與目標輻射源之間的幾何位置關系就可以確定目標輻射源的位置，實現對目標輻射源的高精度定位。圖1給出了低軌雙星時/頻差定位的原理示意圖。

假設在地固坐標系下，兩顆衛星的位置矢量分別為rs1=[xs1,ys1,zs1]T、rs2=[xs2,ys2,zs2]T，速度矢量分別為vs1=[vx,s1,vy,s1,vz,s1]T、vs2=[vx,s2,vy,s2,vz,s2]T，輻射源位置矢量為r=[x,y,z]T。根據圖1的幾何關系，可得兩顆衛星接收信號之間的時差τ與頻差ξ的數學表達式：

(1)

(2)

式中：fc是輻射源信號載頻，c是光速，ui(r)定義為從r到rsi的單位矢量：

(3)

設兩顆衛星的觀測噪聲分別為n1(t)和n2(t)。于是，低軌雙星接收到的信號可以表示為

(4)

下面給出了低軌衛星軌道高度為700 km，兩顆衛星星間距70 km時，對某一固定位置的地球表面目標輻射源，在整個過境期間，兩顆低軌衛星接收信號多普勒頻移與多普勒頻差的變化曲線。某一時刻低軌雙星接收信號的頻差在地球表面的分布圖如圖3所示。其中，假設目標輻射源信號載頻為500 MHz，圖中頻差單位為Hz。

圖2、圖3分別從時間維度與空間維度上面給出了低軌雙星接收信號的頻差變化趨勢。從圖2、圖3可以看出，當衛星過頂，即目標位于星下點附近時，頻差取值變大。當載頻為500 MHz時，在整個覆蓋范圍內，頻差取值范圍可達1000 Hz以上；當載頻為5 GHz時，根據式(2)，頻差取值范圍超過10 kHz。如此大的頻差取值范圍已經遠遠超過了LPRF雷達信號的PRF，此時利用常規方法進行頻差估計將會存在模糊，具體原因見第2節。

2 相參脈沖串信號時差/頻差聯合估計

時差/頻差估計問題存在于許多應用領域，如聲吶、雷達、生物醫學和地球物理等。關于雷達信號的時差提取，目前主要有兩種方法：一種是視頻檢波測量時差法，一種是中頻互相關測量時差法。前者通過對下變頻后的信號進行視頻檢波獲得幅度包絡，測量脈沖包絡的上升沿或者下降沿得到脈沖到達時間，然后比較各個副站與中心站的到達時間，得到到達時間差；這種方法對采樣率與信噪比要求較高，并且不適用于具有緩慢上升/下降沿的信號[11]。后者對各個接收站的中頻信號進行互相關運算，通過搜索相關峰位置獲得時差估計值；這種方法對采樣率與信噪比要求不高，更易得到高精度的時差估計結果。目前，以互相關、互模糊函數(Cross-ambiguity function, CAF)為代表的基于二階統計量的時差/頻差聯合估計算法[12]得到了廣泛的應用。

低軌衛星接收信道特性較為理想，可以認為信號只受到高斯加性噪聲的影響，不存在多徑效應。因此，可以對信號和噪聲作出如下假設：接收信號的基帶信號是零均值的各態歷經信號，噪聲為加性帶通高斯白噪聲，與信號獨立，且噪聲之間相互獨立。利用互模糊/互相關函數可以有效地抑制噪聲的影響，獲得較高的時差/頻差估計精度。

兩路信號s1(t)與s2(t)的CAF定義為

A(τ,ξ)= |χ(τ,ξ)|=

(5)

實際上，CAF是基于信號廣義互相關的一種時頻二維表示，其每一維運算可以看成一個相關運算，因此信號的相關性直接影響CAF的計算結果。當τ-τ0=0,ξ+ξ0=0時CAF取得最大值，從而實現兩路信號之間的時差、頻差估計。即：

(6)

現代雷達大多采用全相參體制，發射相參脈沖串信號，同時利用信號的幅度與相位進行脈沖積累。相參脈沖串信號的數學模型可表示為[13]

(7)

式中：tp為脈沖寬度，Tr為脈沖重復間隔(Pulse repetition interval, PRI)，φ0為初始相位。

(8)

N個脈沖的相參脈沖串信號的歸一化復包絡可表示為

(9)

將式(9)代入式(5)，可得相參脈沖串信號的模糊函數為[13]

(10)

其中，

(11)

式(11)為單脈沖u1(t)的模糊函數?？梢?，相參脈沖串的模糊函數是單脈沖模糊函數的加權疊加。其中，零時延切面的速度模糊函數為

(12)

圖4給出了PRF分別為10 kHz與300 Hz，PW為20 us的脈沖串信號CAF的頻差切面(零時延切面)圖?？梢?，在圖4(a)的頻差切面上，周期多普勒頻差相關峰的峰間間距PRF=10 kHz，峰值大小以sinc函數作為包絡進行變化?？梢钥闯?，當PRF變小以后，頻差切面相關峰之間的間隔變小，變得更為密集。

