考慮熱流固耦合干熱巖儲層熱提取解析模型

樊冬艷, 孫 海, 姚 軍, 嚴 俠, 張 凱, 張建光, 張 林

(中國石油大學(華東)石油工程學院,山東青島 266580)

能源和環境是可持續發展戰略的核心與關鍵,常規的化石能源已十分有限且不可再生,同時隨著全球氣候變暖,節能減排的呼聲日益高漲,開發利用清潔的、可再生的新能源已成為各國21世紀的重要戰略選擇。地熱能作為一種經濟、可再生、環保的新型能源,在國際能源結構中所占比重越來越大[1]。中國地質科學院和中國科學院分別進行了中國干熱巖資源量的估算,分別為2.5×1025J[2]和2.1×1025J[3],按照2%的回收率計算,為2010年能源消耗的4 400倍,因此中國對于干熱巖地熱開采和利用給予了極大重視[4-6]。干熱巖儲層的開采一般將低溫水通過注入井注入熱儲層(人工裂縫和天然裂縫),經加熱變成熱水,再從生產井排出,實現地熱的利用[7]。目前,研究干熱巖裂縫內流動模型主要包括單裂縫模型[8]、連續介質模型[9-10]以及離散裂縫網絡模型[11-13]等。其中單裂縫模型[8]假設水通過一個裂縫在注水井和生產井之間流動,實際儲層存在大量裂縫因此與實際不太相符。連續介質模型[9-10]假設水通過均勻多孔介質在注水井和生產井之間流動,無法準確描述裂縫性質,因此存在一定的局限性。離散裂縫網絡模型[11-13]假定儲層由大量裂縫網絡相互構成,更加符合實際情況。離散裂縫網絡滲流模型的研究始于20世紀60年代對巖石水力學的研究,因此關于流動及流固耦合方面的研究已經非常完善[14-15]。目前地熱多場耦合模型主要基于數值模擬方法,采用商業軟件如TOUGH2進行數值模擬[16-18],而解析方法較少[19-20],主要以單條裂縫模型為主。筆者在考慮流體黏度及裂縫開度變化的情況下,建立基于離散裂縫網絡模型干熱巖熱流固耦合開采數學模型,采用Laplace變換得到模型的解析解,以期為干熱巖儲層的開采提供技術指導及理論支持。

1 干熱巖儲層的離散裂縫網絡模型

1.1 物理模型

由于干熱巖儲層地熱資源的開采系統一般由熱儲層、注水井、生產井和壓裂裂縫以及天然裂縫組成。冷水通過注水井注入熱儲層,基于熱傳導和對流等機制加熱變成熱水,再從生產井排出,實現地熱資源的開發利用。為了準確模擬地熱儲層的熱、流、固等復雜機制,針對干熱巖儲層采用離散裂縫網絡模型(圖1),其中采用一維的線單元代表二維的矩形裂縫,流體通過裂縫網絡流動,基巖中無流體流動只進行熱傳導過程;離散裂縫內的流動為穩定滲流,應力通過改變裂縫的開度對流動產生影響,裂縫內主要以熱對流為主;其次離散裂縫網絡模型主要由注水井、生產井、邊、結點構成,考慮了單井注入單井開采情況,只有相互溝通的裂縫參與流體流動,只與一個結點相連的裂縫無流體流動。

圖1 干熱巖儲層離散裂縫網絡模型Fig.1 Discrete fracture network model of dry-hot rock reservoir

1.2 離散裂縫模型的流動模型

為了研究裂縫中水的流動,基于質量守恒方程以任意一個結點n作為研究對象(圖2),則流入與流出的質量應相等,當該結點為注水井時,定注入量生產,因此水的質量變化,即注水井的注入量minj已知,當結點為生產井時,定生產壓力pw,該結點的壓力已知。因此對于結點n可建立質量守恒方程為

(1)

其中

裂縫中的流動服從Poiseuille 流動規律,因此

(2)

μw(T)=ATB.

(3)

其中

A=109.574-8.405 64S+0.313 34S2+8.722 13×

10-3S3,

B=-1.121 66+2.639 51×10-2S-6.794 61×10-4S2-5.471 19×10-5S3+1.555 86×10-6S4.

式中,S為水中礦物質質量分數,%;T為溫度,1 ℉=[(T-32)×5/9]℃。

1.3 離散裂縫模型的開度模型

大量的實驗和礦場實踐表明裂縫開度在開采過程中具有動態性質[23-25],例如裂縫的開度受孔隙彈性和熱彈性的影響,目前大部分模擬都沒有考慮這些動態變化,筆者基于Ahmad Ghassemi 模型[26]在不考慮濾失的情況下給出裂縫開度在不同時間和位置隨巖石特性和溫度的變化關系為

(4)

其中

χ=αT(1+v)/(1-v),TΔ=T(x,z,0)-T(0,0,t).

