聲子晶體板中低頻寬禁帶的形成機理

2018-12-12 13:21李鎖斌竇益華陳天寧萬志國

西安交通大學學報 2018年12期

李鎖斌,竇益華,陳天寧,萬志國

(1.西安石油大學機械工程學院,710065,西安;2.西安交通大學機械結構強度與振動國家重點實驗室,710049,西安)

近年來,將由一種或幾種材料組成的散射體/振子周期性布置于另一基體材料中形成的具有聲子禁帶特性的周期復合材料或結構稱為聲子晶體,當彈性波在其中傳播時,聲子禁帶內的波會被抑制[1]。由于聲子晶體的禁帶特性具有廣泛的應用價值,可用于濾波、波導以及工程減振等領域[2],因此對其研究受到了普遍關注[3]。

依據聲子禁帶的形成方式,聲子晶體可分為兩種類型,一種是布拉格型聲子晶體[4],因其禁帶主要由散射體對波的各種周期性調制而產生,致使禁帶波長較大[5-6],無法實現低頻應用;另一種是局域共振型聲子晶體[7],因其禁帶主要由振子的共振引起,致使禁帶波長較小,可實現低頻應用,如工程中的低頻減振降噪。然而,由于單個振子的局域共振中,存在類Fano干涉現象,使的禁帶很窄,雖然已有大量研究對其進行擴寬[8-20],但現存的禁帶其帶寬仍然較窄,還是無法滿足工程減振應用需求。因此,如何進一步擴寬局域共振型聲子禁帶,是近年來工程領域中急需研究突破的主要難點問題之一。

板結構作為工程結構的基本單元構件,是振動形成和傳遞的主要部件,一直以來被看做工程領域中的主要減振對象。聲子晶體板作為局域共振型聲子晶體,是由彈性振子周期性陣列在基板上形成的一種特殊板結構,已有研究表明,通過最優選擇振子結構的材料組分[11]、結構形狀[12-13]和分布方式[14],可以形成低頻聲子禁帶[15,19-20],因此為板結構的工程減振提供了新思路。然而由于缺乏對該結構禁帶形成機理的更深入認識,致使現存的聲子晶體板其禁帶仍然較窄[8,10,12,14,16,18,20],仍然無法滿足實際工程應用中對低頻寬帶的減振要求。

已有研究表明,聲子晶體板中的禁帶是由振子和板波的振動模式通過相互耦合產生的面外和面內子禁帶疊加形成。對于已提出的聲子晶體板結構[8-20],我們通過進一步研究,發現在形成禁帶時振子處于局部振動狀態,即振子對應的面外、面內振動模式均為局部共振模式,如經典型聲子晶體板[14],其結構如圖1所示。圖1a為晶胞單元,圖1b和圖1c分別為振子的面內和面外振動模式。由圖1可以看出,當禁帶打開時振子只做部分振動,依據現有理論,其對基板模態的抑制較弱,于是難以形成寬禁帶。因此,如何對振子的振動模式進行調控,使其形成整體振動模式,進而通過增強對基板模態的抑制作用,使面內、面外禁帶在低頻處被同時擴寬,最終可形成寬禁帶,該研究無疑能為聲子晶體在工程低寬頻減振中的應用奠定理論基礎并提供方法指導。

(a)晶胞單元 (b)振子面外模式 (c)振子面內模式

本文通過構建新型柱狀復合振子,并結合已提出的振子解耦件[18]即橡膠填充體,提出了一種新型聲子晶體板結構。在對振子振動模式調控的基礎上,通過增強其對板波模式的抑制作用,在同一低頻處對面外、面內禁帶同時進行擴寬,從而獲得能滿足工程低頻減振要求的寬禁帶。同時,在研究該結構寬禁帶形成過程的基礎上,提出并闡明局域共振型聲子晶體板中寬禁帶的形成機理和調節方法。