對于脈沖串信號，由于其零時延切面存在多個多普勒峰，PRF越小，多普勒峰之間的間隔越小。受噪聲與分辨率的影響，在搜索最大峰值時，有可能搜索到其他的多普勒峰上，模糊多普勒峰間隔與信號的PRF有關。

為了衡量脈沖串信號在進行頻差估計時，搜索到模糊多普勒峰上的概率，定義脈沖串信號頻差估計模糊度為速度模糊函數中，模糊多普勒峰值高于真實多普勒峰值的概率。模糊度越高，搜索到模糊峰的概率就越大；當模糊度等于0時，頻差估計不會發生模糊，也就是說，此時不會搜索到模糊峰上。

圖5給出了PRF分別為10 kHz與300 Hz兩種信號的模糊度曲線。從圖5可以看出，對于HPRF信號，由于多普勒峰之間的間隔較大，不容易出現頻差估計模糊；對于LPRF信號，由于多普勒峰比較密集，峰間間隔較小，受到噪聲污染時很容易出現頻差估計模糊。對于PRF=300 Hz的相參脈沖串信號，頻差估計模糊度隨著信噪比的增加而減小，當信噪比高于45 dB以后，頻差估計模糊度減小至0。

圖6為利用CAF對上述兩種信號進行時差/頻差聯合估計的性能曲線。其中，脈沖積累個數為10。

由于兩路信號脈寬相等、脈沖積累個數一樣，因此時差估計精度基本一致。對于頻差估計，理論上講，PRF越低估計精度越高；但是，當信噪比較低時，PRF越低，頻差估計模糊度越高，造成頻差估計出現模糊，頻差估計精度反而比HPRF信號差；當信噪比高于一定門限后，不再出現模糊，此時，頻差估計精度優于HPRF信號。從圖6也可以看出，當信噪比低于45 dB時，LPRF信號頻差估計效果較差；當信噪比高于45 dB以后，由于不再存在頻差估計模糊問題，LPRF信號頻差估計性能逼近理論下界。

在低軌雙星時/頻差定位系統中，載頻為500 MHz時的頻差取值范圍約為1000 Hz，當目標信號PRF小于1000 Hz時，頻差估計將出現模糊。然而，不幸的是，低軌雙星定位系統中關注的大部分預警雷達信號的PRF低于1000 Hz，對其進行頻差估計時會得到模糊的估計結果。

3 脈沖串信號時差差分解頻差模糊

由頻差估計理論界可以知道，頻差估計精度受信號持續時間影響很大。對于雷達信號，脈寬一般在微秒量級，利用持續時間較短的單個脈沖提取的頻差精度較差，只有通過多個脈沖相參積累，才有可能獲得較高的頻差測量精度。然而，進行多脈沖積累時，單脈沖速度模糊函數將分裂成很多間距為PRF的周期模糊峰。從圖5可以看出，對于LPRF信號，受噪聲污染以后，在進行頻差最大相關峰搜索時，極易搜索到模糊峰上，導致頻差估計模糊。

對于星間間距為l的雙星定位系統，雙星時差取值范圍為(-l/c,l/c)，當雷達信號PRI高于l/c，即PRF低于c/l時，時差估計不會出現模糊。當星間距為100 km時，無模糊時差估計要求PRF低于3000 Hz；當星間距為70 km時，無模糊時差估計要求PRF低于4286 Hz。對于大部分預警雷達，信號PRF較低，利用低軌雙星接收時，不會出現時差模糊。針對LPRF相參脈沖串信號，本文提出了一種基于時差差分解頻差模糊的方法。目前工程上的時差測量精度一般在50 ns以內[8]，利用這個精度下的無模糊時差值進行差分計算可以獲得無模糊的頻差粗估值，這就消除了模糊，然后再進行高分辨的插值搜索頻域相關峰，得到高精度的頻差精估值。

1) 基本原理

時差方程式(1)等號兩邊對時間求導，可得

(13)

代入式(2)，有

(14)

式(14)表明，頻差可由時差求導獲得。然而，在實際工作中，只能得到時差在離散時間點上的估計值，可以通過差分結果反映離散測量值之間的變化關系，利用差分運算近似微分求導。根據偏導數的中心差分公式，有

(15)

(16)

從式(16)可以看出，利用時差差分計算頻差的精度與時差估計精度、輻射源信號載頻以及時差測量步長有關。圖7給出了不同時差估計精度與測量步長條件下，頻差精度與信號載頻的關系曲線。

圖7表明，利用時差差分計算的頻差精度與時差估計精度成正比，低頻段的頻差精度優于高頻段的頻差精度；除此之外，時差測量步長越長，頻差精度越高。

1) 當時差估計精度為50 ns，測量步長為2 s時，信號載頻在5 GHz以內的頻差精度優于177 Hz。

2) 當時差估計精度為50 ns，測量步長為5 s時，信號載頻在5 GHz以內的頻差精度優于71 Hz。

于是，根據時差差分估計頻差的誤差公式，通過設置合理的差分步長，可以利用時差差分獲得無模糊的頻差粗估值。

綜合以上分析，本文算法的基本思路是首先由式(6)的CAF進行時差/頻差聯合估計，得到高精度的時差估值，然后利用兩個時刻的時差估值根據式(15)的差分公式計算頻差粗估值，最后再在頻差粗估值附近進行高分辨的插值搜索頻域相關峰，得到高精度無模糊的頻差精估值。圖8給出了本文算法對PRF為300 Hz的LPRF信號進行頻差估計，在不同信噪比下的模糊度曲線。