式中,w為裂縫開度,m;w0為初始裂縫開度;z為沿裂縫方向的長度坐標,m;t為時間,s;erfc(x)為互補誤差函數;χ為熱彈性應力系數;αT為基巖的線性熱膨脹系數,℃-1;v為排水泊松比;TΔ為初始時刻溫度與端點的溫度差,℃;Kr為巖石導熱系數,W/(m·℃);ρr和ρw分別為基巖和流體水的密度,kg/(m3);Cr和Cw分別為基巖和流體水的比熱容,J/(kg·℃);q0為注入流體速度,m2/s。

1.4 離散裂縫模型的溫度模型

為了求解離散裂縫網絡模型的流動,取任意一條裂縫i作為研究對象,由于假設流體只在裂縫中流動,沿著裂縫建立相應的坐標,如圖2所示。

建立基巖中一維熱傳導數學模型為

(5)

其中

Ψ=(T-Tw)/(Tr-Tw)i.

式中,Tr為初始儲層溫度,℃;Tw為注入水的溫度,℃;ar為基巖的熱擴散系數,ar=Kr/(ρrCr),故無因次溫度的范圍為[0,1]。

圖2 單條裂縫坐標示意圖Fig.2 Schematic diagram of single fracture

其次,裂縫中對流的流體在邊界處,通過熱傳導的方式獲取基巖中熱量,忽略巖石與水界面阻力,假定水的溫度與裂縫表面溫度相等,即

(6)

式中,wi為第i條裂縫的開度,m;vi為第i條裂縫的流速,m/s。

2 地熱儲層離散裂縫網絡模型的求解

2.1 離散裂縫網絡模型溫度場求解

將一維熱傳導方程(5)、(6)變換到Laplace空間,則方程化為

(7)

常微分方程的通解為

(8)

代入初始和邊界條件方程(7)可得單條裂縫的溫度分布為

(9)

其中

當裂縫為離散裂縫網絡時,第i條裂縫的初始溫度由上一級裂縫j的溫度決定,故

代入到方程(9)得:

(10)

(11)

其中sk表示到達裂縫i的所有路徑。

圖3 注入井與生產井的多級裂縫網絡示意圖Fig.3 Schematic diagram for a multi-stage fracture network between injection wells and production wells

最后,將Laplace空間溫度分布進行Laplace反演,得到實空間下裂縫網絡中,任意一條裂縫的溫度分布為

(12)

其中

2.2 離散裂縫網絡模型耦合求解過程

為了說明離散裂縫網絡模型的耦合求解過程,結合簡單縫網進行說明,如圖4所示。地熱儲層有一口注水井和一口生產井,注水井定注入量,生產井定生產壓力,注入井與生產井通過6條裂縫、5個結點相連,其中裂縫1、2、5、6為水平縫,裂縫3、4為垂直縫,所有裂縫與地熱儲層垂直,簡化為二維處理,把離散裂縫網絡模型耦合求解過程分為以下3步。

(1)求解各邊的流量分布?；陔x散裂縫網絡的流動模型,對質量守恒方程進行求解,其中黏度采用地層溫度下流體黏度,開度取初始裂縫開度;計算得到各結點的壓力值,通過壓差計算各裂縫段的流量分布。如圖4所示,包括注水井和生產井共有6個結點,通過方程(1)建立方程組DP=F,D為6×6的系數矩陣,P為各結點的壓力值,F為流入流出量。

圖4 離散裂縫網絡實例1Fig.4 Discrete fracture network example 1

(2)求解各條邊的溫度分布。如果某條裂縫只和單個結點相連,則認為該裂縫中流體不流動,裂縫兩個端點無壓差;分析流入某裂縫的網絡路徑,如圖4從注水井到生產井可能流動的路徑為s1={1,3,5},s2={1,2,4},存在兩條路徑,代入式(12),則裂縫6的溫度分布可表示為

(13)

(3)黏度及開度的耦合迭代求解。在上一步中得到各裂縫段的溫度分布,通過式(3)得到相應水的黏度分布,代入式(4)計算開度變化,利用平均黏度和開度循環進行步驟(1)、(2)計算溫度分布,直至平均黏度與開度的值穩定。