1 模型與計算方法

提出的局域共振型聲子晶體板是通過在二維二組元聲子晶體板兩邊周期性布置一新型柱狀復合振子陣列形成的周期結構,結構原理如圖2所示,其中結構的總體形貌如圖2a所示,結構的周期單元即晶胞如圖2b所示。圖2b中:新型柱狀復合振子分別由彈性體A(橡膠)和剛性體B(鋼)兩部分組成,二者高度各為hA和hB,圓柱體直徑均為d;二維二組元聲子晶體板由通過在周期性開孔的環氧樹脂板中填充橡膠材料而形成,基板板厚為e,單元邊長(晶格常數)為a。結構中的各種材料參數如表1所示。

圖2 新型聲子晶體板

表1 結構材料參數

基于周期性理論[2],以如圖2b所示的單個晶胞單元為對象,采用有限元方法計算結構的能帶圖和單元的振動位移云圖,在分析其禁帶特性和禁帶形成機理的基礎上,提出并闡明聲子晶體板中低頻寬帶完全禁帶的形成機理。計算過程中,基于布洛赫周期性條件,在單元周期方向施加周期性邊界條件

ui(x+a,y+a)=ei(kxa+kya)ui(x,y)

i=x,y,z

(1)

式中:u表示位移;x、y和z表示位置矢量;kx與ky表示第一布里淵區內周期性波矢。當波矢沿著如圖2c所示的第一不可約布里淵區邊界點M、Γ、X、M順序掃描時,通過計算各個波矢下結構的固有頻率和固有振型,最終可得到結構的能帶結構圖和單元模態位移云圖。

2 計算結果及分析

選取參數a為10 mm,e為1 mm,d為7 mm,hA和hB同為2.5 mm,計算如圖2b所示的一個晶胞單元,得到該新型聲子晶體板的能帶圖,結果如圖3所示。

從圖3中可以看出,在給定頻率范圍內(0～1 000 Hz),能帶中主要包括3種能帶:板波的xy振動模式對應的xy模式能帶,板波z振動模式對應的z模式能帶以及由振子的局域共振模式形成的平直能帶。板波的xy振動模式主要為面內振動模式(如圖3b中形成能帶S2的板波振動模式);板波的z振動模式主要為面外振動模式(如圖3c中形成能帶A2的板波振動模式);振子的局域共振模式分別為可以和板波模式耦合的振動模式(如圖3中形成能帶S1、S3、A1的振動模式)和無法跟板波模式耦合的振動模式(如圖3中形成能帶F的振動模式)。板和振子的兩種振動模式依據模態疊加原理,通過主導系統主模態的過程中發生相互耦合,耦合過程中振子的振動模式通過抑制基板主模態,使得結構中產生了只能抑制面內波的面內子禁帶和只能抑制面外波的面外子禁帶,分別如圖3b和圖3c所示。兩種子禁帶的重疊區為禁帶,如圖3a所示,禁帶內所有模式的波全部被抑制。

(a)禁帶 (b)面內子禁帶 (c)面外子禁帶

圖3b中,由板波面內模式S2與振子的振動模式S1耦合而成的面內子禁帶為256～915 Hz。圖3c中,由板波面外模式A2與振子的振動模式A1耦合而成的面外子禁帶為165～855 Hz。圖3a中,由面內和面外子禁帶重疊形成的禁帶為256～855 Hz,其中帶寬為599 Hz。

為了說明新型聲子晶體板中產生的聲子禁帶為寬禁帶,將通過與現有聲子禁帶進行對比驗證。采用有限元法計算了具有相同幾何尺寸和材料參數的經典型[11]和對比型[16]聲子晶體板的能帶結構,二者的能帶結果分別如圖4和圖5所示。