從圖8可以看出，時差差分算法對LPRF信號進行頻差估計時，無模糊頻差估計的信噪比門限由直接采用CAF估計時的45 dB降低到了15 dB。

2) 算法步驟

需要注意的是，為了降低峰值計算和搜索的運算量，需要盡量減少數據點數，粗估計時搜索網格不能太小，同時為了保證參數估計的精度，搜索網格不能大于峰值寬度，避免將真實峰值疏漏。

根據脈沖串信號CAF的特性，脈沖串信號受噪聲與分辨率的影響，頻差粗估結果具有模糊性，造成頻差精確估計時在模糊多普勒峰附近搜索，無法估計出頻差真實值。

通過時差差分算法可以得到頻差粗值，頻差估計精度與時差估計精度、信號載頻以及差分時間有關。在時差估計精度與信號載頻一定時，可以通過調節差分時間控制頻差估計精度。于是，可以通過時差差分獲得無模糊的頻差粗值，再在無模糊的多普勒峰附近進行高分辨搜索，得到高精度的頻差估計值。具體步驟如圖9所示。

(1)以較粗的網格二維搜索t1時刻兩路信號CAF最大峰值，得到t1時刻兩路信號的時差粗值與頻差粗值。

(2)利用頻差粗值對一路信號進行多普勒補償，然后在時差粗值附近插值，得到時差精估值。

(3)對t2時刻兩路信號進行步驟(1)與步驟(2)操作，獲得相應的時差精值。

(4)由兩個時刻的時差精值通過式(15)計算無模糊的頻差粗值，并利用t2時刻的時差精值對t2時刻一路信號進行時延補償，然后在無模糊的頻差粗值附近插值，得到t2時刻的頻差精估值。

4 試驗校驗

下面對本文算法的有效性與頻差估計性能進行試驗校驗，仿真參數依據典型的應用場景設置：兩顆低軌衛星同軌飛行，軌道高度為700 km，星間距為70 km，目標信號載頻為500 MHz，PRF為300 Hz，PW為20 us。

1) 有效性校驗

為了對上述算法的有效性進行校驗，分別利用常規CAF算法、時差差分算法以及本文算法對目標信號進行多次頻差估計試驗。其中，脈沖積累個數為10，差分時間間隔為1 s，信號信噪比分別為15 dB，25 dB，35 dB。三種算法的頻差估計誤差如圖11所示。

從圖11可以看出，對于常規CAF時差/頻差聯合估計算法，由于PRF較低，頻差估計模糊情況比較嚴重，頻差估計誤差較大，當信噪比為35 dB時，估計結果仍然具有模糊性；對于時差差分算法，頻差估計誤差在60 Hz以內，小于信號PRF，也就是說，時差差分算法估計出的頻差沒有出現模糊，估計誤差隨著信噪比的增加而減??；本文算法利用時差差分估計出頻差粗值，然后在頻差粗值附近插值精搜索得到頻差精值，由于時差差分估出的頻差粗值沒有模糊，后面再在真實的多普勒峰附近進行精細估計，將會得到高精度的頻差估計值。從圖11(c)可以看出，當信噪比為15 dB時，頻差估計誤差在±0.15 Hz以內，根據3σ法則，頻差估計精度優于50 mHz，并隨著信噪比的增加而減小。

2) 性能分析

下面對三種算法在不同信噪比條件下的頻差估計性能進行了200次Monte-Carlo仿真。

圖12表明頻差估計精度隨著信噪比的增加而提高。對于常規CAF算法，當信噪比低于無模糊門限(由第3節可知，仿真信號的無模糊門限為45 dB)時，由于頻差估計具有模糊性，頻差估計誤差遠大于理論界；對于本文算法，當信噪比低于15 dB時，時差差分算法得出的頻差粗值仍具有模糊性，此時估計誤差偏高，當信噪比高于15 dB時，頻差粗值不再具有模糊性，頻差精估結果逼近克拉美勞下界。

5 結 論

本文針對LPRF相參脈沖串信號，提出了一種基于時差差分解頻差模糊的方法，利用兩個時刻的高精度時差估值進行時差差分計算頻差粗估值，消除頻差模糊，之后再在無模糊的頻差粗估值附近進行高分辨的插值得到高精度的頻差精估值。通過仿真表明，本文算法對于PRF高于300 Hz的相參脈沖串信號，在信噪比高于15 dB的條件下，頻差估計不再出現模糊，估計精度優于50 mHz，這有利于拓展低軌雙星時/頻差定位體制對雷達信號的適用范圍。