3 模型正確性驗證及參數敏感性分析

為了驗證本模型解析方法的正確性,在不考慮黏度及開度變化時,與TOUGH2數值計算結果進行對比,TOUGH2軟件是由Berkeley 國家實驗室研發的一款通用數值模擬器,針對裂縫及多孔介質中的多維、多相、多組分非等溫流動過程,對離散區域采用有限差分,時間采用一階向下全隱式方法[27],分析黏度及開度的變化對產水量的影響,以及熱提取過程注入量和注入溫度的影響。根據上述求解過程,對實例1(圖4)進行求解,基本參數:裂縫1、6長度為100 m,裂縫2、3、4、5長度為500 m,裂縫初始開度為0.003 m,裂縫高度為1 m;水密度為980 kg/m3,水的比熱容為4 300 J/(kg·℃);巖石礦化度為2 000 mg/L,巖石比熱容為1 050 J/(kg·℃),巖石密度為2 700 kg/m3,巖石導熱系數為2.7 W/(m·℃),泊松比為0.185;基巖的線性熱膨脹系數為8×10-6℃-1。邊界條件:注入量為0.1 kg/s;生產井定壓力為10 MPa;注入水溫度為10 ℃;儲層初始溫度為70 ℃。

3.1 模型的正確性驗證

基于離散裂縫網絡模型,在不考慮水的黏度及裂縫開度變化的情況下,計算實例1,將裂縫網絡中各裂縫的溫度分布與TOUGH2數值計算結果進行對比,如圖5所示。本模型解析解結果與數值解TOUGH2計算結果吻合,生產井出口端早期誤差約為3%,但隨著時間增加誤差減小,結果幾乎一致,說明本解析模型的可行性及正確性,當然隨著裂縫復雜程度的增加,誤差稍有變化;其次各裂縫出口端的溫度變化,隨著時間的增加,出口端的溫度逐漸降低,其中注水井裂縫1由于冷水的不斷注入,溫度下降最快,其次為裂縫2、3出口端,裂縫4、5出口端,裂縫6出口端即生產井處。

圖6為實例1離散裂縫網絡各點處的溫度分布,包括生產1 a和生產10 a的兩種情況。由圖6可見,生產1 a時,生產井的溫度還沒有突破,產出井水的溫度為70 ℃,而到了生產10 a整個裂縫網絡系統的溫度下降,由圖6可見生產井熱突破時間大約為3 a。

圖5 解析模型與TOUGH2結果對比Fig.5 Comparison between analytic model and TOUGH2 results

圖6 離散裂縫網絡溫度分布Fig.6 Temperature distribution of discrete fracture network

3.2 離散裂縫網絡黏度及開度的影響

3.2.1 離散裂縫網絡黏度

在地熱儲層隨著冷水的注入,水的黏度隨溫度和壓力的變化發生改變,特別是溫度對黏度的影響較大,本文中假定水的黏度滿足McCain公式,主要受礦化度及溫度的影響。當不考慮水的黏度變化時,水的黏度通過注入水初始溫度由式(3)計算得到,在實例1的基礎上不考慮開度變化,計算各條裂縫的平均黏度,如圖7所示。

由圖7可見,隨著時間的增加,各條裂縫內水的黏度增加,滲流速度減小,故出口端流量減小,趨于不考慮黏度變化時流量值;當不考慮黏度變化時,黏度由注入水初始溫度(10 ℃)計算得到,黏度較大為1.368 mPa·s,隨著冷水的注入,沿著離散裂縫分布,裂縫1最靠近注入端,因此裂縫1黏度與不考慮黏度變化時幾乎重合,裂縫2、3與裂縫4、5位置對稱,因此計算黏度相同,同時說明算法的正確性,沿著冷水由注入端至出口端,裂縫中水的溫度逐漸上升,因此沿著水的流動方向黏度逐漸減小,但隨著時間的增加,裂縫中水的溫度逐漸降低,黏度逐漸增大,增加幅度越來越小,特別是早期黏度增加比較明顯,晚期幾乎不變,對于出口端流量在開采8 a后幾乎沒有太大的影響。

3.2.2 離散裂縫網絡開度

地熱儲層基于離散裂縫模型,考慮孔隙壓力及熱彈性的影響,建立開度隨溫度壓力的變化過程。在不考慮黏度變化的基礎上,計算實例1得到各裂縫的開度變化,圖8(a)為各裂縫在模擬20 a的過程中的平均開度隨時間變化,圖8(b)為考慮與不考慮裂縫開度的產量變化。

圖7 考慮與不考慮黏度變化時曲線對比Fig.7 Comparison curves of considered viscosity change or not

圖8 考慮與不考慮開度變化時曲線對比Fig.8 Comparison curves of considered fracture aperture change or not