(a)禁帶 (b)面內子禁帶 (c)面外子禁帶

3種聲子晶體板的能帶結果對比如表2所示,可以看出,相比較經典型結構,新型結構的完全禁帶被擴寬了4.18倍,進一步說明新型結構中出現了寬頻完全禁帶。

表2 3種聲子晶體板的能帶結果比較 Hz

3 寬頻禁帶形成機理

本研究首先闡明基于模態疊加原理的局域共振型聲子禁帶形成的詳細過程機理。當激勵頻率從0開始逐漸增大時,基體系統振動模式中的某一階模態被激活放大成為主模態,振動可在基體中按該振動模式的主模態進行傳播,于是無禁帶形成;當激勵頻率逐漸靠近振子的某一種振動模式的固頻時,該階模態的參與因子被放大。隨著激勵頻率頻率進一步靠近并最終等于此階模態固頻時,該振動模式被激活放大成為振子系統的主模態,并與基體中對應的振動傳播模式發生相互耦合;通過給其一作用力,抑制了基體中該階模態的振動,使其對應的振動傳播模式消失,致使振動無法繼續按該階模態在基體中傳播,形成聲子禁帶;此時,表現為有限聲子晶體結構對波的衰減作用最大,無限聲子晶體結構對波完全抑制。當激勵頻率開始大于振子系統該階模態的固有頻率時,其模態參與因子也隨著減小,該振型對響應的主導作用變弱,此時局域振子的作用力變弱,于是對基體中模態的抑制作用減弱,表現為有限周期結構對波的衰減作用變小,直至該振型對響應的主導作用逐漸消失;此時,振子作用于基體模態上的力基本消失,于是對基體中模態的抑制作用消失,該階模態又成為基體的主模態,主導基體的響應,彈性波繼續按此主導振型在基體中傳播;此時,禁帶消失,表現為有限周期結構中彈性波不被衰減。

基于上述提出的局域共振型聲子禁帶的形成過程機制,在3種聲子晶體板所對應的能帶圖中,分別提取第一條面外和面內子禁帶上下邊界對應的單元振動模式A1、S1和A2、S2,在分析單元振動模式的基礎上揭示闡明聲子晶體板中寬頻完全禁帶的形成機理。

3種聲子晶體板結構的面外禁帶上下邊界對應的單元振動模式如圖6所示,其中圖6a為新型結構,圖6b為對比型結構,圖6c為經典型結構。禁帶下邊界對應的振子振動模式同用A1表示,禁帶上邊界對應的基板面外振動模式同用A2表示。

(a)新型結構 (b)對比型結構 (c)經典型結構

由圖6可見,當橫波(z向波)激勵聲子晶體板時,板波模式A2被激活放大成為基板的主模態,對應振型主導系統響應,于是基板沿橫向(z向)運動,波可按此振動模式在板中傳播,表現為有限結構中橫波不發生衰減,無限結構中橫波不會被抑制,于是無法形成面外子禁帶;當激勵頻率接近振子固有頻率時,模式A1被激活放大轉換為系統主模態,對應振型主導系統響應,于是給基板一作用力,抑制其運動,致使板中的振動傳播模式消失,此時波無法在板中傳播,表現為有限結構中激勵波發生衰減,無限結構中激勵面外波被完全抑制,面外禁帶形成。

對于經典型結構,振子作局域振動(部分振動),而對于新型和對比型聲子晶體板,振子整體沿橫向(z向,面外向)運動,固頻不為0的同時還受到解耦件即橡膠填充體的約束,根據已知的剛體模態概念,用“面外類剛體模態”來命名振子的這種整體振動狀態,其作用機制原理如圖7a所示。

(a)作用機制模型 (b)等效理論模型

在橡膠填充體的約束下整個振子沿著橫向(z向)運動,與此同時給基體板作用一個抑制力F1,于是基板沿橫向(z向)的運動被抑制,進而導致基板中的面外振動模式被抑制,使得激勵波無法在板中進行傳播,于是打開了第一條面外禁帶。在禁帶范圍內,振動在有限板結構中的傳播可視化過程如圖8所示,在x方向由6單元組成的有限結構左端施加一個面外波激勵,局域振子的面外振動模式被激活。由可視化圖可以看出,激勵波能量全部被振子形成的面外類剛體模態吸收,于是面外波(橫波)在板中的傳播被抑制,表現為有限結構中面外波大幅衰減。