由圖8可見,隨著時間的增加,各條裂縫的開度逐漸增大,同時出口端流量增加迅速,主要是由于裂縫的開度對流量的影響最大,裂縫開度的3次方為滲透率的函數,而流量直接取決于滲透率;不考慮開度變化時,設置開度為0.003 m,出口端流量較小;由于冷水的注入,受應力和熱彈性的影響導致裂縫開度的增加,且沿著水流動的方向裂縫開度的增加幅度越來越小,即在注入端裂縫開度的增加最大,生產端裂縫開度變化最小。

3.2.3 同時考慮黏度及開度變化

通過以上分析可見,考慮黏度后出口端的流量變化不大,而考慮開度變化后出口端的流量增加明顯,在此同時考慮黏度和開度變化時,出口端流量的變化規律。在實例1的基礎上同時考慮黏度隨溫度的變化,開度隨溫度和地層性質的影響得到圖9。

由圖9可見,在不考慮黏度和開度變化時,出口端的流量為定值;考慮黏度變化后,早期流量變化明顯,逐漸減小并趨于不考慮黏度變化時流量;考慮開度變化時流量迅速增加,主要因為裂縫的開度與流量成3次方關系,當同時考慮裂縫的開度變化和水的黏度變化時,產量依舊呈上升趨勢,由圖9可見相對而言裂縫開度對出口端流量的影響更加明顯,因此在模擬過程中有必要考慮裂縫開度對地熱儲層的影響。

圖9 對比不同因素出口端流量Fig.9 Export flow rates with different factors

3.3 注入量的影響

為了分析注入量對離散裂縫網絡溫度的影響,在其他參數不變的情況下,分別設置注入量為0.1、0.2和0.3 kg/s時,得到裂縫1出口端和生產井出口端處的溫度變化,如圖10所示。由圖10可見,隨著注入量的增加,裂縫1出口端和生產井出口端中水的溫度逐漸減小,且隨著注入量的線性增加,溫度降低幅度越來越小,主要由于注入量增加,流體從地層帶走的熱量越多,裂縫中熱量通過基巖塊熱傳導越難及時補充。裂縫1出口端早期溫度變化迅速,后期變緩;同時隨著注入量的增加,生產井出口端熱突破時間越來越早,因此在考慮熱提取的過程中,不僅要考慮生產井流出水量,還需要綜合考慮熱水的溫度及其他參數的影響,在各參數優化的情況下,選擇合適的注入量,使產出熱值實現最大化。

圖10 不同注入量下生產井出口端溫度變化Fig.10 Variation of temperature with injection volumeat production well outlet

3.4 注入溫度的影響

為了分析注入水的溫度對離散裂縫網絡溫度的影響,在其他參數不變的情況下,得到裂縫1出口端和生產井出口端處的溫度變化,如圖11所示。

圖11 不同注入溫度下生產井出口端溫度變化Fig.11 Variation of temperature with injection temperature at production well outlet

由圖11可見,隨著注入水溫度的增加,生產井出口端處溫度早期相同,到后期注入溫度越低,出口端生產井溫度下降越快,溫度越低。在注入水量和裂縫網絡結構相同的情況下,熱損失近似，且由圖11可見在不同注入溫度下熱突破時間幾乎相同,受注入水溫的影響不大,而主要受地層及裂縫網絡的影響;其次隨著注入水溫度的線性增加,裂縫1出口端的溫度早期迅速降低,并趨于相應的注入溫度。

4 結 論

(1)隨著時間的增加,各裂縫內水的黏度增加,同時出口端流量減小;當冷水由注入端流經采出端采出,裂縫中水的溫度逐漸上升,沿著水的流動方向黏度逐漸減小,但隨著時間的增加,裂縫中水的溫度逐漸降低,黏度逐漸增大,增加幅度減小;黏度對流量的影響主要在早期,晚期影響較小。

(2)隨著時間的增加,各條裂縫的開度逐漸增大,同時出口端流量增加迅速,主要是由于裂縫的開度對流量的影響較大;在同時考慮裂縫的開度變化和水的黏度變化時,產量依舊呈明顯的上升趨勢,故在干熱巖模擬過程中不應忽略開度的變化。

(3)隨著時間的增加,出口端的溫度逐漸降低;隨著注入量的增加,出口端中水的溫度逐漸減小,且隨著注入量的線性增加,生產井出口端中溫度降低幅度越來越小;隨著注入水溫度的增加,出口端生產井處的溫度早期相同,到后期注入溫度越低,出口端生產井溫度下降越快,溫度越低,且在不同注入溫度下熱突破時間幾乎相同,受注入水溫度的影響不大。