圖8 有限結構中面外波在面外禁帶內的傳播過程

對于新型和對比型結構,面外禁帶特性由面外類剛體模態A1決定,其等效理論模型如圖7b所示,為一等效彈簧-質量系統(k0-m0),其中面外禁帶的打開位置由其固有頻率確定

f1=1/[2π(k1/m1)1/2]

(2)

式中:k1為振子系統的等效剛度;m1為振子系統的等效集中質量。由于整個振子為系統的等效質量m1,橡膠填充體的橫向剛度為系統的等效剛度k1,致使面外禁帶被調節至更低頻,然而與對比型結構相比,新型結構中,由于橡膠填充體和振子的剛性體形成面接觸,使得其橫向剛度變大,致使振子等效系統的剛度k0增大,導致禁帶位置略有升高,但振子作用在基板上的抑制力F1卻大幅增加,使得對面外振動模式的抑制增強,進而形成了寬頻面外子禁帶。因此,可以認為振子的面外振動模式為整體運動模式(即為面外類剛體模態)時,因增強了對基板面外模式的抑制作用,使聲子晶體板在低頻處形成寬頻面外禁帶。

3種聲子晶體板結構的面內禁帶上下邊界對應的單元振動模式如圖9所示。禁帶下邊界對應的振子振動模式用S1表示,禁帶上邊界對應的基板面內振動模式用S2表示。

(a)新型結構 (b)對比型結構 (c)經典型結構

當縱波(xy向波)激勵時,板波模式S2被激活放大成為系統主模態,其對應振型主導系統響應,于是基板沿xy平面運動,波可按此振動模式在板中傳播,表現為有限結構中波不發生衰減,無限結構中波不會被抑制,因此無法形成面內子禁帶。當激勵頻率接近振子固有頻率時,模式S1被激活放大并轉換為系統主模態,對應振型主導系統響應,給基板一抑制力,阻止其運動,致使板中無面內振動傳播模式。于是波無法在板中傳播,表現為有限結構中波發生衰減,無限結構中波被完全抑制,因此形成面內禁帶。對于對比型和經典型結構,振子沿垂直于xy平面的面內擺動;對于新型結構,振子沿面內(xy平面)做整體運動,且固頻不為0,同時還受到橡膠填充體約束。同理,將振子的這種整體振動模式命名為面內類剛體模態,作用機制原理如圖10a所示。

(a)作用機制模型 (b)等效理論模型

在橡膠填充體的約束下整個振子沿著縱向(xy平面方向)運動,與此同時給基體板作用一個抑制力F2,于是基板沿縱向(xy平面方向)的運動被抑制,進而導致基板中的面內振動模式被抑制,使得激勵波無法在板中進行傳播,于是打開了第一條面內禁帶。禁帶范圍內,振動在有限聲子晶體板結構中的可視化傳播過程如圖11所示。由圖11可見,給一個在x方向由6個單元組成的有限結構左端施加一面內波激勵。從可視化圖中可以看出,激勵波能量全部被振子形成的面內類剛體模態吸收。因此,縱波在無限聲子晶體板中的傳播被抑制,表現為有限結構中縱波的傳播被大幅衰減。

圖11 面內波在面內禁帶內的傳播過程

對于新型結構,面內禁帶特性由面內類剛體模態S1的固頻決定,其等效理論模型如圖10b所示,為一等效彈簧-質量系統(ki-mi)。由于振子剛性體部分和橡膠填充體形成面接觸,可認為給橡膠填充體施加了一個剛性面約束,致使其縱向剛度較大,于是抑制力F2變大,進而增強了對面內振動模式的抑制,導致面內帶隙被擴寬,形成了寬頻面內禁帶。因此可認為,振子的面內振動模式為整體運動模式時,即為面內類剛體模態時,因增強了對基板面內模式的抑制作用,使聲子晶體板在低頻處形成寬頻面內禁帶。

具有寬頻特性的面外和面內子禁帶,二者在同一頻率范圍處相互重疊,最終形成了能夠同時抑制面外波和面內波傳播的寬禁帶。

通過上述分析可以看出,對于帶邊型聲子晶體板,禁帶寬度取決于振子系統中振子的振動模式。新型帶邊型聲子晶體板中,由于振子系統的等效彈簧和等效質量發生了相互轉化(將剛性體和柔性體相互置換),導致振子的振動模式由局域振動模式變為了整體振動模式,即同時出現了振子的面外、面內類剛體模態。兩類剛體模態依據模態疊加原理,通過主模態的相互轉換,分別與板波的面外、面內振動模式發生耦合,通過對基體主模態的強烈抑制,形成了具有寬頻特性的面外和面內子禁帶,二者相互重疊,產生了具有寬頻特性的禁帶。

進一步研究發現,相對于振子的振動模式為局域(部分)振動模式的經典型聲子晶體板,在新型聲子晶體板中,由于橡膠填充體與新型復合柱狀振子的引入,使得系統中出現了振子的整體運動模式,其理論等效模型可進一步表達為如圖12所示形式。其中k0-m0為振子面外振動模式的等效系統,ki-mi為振子面內振動模式的等效系統,可以看出,系統中振子的面外振動模式為振子在約束狀態下沿面外方向作固頻不為零的剛體運動——面外類剛體模態,振子的面內振動模式為振子在約束狀態下沿面內方向作固頻不為零的剛體運動——面內類剛體模態,兩種新型振動模式通過增強對板波模式的抑制效應,進而將面外、面內禁帶分別調至寬頻,二者相互重疊生成一條寬禁帶。

圖12 新型結構振子的等效彈簧-質量系統

4 振子對寬禁帶的影響規律

通過以上分析可知,振子的振動模式是決定禁帶寬度的關鍵因素。在新型聲子晶體板結構中,構建的新型柱狀復合振子影響著振子的整體振動模式,即影響其固頻特性和對主模態的抑制效應,進而間接影響禁帶的打開位置和寬度。因此,新型柱狀復合振子是調節寬頻完全禁帶的核心參數。于是,本文將進一步研究其對寬頻完全禁帶的影響規律和調節方法。由于振子主要由A和B兩部分構成,二者又相互關聯,因此以振子的彈性體A的高度hA為參數研究其對帶隙的影響,獲得新型復合柱狀振子對寬禁帶的影響規律如圖13所示。

圖13 振子彈性體A的高度對禁帶的影響規律

可以發現,當振子的彈性體A的高度hA從0 mm逐漸變化至5 mm時,隨著高度hA增大,完全禁帶的打開位置先升高然后降低,帶寬卻逐漸變窄,因此,當整個振子為剛性體時,禁帶特性最佳,即位置最低,寬度最大。

5 結論

本文對聲子晶體板中窄禁帶形成機理進行了分析,發現了其難以形成寬禁帶的主要原因,并通過改進提出了一種新型聲子晶體板,并對其行了驗證進一步,在研究該結構寬禁帶形成機理的基礎上,提出了聲子晶體板中低頻寬禁帶的形成機理,獲得的主要結論如下。

(1)振子的振動模式是影響局域共振型聲子禁帶帶寬的主要因素,當振子出現整體振動模式時,可形成寬禁帶。

(2)在低頻處得到一條帶寬為599 Hz的局域共振型聲子禁帶,表明局域共振型聲子晶體可以產生低頻寬禁帶。

(3)提出了聲子晶體板中寬禁帶的形成機理:基于模態疊加原理,基體的板波模式與振子相應的振動模式在主導系統主模態的基礎上,相互發生耦合;在耦合過程中,振子的整體振動模式通過強烈抑制板波主模態進而形成面內、面外兩種寬頻子禁帶,二者疊加形成寬禁帶。

(4)新結構中引入的互置型振子,使得振子形成了整體振動模式,即面外、面內類剛體模態,二者可對基板模態進行強烈抑制,進而實現了對面外和面內禁帶帶寬的調節,最終產生了一條帶寬為599 Hz的寬禁帶。

(5)發現當互置型振子為純剛性體時,禁帶的特性最佳,即位置最低,帶寬最寬。